SOCIOLOGIA, Ejercicios de Administración de Empresas

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Distribución Chi-cuadrado. Definición y tablas

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 Si consideramos una V.A. la V.A. se distribuye según una distribución Chi-cuadrado con 1 grado de libertad.

 Si tenemos n V.A. la suma de esas variables al cuadrado se distribuye según una distribución Chi-cuadrado con n grado de libertad.

Z~N 0,1( ) X  Z^2

X~  12

Zi ~N 0,1( ) i  1, 2,..., n

X  Z 12 + Z 22 +... + Zn^2 ~  n^2

 Función de densidad: La función de densidad de una variable aleatoria con distribución Chi-Cuadrado será:

 Su representación gráfica dependerá de los grados de libertad: (n pequeño)

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f (x) 

1 2

æ èç^

ö ø÷

n 2

G n 2

æ èç^

ö ø÷

X

n 2 ^1 e^ 

1 2 X si x > 0

0 si x  0

ì

í

ï ïï

î

ï ï ï

Distribución F de Fisher-Snedecor. Definición y tablas

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 La distribución F de Fisher-Snedecor se obtiene a partir del cociente de 2 distribuciones Chi-cuadrado.

 Dadas 2 variables aleatorias independientes U ~ ^2 m y V ~ ^2 n entonces la nueva variable aleatoria X

se distribuye como una F de Fisher-Snedecor con m y n grados de libertad.

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X 

U m V n

~ Fm,n

 Si tenemos m variables aleatorias que se distribuyen como:

Y tenemos n variables aleatorias que se distribuyen como:

Entonces, la nueva variable F

se distribuye como una F con m y n grados de libertad

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F 

1 m

Xi m (^) i s (^) i

æ è

ç

ö ø

÷

2

i 1

m

å

1 n

Yj m (^) j s (^) j

æ è

çç

ö ø

÷÷

2

j 1

n

å

~ Fm,n

Xi ~N( m i , s i) i  1, 2,..., m

Yj ~N( m (^) j , s (^) j) j  1, 2,..., n

 Función de densidad: La función de densidad de una variable aleatoria con distribución F de Fisher es:

 Su representación gráfica dependerá de los grados de libertad:

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f ( x) 

G m+^ n 2

æ èç^

ö ø÷ G m 2

æ èç^

ö ø÷G

n 2

æ èç^

ö ø÷

m n

æ èç^

ö ø÷

n 2 x

m 2 ^11 + m n

x æ èç^

ö ø÷

 m+ 2 n

Distribución t de Student. Definición y tablas

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 La distribución t-Student se obtiene a partir del cociente entre 2 variables aleatorias independientes (una Normal y la raíz de una Chi).

 Sean U ~ N(0,1) y V ~ ^2 n dos variables aleatorias independientes. Entonces la nueva variable aleatoria

se distribuye como una t-Student con n grados de libertad.

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X 

U

V

n

~ t n

 Función de densidad: La función de densidad de una variable aleatoria con distribución t de Student es:

 Propiedades: ◦ Simétrica respecto al origen  F(-x) = 1 – F(x) ◦ Forma muy parecida a la N(0,1) ◦ La recta Y=0 es asíntota de f(X)

 Su representación gráfica dependerá de los grados de libertad:

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f ( x)  K n 1 + x^

2 n

æ è

ç

ö ø

÷

n 2 +^1

• ¥  X  ¥

 Función de distribución: La función de distribución se calcula con la integral de la función de densidad. (Expresión inmanejable tablas)  Media:

 Varianza:

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E X( ) m  0

V X( ) s 2 

n

n 2