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ESCET - Grado en Ciencias Ambientales
ESTAD´ISTICA 11 de junio, 2012
- (2 puntos) En un proyecto sobre la extinci´on de plantas, en concreto sobre arbustos Congdon, se est´a estudiando la posibilidad de transplantar una poblaci´on completa a una nueva localizaci´on. El pH ´optimo del terreno para el ´exito del trasplante de estos arbustos es 6.2. Con el prop´osito de estudiar si el nivel de acidez del suelo del terreno disponible es el adecuado se han tomado muestras de tierra de 45 puntos del terreno y se ha analizado su pH.
a) (0.6 puntos) Plantear un contraste de hip´otesis que permita determinar si el pH medio del terreno es el id´oneo para transplantar los arbustos Congdon. b) (1.4 puntos) ¿Qu´e tipo de test se utilizar´a para contrastar esta hip´otesis? ¿En qu´e distri- buci´on se basar´a este contraste?
Soluci´on-. Llamamos μ = valor medio del nivel de acidez del terreno bajo an´alisis
a) Si asumimos que el valor medio del nivel de acidez, por defecto, es 6.2, y queremos demostrar si habr´ıa evidencia con los datos recogidos para rechazar este nivel, el contraste de hip´otesis que lo permitir´ıa es:
H 0 : μ = 6 , 2 H 1 : μ 6 = 6 , 2
Tambi´en podr´ıamos plantear que por defecto el nivel de acidez del nuevo terreno no es el id´oneo, y plantear un contraste de hip´otesis para demostrar que este nivel de acidez es ´optimo, en ese caso el contraste ser´ıa:
H 0 : μ 6 = 6 , 2 H 1 : μ = 6 , 2
Ambas respuestas se consideran v´alidas. b) Para resolver este contraste usaremos un test t para una muestra ya que al ser desconocida la variabilidad de la variable pH del terreno, la distribuci´on del estad´ıstico
X − μ SX /
n
sigue una distribuci´on t de Student. En concreto la distribuci´on del test es una t de Student con n − 1 grados de libertad, dado que n = 45 los grados de libertad de la t de Student son
(2 puntos) Los siguientes histogramas a), b) y c) muestran res´umenes de tres conjuntos de datos:
a)
Density
10 30 50 70
b)
Density
10 30 50 70
c)
Density
10 30 50 70
La siguiente salida de software muestra res´umenes num´ericos de cuatro conjuntos de datos. Haz co- rresponder los histogramas con los res´umenes num´ericos proporcionando una explicaci´on razonada (uno de los res´umenes num´ericos no corresponde a ning´un gr´afico).
Media 38.5 36 39 40 Desviaci´on t´ıpica 12.7 11.3 9.9 20 Cuartiles Q 1 28 26 32.6 22. Q 2 36 38 39 40 Q 3 47.2 48.3 45.5 75
Soluci´on-.
Todos los bancos de datos est´an centrados en torno al 40, es decir que ´este valor ser´ıa la medida central para pr´acticamente los tres conjuntos de datos.
Los datos correspondientes a los histogramas a) y b) son sim´etricos en torno al valor central, y por tanto esperamos en ambos casos que la media y la mediana sean muy parecidas. Esto ocurre s´olo para los bancos de datos resumidos en las salidas 3 y 4. Entre ambos res´umenes, el que corresponda al histograma b) debe tener una mayor dispersi´on (mayor desviaci´on t´ıpica, o mayor distancia entre los cuartiles) que el correspondiente a a), por tanto:
Los datos correspondientes al resumen 4 corresponden al histograma b) Los datos correspondientes al resumen 3 corresponden al histograma a)
a) (0.5 puntos) ¿Qu´e contraste de hip´otesis se est´a resolviendo con esta salida de R? ¿En qu´e test se basa el contraste? b) (0.5 puntos) ¿Cu´antas estaciones meteorol´ogicas se han utilizado para realizar este estudio? c) (1 punto) Razonar si los datos analizados sostienen la evidencia de que la temperatura media del planeta se ha incrementado de forma significativa en los ´ultimos 30 a˜nos.
Soluci´on-. Tenemos una muestra de temperaturas en una serie de estaciones en el a˜no 1980, y de nuevo otra muestra de temperaturas en las mismas estaciones en el a˜no 2010, llamemos:
μ 1980 = temperatura media en las estaciones meteorol´ogicas en el mundo en el a˜no 1980 μ 2010 = temperatura media en las estaciones meteorol´ogicas en el mundo en el a˜no 2010
a) El contraste que se trata de resolver con la salida del software R es el siguiente:
H 0 : μ 2010 ≤ μ 1980 H 1 : μ 2010 > μ 1980
O lo que es igual:
H 0 : μ 2010 − μ 1980 ≤ 0 H 1 : μ 2010 − μ 1980 > 0
Para resolver el contraste se han tomado muestras emparejadas, es decir se ha medido la temperatura en las mismas estaciones en 1980 y despu´es en 2010, por tanto el test empleado para resolver el contraste es el paired t-test basado en una t de Student con n − 1 grados de libertad. b) El n´umero de estaciones analizadas no se nos proporciona en el enunciado, pero observando que se trata de observaciones emperejadas, ya que se est´a realizando un paired t-test, podemos saber en cu´antas estaciones se han tomado datos a partir de los grados de libertad (degrees of freedom) que son en este caso 624, por tando como
df = n − 1 → n = df + 1 = 625 estaciones
c) En la salida proporcionada por el software vemos que el p-valor del contraste es 0.0006393: .. . t = 3.2355, df =624, p-value = 0. .. . Por tanto trabajando a un nivel de significaci´on α = 0, 05 ´o α = 0, 01 tenemos que el p-valor es bastante m´as peque˜no que ambos valores, por lo que concluimos que los datos evidencian que la temperatura del planeta en los ´ultimos 30 a˜nos ha aumentado de forma significativa, rechazando la hip´otesis nula en favor de la alternativa.
- (2 puntos) Los espesores de la c´ascara de los huevos producidos por un gran n´umero de gallinas siguen aproximadamente una distribuci´on normal de media igual a 0.35mm y desviaci´on t´ıpica igual a 0.03 mm.
a) (0.5 puntos) Se considera que un huevo es de c´ascara fina si su espesor es menor o igual a 0.32mm. ¿Cu´al es la probabilidad de que un huevo elegido al azar sea de c´ascara fina? b) (0.75 puntos) Supongamos que los huevos se empaquetan aleatoriamente en cajas de 12. ¿Cu´al es la probabilidad de que las cajas contengan al menos un huevo de c´ascara fina? c) (0.75 puntos) Si sabemos que el espesor de la c´ascara de un huevo es menor a 0.35 mm, ¿cu´al es la probabilidad de que se trate de un huevo de c´ascara fina?
Soluci´on-. Llamamos E = espesor de la c´ascara de huevo producidos por las gallinas bajo estudio. Tenemos que seg´un el enunciado E ∼ N (μ = 0. 35 , σ = 0.03).
a) Nos preguntan por la probabilidad de que un huevo sea de c´ascara fina, seg´un la definici´on de este evento la probabilidad ser´ıa:
P (E ≤ 0 .32) = P
E − 0. 35
= P (Z ≤ −1) = P (Z ≥ 1) =
= 1 − P (Z < 1) = 1 − 0 , 84134 ≈ 0.
b) Consideramos ahora la variable aleatoria N = N´umero de huevos de c´ascara fina entre los huevos de una caja compuesta por 12 unidades , nos preguntan por la probabilidad P (N ≥ 1), Si p =probabilidad de que un huevo sea de c´ascara fina, se trata de la probabilidad calculada en el apartado a), 0.1587, tenemos que N se distribuye seg´un una Binomial(p=0.1587,n=12), y por tanto calcularemos la probabilidad usando la distribuci´on binomial.
P (N ≥ 1) = 1 − P (N = 0) = 1 −
× 0 , 15870 × (1 − 0 ,1587)^12 ≈ 1 − 0 ,1257 = 0.
c) Nos preguntan ahora por una probabilidad condicionada, sabemos que el espesor de la c´ascara de un huevo es menor a 0.35mm, la probabilidad de que el huevo sea de c´ascara fina ser´a:
P (E ≤ 0 , 32 | E < 0 ,35) =
P ({E ≤ 0 , 32 } ∩ {E < 0 , 35 })
P (E < 0 ,35)
Para calcular la probabilidad que aparece en el numerador hay que tener en cuenta que el suceso {E ≤ 0 , 32 } est´a contenido en el suceso {E < 0 , 35 }, es decir, todos los huevos cuya c´ascara tiene un espesor menor o igual a 0.32 mm tienen un espesor menor que 0.35 mm, por tanto la intersecci´on de ambos sucesos es exactamente {E ≤ 0 , 32 }, luego:
P (E ≤ 0 , 32 | E < 0 ,35) =
P (E ≤ 0 ,32)
P (E < 0 ,35)
P
(E− 0. 35
0. 03 <^
P (Z < 0)
