¡Descarga SOLUCIO PRACTICA 2 MATES y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Pràctica 2 : Programació lineal i no lineal de dues variables
Objectiu : saber plantejar i resoldre gràficament un problema de programació de 2 variables
Conceptes bàsics:
Plantejament programa lineal Resolució gràfica
Exercicis de classe:
Exercici 1.- Una fàbrica de joguines produeix dos tipus de joguines de fusta: cotxes i trens. El cotxe es ven a 27€ i requereix 10€ de fusta. A més, cada cotxe que es fabrica incrementa el cost de la ma d’obra en 14€. El tren es ven a 21€, utilitza 9€ de fusta i incrementa el cost de la ma d’obra en 10€. La fabricació d’aquestes 2 joguines requereix de mà d’obra especialitzada: fusteria i acabat. Un cotxe necessita 2 hores de treball d’acabat i 1 hora de fusteria. Un tren necessita 1 hora d’acabat i 1 hora de fusteria. Aquesta fàbrica compta amb la fusta que vol, però només disposa de 100 hores de treball d’acabat a la setmana i de 80 hores de fusteria també a la setmana. La demanda de trens és il·limitada, però de cotxes es venen com a molt 40 a la setmana. Determinar el número de cotxes i trens a fabricar a la setmana per tal de maximitzar els beneficis obtinguts d’aquestes 2 joguines.
Solució: 1 2 1 2 1 2 1 1 2
Max. 3 2 s.a. 2 100 80 40 , 0
x x x x x x x x x
f f f f f
Màxim benefici: produir i vendre 20 cotxes i 60 trens.
Exercici 2 .- Una companyia automobilística fabrica turismes de luxe. Els seus clients potencials són homes i dones d’alts ingressos. Per tal d’arribar a aquests col·lectius inicien una campanya publicitària per televisió que consisteix en l’emissió d’anuncis d’un minut de durada en 2 tipus de programes: programes d’entreteniment i programes esportius. Cada anunci en programes d’entreteniment el veuen 7 milions de dones i 2 milions d’homes d’alts ingressos. Cada anunci en programes esportius el veuen 2 milions de dones i 12 milions d’homes d’alts ingressos. Un anunci d’un minut en programes d’entreteniment costa 50.000€ i un anunci d’un minut en programes esportius costa 100.000€. Aquesta companyia pretén arribar almenys a 28 milions de dones i a 24 milions d’homes d’alts ingressos. Com pot assolir aquesta companyia els seus objectius publicitaris al mínim cost? (NOTA: si la solució òptima no és sencera, considerar la part decimal com un anunci extra de menor durada)
Solució: 1 2 1 2 1 2 1 2
Min. 50 100 s.a. 7 2 28 2 12 24 , 0
x x x x x x x x
f f f
La producció que maximitza el benefici diari són tots el punts del segment [(0,40),(30,20)].
Exercici 4 .- Resoldre gràficament:
Opt. ( 3) 2 ( 2)^2 s.a. 7 0 0
z x y
x y x y
a) Determineu el punt mínim i el valor mínim. b) Determineu el punt màxim i el valor màxim.
Solució:
a) El mínim del problema s’assoleix en (x=3,y=2). El valor mínim és 0. b) El màxim del problema s’assoleix en (x=0, y=7). El valor màxim és 34.
Exercici 5 .- Resoldre gràficament:
2 2
2
Opt. ( 2) s.a. 1 0 0
z x y
y x x y
a) Determineu el punt mínim i el valor mínim. b) Determineu el punt màxim i el valor màxim.
Solució:
a) El punt mínim és (0,1) i el valor mínim és 1. b) El punt màxim és (1,0) i el valor màxim és 5.
Solució: Considerem
x : la quantitat invertida en euros en la compra d’accions tipus A
y : la quantitat invertida en euros en la compra d’accions tipus B
Max. 0,1 0, 07 s.a. 100000 60000 20000
x y x y x y x y x y
Invertir 60000€ en accions del tipus A i 40000€ en accions del tipus B.
Exercici 3.- Resoldre gràficament el següent programa lineal:
1 2 1 2 1 2 1 2
Min. 5 s.a. 2 3 12 3 0 , 0
x x x x x x x x
Solució: 1 2
(^) x x
Exercici.4- Resoldre gràficament el següent programa lineal:
1 2
1 2 1 2 1 2
Max. 1 2 s.a. 1 2 8 3 3 4 30 , 0
x x
x x x x x x
Solució:
1 2
x x
Exercici.5- Resoldre gràficament el següent programa no lineal:
Opt. ( , ) ( 2)^2 ( 2)^2 s.a. 0 4 0 4
f x y x y
x y
a) Determineu el punt mínim i el valor mínim. b) Determineu el punt màxim i el valor màxim.
Solució: a) El mínim és el punt (x=2, y=2). El valor mínim és 0. b) El màxim s’assoleix en els vèrtexs del quadrat. El valor màxim és 8.
