¡Descarga SOLUCIO PRACTICA 1 MATES y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Pràctica 1 : Optimització amb restriccions d’igualtat
Objectiu : Saber resoldre un problema d’optimització amb restriccions d’igualtat mitjançant el
mètode de Lagrange i saber interpretar la informació que ens donen els multiplicadors de
Lagrange
Conceptes bàsics:
- Mètode de Lagrange
- Corbes de nivell
- Interpretació dels multiplicadors de Lagrange
Exercicis de classe:
Exercici 1. Demostrar que el punt que s’indica és un òptim condicionat de cada
problema d’optimització:
a)
2 2
Opt^^84 x^ +^90 y^ −^6 xy^ −^3 x^ −^4 y subjecte a x^ +^ y =^12 Punt( 9,3;12)
b) Opt xy + xz + yz subjecte a x + y + z = 6 Punt( 2, 2, 2; 4)
Solució:
a) Directament surt que la Hessiana de la funció de Lagrange és definida negativa, per
tant és un màxim condicionat. b) Cal fer el desenvolupament llarg de la condició suficient i s’arriba a
2 2 − 2 x − 2 y − 2 x y Màx Cond.
Exercici 2. Donat el problema d’optimització:
2 2
.. 4,
Opt x y
s a x y
a) Calcular els punts crítics de la funció de Lagrange b) Determinar quins punts són mínims i màxims.
c) Interpretar gràficament els resultats obtinguts dibuixant el domini i les corbes de nivell de la funció objectiu
Solució:
a) La funció de Lagrange té dos punts crítics: ) 2 2
1 (^) ( x = 2 , y = 2 ,= i
). 2 2
1 ( x =− 2 , y =− 2 ,=−
b) Màxim en )
2 2
1 (^) ( x = 2 , y = 2 ,= , mínim en ). 2 2
1 ( x =− 2 , y =− 2 ,=−
c)
Exercici 3. Sigui f^ ( x y z^ ,^ , )la funció de producció d’una determinada empresa subjecta
a la restricció x + 2 y + 3 z = 90.
Suposem que l’òptim restringit es troba a x = 24 , y = 18 , z = 10 i = 2.
a) Estimeu en quant s’hauria d’incrementar el terme independent de la restricció per
tal que el valor òptim augmentés en 0,3.
b) Com variaria el valor òptim si el terme independent fos 89,5?
Solució:
a) V òptim = b 0,3 = 2 b b =0,
b) V òptim = b V òptim = 2( 0,5)− = − 1
Exercici 4. Sigui f ( x y z , , ) la funció d’ingressos d’una determinada empresa
subjecta a les restriccions: x + y + z = 90 i 4 x + 2 y − z = 200.
Suposem que l’òptim restringit es troba x^ =^40 , y^ =^30 , z^ =^20 , = 1 20 i^ 2 =^10
a) Com es modificarà el valor òptim si augmenta en una unitat una de les dues
restriccions?
b) Si l’augment unitari, en qualsevol de les restriccions, representa a l’empresa la
compra d’una unitat més d’un input el preu del qual en el mercat és de 12 u.m., discutir la conveniència d’aquest increment en ambdós casos per separat.
Solució:
a) Cal fer el desenvolupament llarg de la condició suficient i s’arriba a
2 − 4( x ) 0
Màx. Cond.
b) Cal fer el desenvolupament llarg de la condició suficient i s’arriba a
2 − 2( x ) 0
Màx.Cond.
c) Cal fer el desenvolupament llarg de la condició suficient i s’arriba a
2 − 4( y ) 0
Màx. Cond.
d) Cal fer el desenvolupament llarg de la condició suficient i s’arriba a
2 − 6( x ) 0
Màx. Cond
Exercici 2. Donat el problema d’optimització:
3 3
.. 3 0
Max x y
s a x y xy
a) Dibuixar gràficament la restricció i algunes corbes de nivell de la funció objectiu.
Localitzar aproximadament a on tindríem l’òptim.
b) Calcular els punts crítics de la funció de Lagrange
c) Determinar quins punts són mínims i màxims.
Solució:
a) Si dibuixem la restricció (en forma de llaç) i les corbes de nivell 1, 2 i 3 (rectes)
tenim:
Gràficament hi ha un màxim restringit en el punt de tangència entre la restricció i
la corba de nivell 3.
b) Determinar quins punts són mínims i màxims.
La funció de Lagrange és
3 3 L x y ( , , ) = x + y + ( − x − y + 3 xy )
Les condicions necessàries d’òptim de Lagrange són:
2
2
3 3
L
x y x y x
L x y y x x
L x y x y xy
Donada la simetria del problema x = y. Substituint a la tercera equació
− x − x + x = x − x + = x = x =.
Observem que per x = 0, y = 0 , les dues primeres equacions mai es compliran.
En canvi si
x = y = , substituint a qualsevol de les dues primeres equacions
tenim
2
2
c) Per verificar que es tracta d’un màxim, calculem la matriu hessiana
( , )
x y
x HL x y y
. En el punt crític trobem que
( , )
HL x y
que és definida negativa. Per tant, no cal restringir
la forma quadràtica corresponent a les direccions factibles i podem afirmar
directament que
x y
és un màxim del problema restringit.
