SOCILOGIA 2, Ejercicios de Administración de Empresas

¡Descarga SOCILOGIA 2 y más Ejercicios en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity!

1

Variable Aleatoria. Clasificación

2

 Variable aleatoria: Transformación que permite pasar de trabajar con un experimento a trabajar con números reales ¿Cómo? Poniendo etiquetas a los distintos sucesos elementales bajo los que se materializa un fenómeno estadístico Ejemplo:

 Clasificación:

3

 

 1 4 1 4 1 4 14 

, , ,

, , ,

W cc c c

P

= + + + +

=

Var. Aleat.

Discreta

Continua

Experimento: lanzamiento de 2 monedas

Variable Aleatoria: Nº de caras al lanzar 2 monedas

 

 1 4 2 4 14 

0, 1, 2

, ,

R

P

=

=

4

 De una gaveta que contiene 5 calcetines rojos y 3 calcetines verdes se sacan en sucesión 2 al azar.

1. Enumera los elementos del espacio muestral y calcula las probabilidades asociadas a cada uno de sus posibles resultados.
2. Obtener los posibles resultados (espacio muestral) de la variable aleatoria: “nº de calcetines rojos seleccionados”

E = {RR, RV, VR, VV}

E Probabilidad Var. Aleatoria RR ® 5/84/7=5/14 ® 2 RV ® 5/83/7=15/56 ® 1 VR ® 3/85/7=15/56 ® 1 VV ® 3/82/7=3/28 ® 0

Var. Aleatoria p 0 3/ 1 30/ 2 5/

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA:

Función de cuantía:

Conjunto formado por los valores posibles de la V.A. y las probabilidades asociadas a cada uno de ellos

Se cumple que: a)

b)

7

( )

i

i i

0 ; si x x

x f(x)=

P X x ; si x =x

f (^) ( x)  0

åf x^ (^ )^ =^1

8

Representa la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor igual al observado

x 1 x 2 x 3 ··· x

f (x)

f (x 2 ) f (x 3 ) f (x 1 )

E = {RR, RV, VR, VV}

E Probabilidad Var. Aleatoria VV ® 3/82/7=3/28 ® 0 RR ® 5/84/7=5/14 ® 2 RV ® 5/83/7=15/56 ® 1 VR ® 3/85/7=15/56 ® 1

FUNCIÓN DE CUANTÍA:

9

Var. Aleatoria p 0 3/ 1 30/ 2 5/

0,

0,

0,

0

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0 1 2

P X( = xi)

i= 1

n

å =^1

Función de distribución:

Proporciona la probabilidad acumulada de los valores de la V.A. inferiores o iguales al considerado

Propiedades:

10

1

i i r r

x F x P X x P X x f x

=

å å

1) F(x) : R®  0,1 

2) F(x) es una función creciente

3) Si x 1  x 2 , entonces F(x 1 )  F(x 2 )

4) Si a  b, entonces P(a  X £ b) = F(b) - F(a)

5) P(X  xi ) = 1  F(xi )

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA:

Función de densidad:

Una función de probabilidad de tipo continuo viene caracterizada por una funciónf(x), definida sobre los números reales, denominadafunción de densidad, tal que:

13

f x x W

f x





14

 f (x)  P (a £ x £ b ) 0  Geométricamente, la probabilidad de que x esté entre a y b se representa por el área rayada, por lo que:

b a

P a x b f(x)dx

 P £x£=  f( x)dx= 1

Función de distribución:

Proporciona la probabilidad acumulada de los valores de la V.A. inferiores o iguales al considerado

Propiedades:

15

x i

x F(x)= P X xi f x



1 2 1 2

1) lim 0

2) lim 1

3) es creciente

4) Si , entonces

x

x

F(X)

F(X)

F(X)

x x F(x ) F(x )

®

®

Relación entre la función de distribución y la de densidad (en V.A. continuas):

16

x

F x f x dx x

d

f x F x

dx



5) Si , entonces ( )

i

b

x a i i i

a b P(a X b) F(b)- F(a) f x

P(X x ) P(X x ) F(x ) f x



1. La variable X: “nº de hijos por familia en una cierta ciudad”, tiene la siguiente función cuantía:

X P(X=x (^) i ) 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga exactamente 4 hijos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga menos de 2 hijos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga entre 3 y 5 hijos? d) ¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga al menos 5 hijos?

Sol.: a) 0,04 b) 0,77 c) 0,12 d) 0,

1. Comprueba que f (x) definida como:

es una función de densidad y obtener su función de distribución.

( ) 



 £ £

0 enotrocaso

1 / x si 1 x e f x

1. El precio en miles de €/Kg. en el mercadillo internacional de flores de Amsterdam, de semillas de una variedad de tulipanes es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad:

Calcula el valor de  para que f (x) sea una función de densidad.

( )



 



 





 £ 

£ 



=

0 4

1 2 4

0 2

0 0

x

x x

x x

x

f x 



Sol.:  = 1/

1. En cierto hospital se comprobó que el peso en kilos de los niños al nacer era una variable aleatoria cuya función de densidad es:

Se pide: a) Hallar k para que f (x) sea una función de densidad. Representarla. b) Hallar la función de distribución. Representarla. c) Probabilidad de que un niño elegido al azar pese más de 3 Kg. d) Probabilidad de que pese entre 2 y 3,5 Kg. e) Probabilidad de que pese exactamente 3 Kg. f) ¿Qué debe pesar un niño para tener un peso inferior o igual que el del 90% de los niños?

( ) 

0 enotrocaso

Kx si 2 x 4 f x

Características de la Variable Aleatoria

25

EL OPERADOR ESPERANZA MATEMÁTICA:

Es el valor de la distribución que corresponde con su centro de gravedad.

Centro de gravedad = media = valor medio = valor esperado = esperanza matemática = esperanza

Sea X una variable aleatoria, su esperanza se calcula:

V.A. Discreta

V.A. Continua

26

 E X   x f ( x ) dx





  i ( i)

i

 = E X = åx P x

27

Una cooperativa agrícola vende plátanos de tres clases. La probabilidad de que el plátano corresponda a cada una de las tres clases es:

La cooperativa vende a 18 céntimos de euro la unidad de la clase primera, a 12 la unidad de la clase segunda y a 6 la unidad de la tercera. ¿cuál es el ingreso esperado por unidad vendida en la cooperativa?

Clase Probabilidad 1ª 0, 2ª 0, 3ª 0,

El departamento de marketing de una marca de coches considera que el tiempo que transcurre hasta la renovación del automóvil por parte de sus clientes puede representarse mediante la función de densidad: f(x)=x 2 /72, 0  Propiedades del operador Varianza:

31

 

2 2 2 s K  X = K s x

 

2 s K = 0

 

2 2 2 s X + Y = s (^) x +sy

 

2 2 2 s X  Y = s (^) x +sy

Siendo X e Y

variables

aleatorias

independientes

s 2  K + X =s (^) x 2

32

La cantidad de merluza desembarcada en un puerto pesquero

es una variable aleatoria x con función de densidad (x en

toneladas)

f(x)= kx(30-x) si 0

La Variable Aleatoria Tipificada

33

Sea X una variable aleatoria con media μ y desviación típica σ.

Llamamos variable aleatoria tipificada de X a la variable Z:

Haciendo esta transformación se puede demostrar que la media

de Z es cero y que su varianza es uno.

34

X Z



s



E Z ( ) = z= 0 2 s (^) z = 1