¡Descarga solucio problema mates y más Ejercicios en PDF de Antropología solo en Docsity!
SOLUCI” del PROBLEMA 6 de la PR¿CTICA 10
Aquest problema Ès un exemple díun tipus de jocs anomenats "jocs de producciÛ comple- ment‡ria", que sempre sÛn s˙peradditius. Els jocs de producciÛ complement‡ria sÛn jocs que descriuen situacions on els jugadors produeixen diferents productes que es necessiten conjuntament per satisfer una determinada demanda, com per exemple, els taps de suro i les ampolles de vidre es necessiten conjuntament per satisfer la demanda díenvasat de vi i cava, o bÈ, les muntures i els vidres de les ulleres, els pantalons texans i les cremalleres o els pneum‡tics i els cotxes.
a) Obtingueu la funciÛ caracterÌstica del joc associat als productors díenvasos pel sector vinÌcola.
En aquest exemple hi ha quatre jugadors, que sÛn cadascuna de les empreses fabricants de taps de suro i díampolles de vidre: líempresa A Ès el jugador 1, líempresa B Ès el jugador 2, líempresa C Ès el jugador 3 i líempresa D Ès el jugador 4.
N = f 1 ; 2 ; 3 ; 4 g
i el n˙mero total de coalicions (N T C) diferents que es poden formar Ès:
N T C = 2^4 1 = 16 1 = 15:
Aquestes 15 coalicions diferents sÛn les seg¸ents:
4 coalicions individuals: f 1 g ; f 2 g ; f 3 g i f 4 g :
6 coalicions de 2 jugadors: f 12 g ; f 13 g ; f 14 g ; f 23 g ; f 24 g ; f 34 g :
4 coalicions de 3 jugadors: f 123 g ; f 124 g ; f 134 g ; f 234 g :
La gran coaliciÛ o coaliciÛ total dels 4 jugadors: f 1234 g :
La funciÛ caracterÌstica de guanys v (S) díaquest joc ens dÛna la producciÛ díenvasos per a vi i cava que fabrica cada coaliciÛ S. Un env‡s de vi i cava est‡ format per una ampolla de vidre amb el seu tap de suro corresponent. Si denotem per yi al n˙mero de taps de suro anuals que pot fabricar líempresa i, i zi al n˙mero díampolles de vidre anuals que pot fabricar líempresa i, la funciÛ caracterÌstica ve donada per:
v (S) = min
X
i 2 S
yi;
X
i 2 S
zi
Est‡ clar que la quantitat total díenvasos que pot vendre una coaliciÛ S als elaboradors de vi i cava ve donada pel valor mÌnim entre el n˙mero díampolles de vidre i el n˙mero de taps de suro que pot produir, donat que no es pot vendre una ampolla sense tap o un tap sense ampolla. En aquest exercici tenim que una m‡quina de taps de suro produeix 220.000 unitats anuals, mentre que una m‡quina díampolles produeix 150.000 unitats anuals. Per simpliÖcar els c‡lculs, expressarem la funciÛ caracterÌstica en milers díunitats produÔdes. Líempresa A tÈ 3 m‡quines de producciÛ de taps i 2 m‡quines de producciÛ díampolles, i per tant, la seva fabricaciÛ m‡xima anual de taps de suro i díampolles de vidre ve donada per:
y 1 = 3 220 = 660 milers díunitats, z 1 = 2 150 = 300 milers díunitats.
El valor de la funciÛ caracterÌstica individual del jugador 1 ve donat per:
v (1) = min (660; 300) = 300: Líempresa B tÈ 2 m‡quines de producciÛ de taps i 3 m‡quines de producciÛ díampolles, i per tant, la seva f‡bricaciÛ m‡xima anual de taps de suro i díampolles de vidre ve donada per:
y 2 = 2 220 mil = 440 milers díunitats, z 2 = 3 150 mil = 450 milers díunitats.
El valor de la funciÛ caracterÌstica individual del jugador 2 ve donat per:
v (2) = min (440; 450) = 440:
Líempresa C tÈ 2 m‡quines de producciÛ de taps i 4m‡quines de producciÛ díampolles, i per tant, la seva f‡bricaciÛ m‡xima anual de taps de suro i díampolles de vidre ve donada per:
y 3 = 2 220 mil = 440 milers díunitats, z 3 = 4 150 mil = 600 milers díunitats.
El valor de la funciÛ caracterÌstica individual del jugador 3 ve donat per:
v (3) = min (440; 600) = 440:
Líempresa D tÈ una m‡quina de producciÛ de taps i 2 m‡quines de producciÛ díampolles, i per tant, la seva f‡bricaciÛ m‡xima anual de taps de suro i díampolles de vidre ve donada per:
y 4 = 1 220 mil = 220 milers díunitats, z 4 = 2 150 mil = 300 milers díunitats.
El valor de la funciÛ caracterÌstica individual del jugador 4 ve donat per:
v (4) = min (220; 300) = 220:
Per a les coalicions de dos jugadors, la funciÛ caracterÌstica ve donada per:
v (12) = min (y 1 + y 2 ; z 1 + z 2 ) = min (660 + 440; 300 + 450) = min (1: 100 ; 750) = 750; v (13) = min (y 1 + y 3 ; z 1 + z 3 ) = min (660 + 440; 300 + 600) = min (1: 100 ; 900) = 900; v (14) = min (y 1 + y 4 ; z 1 + z 4 ) = min (660 + 220; 300 + 300) = min (880; 600) = 600; v (23) = min (y 2 + y 3 ; z 2 + z 3 ) = min (440 + 440; 450 + 600) = min (880; 1 :050) = 880; v (24) = min (y 2 + y 4 ; z 2 + z 4 ) = min (440 + 220; 450 + 300) = min (660; 750) = 660; v (34) = min (y 3 + y 4 ; z 3 + z 4 ) = min (440 + 220; 600 + 300) = min (660; 900) = 660:
Per a les coalicions de tres jugadors, la funciÛ caracterÌstica ve donada per:
v (123) = min (y 1 + y 2 + y 3 ; z 1 + z 2 + z 3 ) = min (660 + 440 + 440; 300 + 450 + 600) = min (1: 540 ; 1 :350) = 1: 350 ; v (124) = min (y 1 + y 2 + y 4 ; z 1 + z 2 + z 4 ) = min (660 + 440 + 220; 300 + 450 + 300) = min (1: 320 ; 1 :050) = 1: 050 ; v (134) = min (y 1 + y 3 + y 4 ; z 1 + z 3 + z 4 ) = min (660 + 440 + 220; 300 + 600 + 300) = min (1: 320 ; 1 :200) = 1: 200 v (234) = min (y 2 + y 3 + y 4 ; z 2 + z 3 + z 4 ) = min (440 + 440 + 220; 450 + 600 + 300) = min (1: 100 ; 1 :350) = 1: 100 :
Totes les desigualtats veriÖquen que la producciÛ de la coaliciÛ f 124 g Ès major que la suma de les produccions de les diferents descomposicions en coalicions díun i de dos jugadors, per la qual cosa la coaliciÛ f 124 g Ès s˙peradditiva. A continuaciÛ analitzem la coaliciÛ f 134 g :
v (1) + v(34) = 300 + 660 = 960 < v (134) = 1: 200 ; v (3) + v(14) = 440 + 600 = 1: 040 < v (134) = 1: 200 ; v (4) + v(13) = 220 + 900 = 1: 120 < v (134) = 1: 200 :
Totes les desigualtats veriÖquen que la producciÛ de la coaliciÛ f 134 g Ès major que la suma de les produccions de les diferents descomposicions en coalicions díun i de dos jugadors, per la qual cosa la coaliciÛ f 134 g Ès s˙peradditiva. En darrer terme, estudiarem la coaliciÛ f 234 g : v (2) + v(34) = 440 + 660 = 1:100 = v (234) = 1: 100 ; v (3) + v(24) = 440 + 660 = 1:100 = v (234) = 1: 100 ; v (4) + v(23) = 220 + 880 = 1:100 = v (234) = 1: 100 :
Totes les tres possibles descomposicions es veriÖquen amb signe díigualtat, cosa que vol dir que la producciÛ de la coaliciÛ f 234 g Ès sempre la mateixa que la suma de les produccions de les diferents descomposicions en coalicions díun i de dos jugadors, per la qual cosa, els jugadors 2, 3 i 4 sÛn indiferents entre anar tots tres junts en coaliciÛ o bÈ formar coalicions de dos jugadors i un altre anar en solitari. Com es compleixen les tres possibles descomposicions amb signe díigualtat, la coaliciÛ f 234 g Ès s˙peradditiva. AixÌ doncs, hem veriÖcat que totes les coalicions de tres jugadors sÛn s˙peradditives. En darrer lloc, analitzarem si als jugadors els interessa formar la gran coaliciÛ o coaliciÛ total N formada per tots quatre jugadors. La gran coaliciÛ es pot descomposar de dues maneres diferents, com la suma de dues coalicions formades per dos jugadors o com la suma díuna coaliciÛ de tres jugadors i una coaliciÛ díun jugador individual. Per comprovar la s˙peradditivitat de la gran coaliciÛ, primer compararem les sumes de coalicions de tres jugadors i díun jugador individual amb la gran coaliciÛ:
v (1) + v(234) = 300 + 1:100 = 1: 400 < v (1234) = 1: 650 ; v (2) + v(134) = 440 + 1:200 = 1: 640 < v (1234) = 1: 650 ; v (3) + v(124) = 440 + 1:050 = 1: 490 < v (1234) = 1: 650 ; v (4) + v(123) = 220 + 1:350 = 1: 570 < v (1234) = 1: 650 :
Totes les desigualtats veriÖquen que la producciÛ díenvasos associada a la gran coaliciÛ N = f 1234 g Ès major que la suma de les produccions de les diferents descomposicions en coalicions díun i de tres jugadors. Finalment, compararem les sumes de dues coalicions de dos jugadors amb la gran coaliciÛ. NomÈs hi ha les tres descomposicions possibles seg¸ents:
v(12) + v (34) = 750 + 660 = 1: 410 < v (1234) = 1: 650 ; v(13) + v (24) = 900 + 660 = 1: 560 < v (1234) = 1: 650 ; v(14) + v (23) = 600 + 880 = 1: 480 < v (1234) = 1: 650 :
Totes les desigualtats veriÖquen que la producciÛ associada a la gran coaliciÛ f 1234 g Ès major que la suma de les produccions de les diferents descomposicions en sumes de dues coalicions de dos jugadors.
…s evident que en tots els casos, els quatre jugadors surten beneÖciats formant la gran coaliciÛ que no pas fent coalicions parcials, tant de tres jugadors mÈs un jugador, com de dues coalicions formades per dos jugadors cadascuna, i per tant, la gran coaliciÛ N = f 1234 g Ès s˙peradditiva. Est‡ clar, doncs, que el joc Ès s˙peradditiu, i que la coaliciÛ que formaran els quatre jugadors Ès la gran coaliciÛ o coaliciÛ total perquË Ès la que els hi permet díobtenir una major producciÛ díenvasos per a vi i cava, concretament, els hi permet fabricar conjuntament i vendre als elaboradors de vi i cava un total de 1 : 650 milers díenvasos anuals.
c) Determineu quina quantitat de taps de suro i díampolles produir‡ cada empresa.
Les quatre empreses productores díenvasos pel sector vinÌcola es posen díacord i produeixen con- juntament un total de 1 : 650 milers díenvasos anuals.
Per trobar la soluciÛ del joc de guanys i saber quina part dels 1.650 envasos, formats per una ampolla de vidre amb el seu tap de suro corresponent, se li assigna o atribueix a cada empresa, apliquem el valor de Shapley donat per la fÛrmula:
i = (S)
X
SN i 2 S
[v (S) v (S fig)] ; i = 1; 2 ; 3 ; 4 ;
on els coeÖcients gamma (S) venen donats per:
(S) =
1 /4 ; si la coaliciÛ S tÈ un sol jugador, 1 /12 ; si la coaliciÛ S tÈ 2 jugadors, 1 /12 ; si la coaliciÛ S tÈ 3 jugadors, 1 /4 ; si la coaliciÛ S tÈ 4 jugadors.
El valor de Shapley del jugador 1 ve donat per:
[v (1) v (?)] +
[v (12) v (2)] +
[v (13) v (3)] +
[v (14) v (4)]
[v (123) v (23)] +
[v (124) v (24)] +
[v (134) v (34)] +
[v (1234) v (234)]
[300 0] +
[750 440] +
[900 440] +
[600 220]
[1: 350 880] +
[1: 050 660] +
[1: 200 660] +
[1: 650 1 :100]
El valor de Shapley del jugador 2 ve donat per:
[v (2) v (?)] +
[v (12) v (1)] +
[v (23) v (3)] +
[v (24) v (4)]
[v (123) v (13)] +
[v (124) v (14)] +
[v (234) v (34)] +
[v (1234) v (134)]
[440 0] +
[750 300] +
[880 440] +
[660 220]
[1: 350 900] +
[1: 050 600] +
[1: 100 660] +
[1: 650 1 :200]
