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Matemáticas aplicadas a las
Ciencias Sociales I
Página 229
Resuelve
Relación funcional y relación estadística
En cada uno de estos casos debes decir si, entre las dos variables que se citan, hay relación funcional
o estadística (correlación) y, en este último caso, indicar si es positiva o negativa:
a) En un conjunto de familias:
Estatura media de los padres-Estatura media de los hijos
b) Entre los países del mundo respecto a España:
Volumen de exportación-Volumen de importación
c) En los países del mundo:
Tasa de mortalidad infantil-Médicos por cada 1 000 habitantes
d) En las viviendas de una ciudad:
KWh consumidos durante enero-Coste del recibo de la luz
Número de personas en cada casa-Coste del recibo de la luz
e) En los equipos de fútbol:
Posición al finalizar la liga-Número de partidos perdidos
Posición al finalizar la liga-Número de partidos ganados
a) Estadística, porque la estatura media de los padres no nos permite saber exactamente la estatura media
de los hijos. Hay correlación positiva. Normalmente, los hijos de padres altos son altos.
b) Estadística, porque el volumen de exportación no nos permite saber exactamente el volumen de im-
portación. Hay correlación negativa. Normalmente, los países que exportan mucho, importan poco.
c) Estadística, porque la tasa de mortalidad infantil no nos permite saber exactamente el número de mé-
dicos por cada 1 000 habitantes. Hay correlación negativa. Normalmente, los países que tienen una
tasa de mortalidad infantil grande, tienen pocos médicos por cada 1 000 habitantes.
d) kWh consumidos durante enero - Coste del recibo de la luz 8 Funcional; si conocemos los kWh consu-
midos durante enero, podemos calcular el coste del recibo de la luz.
Número de personas en cada casa - Coste del recibo de la luz 8 Estadística, porque el número de personas
en cada casa no nos permite saber exactamente el coste del recibo de la luz. Hay correlación positiva.
Normalmente, cuantas más personas hay en una casa, más luz se consume.
e) Posición al finalizar la liga - Número de partidos perdidos 8 Estadística, porque la posición al finalizar
la liga no nos permite saber exactamente el número de partidos perdidos. Hay correlación negativa.
Normalmente, cuanto más alta es la posición en la liga, menos partidos se han perdido.
Posición al finalizar la liga - Número de partidos ganados 8 Estadística, porque la posición al finalizar la
liga no nos permite saber exactamente el número de partidos ganados. Hay correlación positiva. Nor-
malmente, cuanto más alta es la posición en la liga, más partidos se han ganado.
DISTRIBUCIONES
BIDIMENSIONALES
Para consultar los criterios de evaluación y los
estándares de aprendizaje evaluables ,
véase la Programación.
C.E.: CE 1.8. (EA 1.8.1.) CE 4.2. (EA 4.2.2.-EA 4.2.3.-EA 4.2.4.) CE 4.5. (EA 4.5.1.-EA 4.5.2.)
Matemáticas aplicadas a las
Ciencias Sociales I
Ejemplo de relación estadística
En la siguiente gráfica, cada punto representado corresponde a un chico. La abscisa es la estatura de
su padre, y la ordenada, su propia altura:
190
180
170
160
160 170 180 190
a) Identifica a Guillermo y Gabriel, hermanos de buena estatura, cuyo padre es bajito.
b) Identifica a Sergio, de estatura normalita, cuyo padre es muy alto.
c) ¿Podemos decir que hay una cierta relación entre las estaturas de estos 15 chicos y las de sus padres?
a) Guillermo y Gabriel están representados mediante los puntos (160, 175) y (160; 177,5).
b) Sergio está representado con el punto (192,5; 172,5).
c) Sí; en general, cuanto más alto sea el padre, más altos son los hijos.
Matemáticas aplicadas a las
Ciencias Sociales I
2 CORRELACIÓN LINEAL
C.E.: CE todos los tratados en la unidad (EA todos los tratados en la unidad)
Página 233
1 ¿Verdadero o falso?
a) Cuanto más próximos estén a una recta los puntos de una distribución bidimensional, más
fuerte es su correlación lineal.
b) Si la recta de regresión tiene pendiente negativa, la correlación lineal es negativa.
c) Si los puntos de la nube no se aproximan a ninguna recta, entonces las variables están incorre-
ladas.
a) Verdadero. Porque la correlación estudia las distancias de los puntos a la recta de regresión. Cuanto
más pequeña es la distancia a la recta, mayor es la correlación.
b) Verdadero. Una recta de pendiente negativa indica, como el signo del coeficiente de correlación,
que al aumentar una variable, la otra disminuye.
c) Verdadero.
2 [La interpretación de los datos de la tabla requiere poner en práctica la iniciativa (dimen-
sión productiva de esta clave)].
La siguiente tabla muestra cómo se ordenan entre sí diez países, A, B, C…, según dos variables,
R.P.C. ( renta per cápita ) e I.N. ( índice de natalidad ). Representa los resultados en una nube de
puntos, traza la recta de regresión y di cómo te parece la correlación.
países A B C D E F G H I J
r.p.c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
i.n. 10 6 9 5 7 4 1 3 8 2
La correlación es negativa y moderadamente alta (–0,62).
2
2
4
6
8
10
4 6 8 10 12
I.N.
R.P.C.
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3 PARÁMETROS ASOCIADOS A UNA DISTRIBUCIÓN BIDIMENSIONAL
C.E.: CE 4.1. (EA 4.1.1.-EA 4.1.2.-EA 4.1.3.-EA 4.1.4.-EA 4.1.5.) CE 4.2. (EA 4.2.1.-EA 4.2.2.-EA 4.2.3.- EA 4.2.4.)
Página 235
1 ¿Verdadero o falso?
a) El signo de la correlación ( r ) coincide con el de la covarianza ( q xy ).
b) Si cambiamos las unidades en que se expresa la variable x , entonces se modifican los valores
de x
- , q x y q xy****.
c) Aunque cambiemos las unidades en que se da la variable x (o y , o ambas) el valor de la correla-
ción, r , no cambia.
a) Verdadero, r = q q
q
x y
xy ; como q x y q y son positivas, el signo de r es el de q xy.
b) Falso. Varían todos los parámetros menos r , porque r es el único que no tiene dimensiones.
c) Verdadero.
2 Obtén mediante cálculos manuales los coeficientes de correlación de las distribuciones del epí-
grafe anterior:
Salto de altura-Salto con pértiga
Salto de altura-1 500 m lisos
Salto de altura-Lanzamiento de peso
Comprueba tus resultados con la calculadora.
x : salto de altura
y : salto con pértiga
Elaboramos la tabla como en el ejercicio resuelto:
x
= 4,5 y
q x = , 8
2 = 2,
q y = , 8
2 = 2,
q xy = 8
r = , · ,
xi yi xi
2 yi
2 xi · yi
1 2 3 4 5 6 7 8 1 4 2 3 5 7 6 8 1
4
9
16
25
36
49
64
1
16
4
9
25
49
36
64
1
8
6
12
25
42
42
64
36 36 204 204 200
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Ciencias Sociales I
4 RECTA DE REGRESIÓN
C.E.: CE 1.12. (EA 1.12.1.) CE 4.2. (EA 4.2.1.-EA 4.2.2.-EA 4.2.3.-EA 4.2.4.)
Página 237
1 ¿Verdadero o falso?
a) Cuanto más fuerte sea la correlación, más puntos habrá de la nube que se encuentren exacta-
mente sobre la recta de regresión.
b) Cuanto más fuerte sea la correlación, más cerca de la recta de regresión estarán los puntos de la
nube.
c) Cuanto más fuerte sea la correlación, más fiables serán las estimaciones hechas a partir de la
recta de regresión.
a) Falso. Aunque la correlación sea muy grande, es posible que ningún punto de la nube de puntos
esté sobre la recta.
b) Falso. Habrá muchos puntos cerca de la recta, pero puede haber puntos aislados lejos de la recta.
c) Verdadero. Los valores de una de las variables son más predecibles, puesto que están muy próximos
a la recta de regresión.
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5 HAY DOS RECTAS DE REGRESIÓN
C.E.: CE 4.2. (EA 4.2.1.-EA 4.2.2.-EA 4.2.3.-EA 4.2.4.)
Página 238
1 ¿Verdadero o falso?
a) En una distribución bidimensional en la que se estudien conjuntamente las estaturas ( x ) y
los pesos ( y ) de un grupo de jóvenes en la cual x
- = 170 cm e y - = 65 kg, es imposible que las
rectas de regresión sean y = 0,8 x – 67 e y = 1,1 x – 121.
b) Si en una distribución bidimensional es x
- = 3 e y - = 5, entonces es posible que las rectas de
regresión sean y = 2 x – 1 e y = – x + 8, pues ambas se cortan en (3, 5).
c) Si las rectas de regresión son y = 5
x + 10 e y = 11 x – 2, entonces la correlación es débil porque
las rectas forman un ángulo próximo a 90°.
a) (^) ,
y x
y x
* 4 x = 180,0; y = 77,0 8 Se cortan en (180, 77).
El punto de corte de las rectas de regresión debe ser ( x – , y –^ ) = (170, 65), luego es verdadera la afir-
mación.
b) Falso. El signo de la pendiente de las dos rectas de regresión debe ser igual.
c) Verdadero. Se puede observar en las gráficas de esta página.
Matemáticas aplicadas a las
Ciencias Sociales I
4 Haz la distribución de y condicionada a x < 36.
yi fi
inf 10
doc 20
ent 20
dep 54
pel 26
otr 5
5 Comprueba, calculando las frecuencias relativas, que el suceso pel. no es independiente de la
edad.
xi 21,5 30,5 43 58 75
pel 11 15 20 16 11 73
0,15068493 0,20547945 0,2739726 0,21917808 0,
Se observa que las frecuencias relativas varían según la edad.
6 Haz la distribución de x condicionada a no deporte y compara sus frecuencias relativas con las
de la distribución marginal de la x****.
xi 21,5 30,5 43 58 75
no dep 61 105 166 119 138 589
xi fi xi · fi xi^2 xi^2 · fi
21,
30,
43 ,
58 ,
75 ,
61
105
166
119
138
1 311,
3 202,
7 138 ,
6 902 ,
10 350 ,
462,
930,
1 849 ,
3 364 ,
5 625 ,
28 197,
97 676,
306 934 ,
400 316 ,
776 250 ,
589 28 904 ,0 1 609 373,5 0
x
q x =
2 = 33,
La media es similar; sin embargo, la desviación típica es mayor si consideramos los datos de las perso-
nas que no ven deportes.
Matemáticas aplicadas a las
Ciencias Sociales I
Página 242
7 Otro grupo de 154 personas han realizado los mismos test, con
los resultados que se dan en la tabla de la derecha. Halla el coe-
ficiente de correlación.
De los datos obtenemos las siguientes tablas:
0 1 2 3 4
0 17 22 6 4 1 50
1 15 14 8 2 0 39
2 13 6 10 5 1 35
3 5 4 2 6 2 19
4 3 1 0 3 4 11
53 47 26 20 8 154
xi
yi
Distribución marginal de la x :
xi fi xi · fi xi^2 xi^2 · fi
0
1
2
3
4
53
47
26
20
8
0
47
52
60
32
0
1
4
9
16
0
47
104
180
128
154 191 459
x
q x = , 154
2 = 1,
Distribución marginal de la y :
yi fi yi · fi yi^2 yi^2 · fi
0
1
2
3
4
50
39
35
19
11
0
39
70
57
44
0
1
4
9
16
0
39
140
171
176
154 210 526
y
q y = 154
2 = 1,
q xy = 154
r = , ,
0 1 2 3 4
0 17 22 6 4 1
1 15 14 8 2 0
2 13 6 10 5 1
3 5 4 2 6 2
(^4 3 1 0 3 )
xi yi
Matemáticas aplicadas a las
Ciencias Sociales I
EJERCICIOS Y PROBLEMAS GUIADOS
C.E.: CE 1.8. (EA 1.8.1.)
Página 245
- Dos rectas de regresión. Estimaciones
- La siguiente tabla relaciona las variables
x: gastos en publicidad (miles de euros)
y: ventas (miles de euros)
durante los 6 primeros meses de promoción de un cierto producto:
a) Hallar las dos rectas de regresión.
b) Efectuar la estimación y
^ (5,5) y explicar su significado.
c) Para obtener unas ventas de 20 000 €, ¿cuántos miles de euros se estima que hay que gastar en
publicidad?
¿Serán fiables estas estimaciones?
a) (^) x i yi xi
(^2) y i
(^2) x i ·^ yi
1 2 3 4 5 6 10
17
30
28
39
47
1
4
9
16
25
36
100
289
900
784
1 521
2 209
10
34
90
112
195
282
21 171 91 5 803 723
x
y
q x = , 6
2 = 1,
q y = , 6
2 = 12,
q xy = 6
Pendiente de la recta de regresión de Y sobre X :
myx = ,
2
y – 28,5 = 7,1( x – 3,5)
Pendiente de la recta de regresión de X sobre Y :
mxy = ,
2 = 7,
y – 28,5 = 7,47( x – 3,5)
b)
^ y (5,5) = 7,1(5,5 – 3,5) + 28,5 = 42,
c)
^ x (20) 8 20 – 28,5 = 7,47( x – 3,5) 8 y = 2,
r = , · ,
x 1 2 3 4 5 6
y 10 17 30 28 39 47
Matemáticas aplicadas a las
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- Tabla de doble entrada
- Una compañía discográfica ha recopilado en la tabla de
la derecha la siguiente información sobre el número de
conciertos dados por 15 grupos musicales durante un
verano, y las ventas de discos de estos grupos (en miles).
a) Calcular el número medio de discos vendidos.
b) ¿Cuál es el coeficiente de correlación?
c) Obtener la recta de regresión de Y sobre X****.
d) Si un grupo musical vende 18 000 discos, ¿qué número de conciertos se prevé para él?
a) 20 35 60
3 3 0 0 3
7,5 1 4 1 6
(^15 0 1 5 )
4 5 6
conc. ( yi )
discos ( xi )
x
b) (^) x i fi xi ·^ fi xi
(^2) x i
(^2) · f i
3
7,
15 ,
3
6
6
9
45 ,
90 ,
9
56,
225 ,
27
337,5 0
1 350 ,
15 144 1 714,
q x =
2
yi fi yi · fi yi
2 yi
2 · fi
20
35
60
4
5
6
80
175
360
400
1 225
3 600
1 600
6 125
21 600
15 615 29 325
y
q y = 15
2 = 16,
S x · y · f = 6 855
q xy = 15
r = , ,
q q
q
x ·
xy
y
c) myx = ,
q
q
x
xy
2 2
y – 41 = 2,86( x – 9,6) 8 y = 2,86 x + 13,
d) La previsión de conciertos será:
^ y (18) = 2,86 · 18 + 13,51 = 65
10-30 30-40 40-
1-5 (^3 0 )
5-10 (^1 4 )
10-20 (^0 1 )
conc. ( y )
discos ( x )
Matemáticas aplicadas a las
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2 [Las diferencias entre las gráficas que dibujarán los alumnos pueden ser analizadas según
esta técnica].
a) Copia en tu cuaderno y traza a ojo una recta de regresión para cada una de estas distribuciones bidi-
mensionales:
A
5 10
5
10
B
5 10
5
10
C
5 10
5
10
D
5 10
5
10
b) ¿Cuáles de ellas tienen correlación positiva y cuáles tienen correlación negativa?
c) Sin hacer cálculos, elige, de entre los siguientes valores, la correlación de cada una de las distri-
buciones:
d) Una de ellas presenta relación funcional; ¿cuál? Da la expresión analítica de la función que
relaciona las dos variables.
a) (^) A 10
5
5 10
B (^10)
5
5 10
C (^10)
5
5 10
D (^10)
5
5 10
b) B y C tienen correlación positiva; A y D, negativa.
c) A 8 –1; B 8 0,95; C 8 0,64; D 8 –0,
d) La A es relación funcional: y = 12 – 2 x.
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3 Cada una de estas seis distribuciones bidimensionales está representada por sus dos rectas de
regresión:
I II III
IV V VI
Sus coeficientes de correlación son, no respectivamente:
Asigna, razonadamente, a cada una su valor.
I 8 0,6 II 8 0,1 III 8 –0,
IV 8 –0,5 V 8 0,99 VI 8 –0,
4 Representa la nube de puntos de esta distribución y estima cuál de estos tres puede ser el coefi-
ciente de correlación:
a) r = 0,98 b) r = – 0,87 c) r = 0,
x 0 1 2 3 3 4 5 6 7 8 9
y 1 4 6 2 4 8 6 5 3 6 9
9
7
5
3
1
2 4 6 8 9 X
Y
El coeficiente de correlación es r = 0,58.
Matemáticas aplicadas a las
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7 Las estaturas de 10 chicas, x , y las de sus madres, y , son:
x i 158 162 164 165 168 169 172 172 174 178
y i 163 155 160 161 164 158 175 169 166 172
a) Representa estos valores mediante una nube de puntos.
b) Traza a ojo una recta de regresión y di si la correlación es positiva o negativa y más o menos
fuerte de lo que esperabas.
150
160
170
180
Y
150 160 170 180 X
La correlación es positiva y fuerte.
Página 247
Con fórmulas
8 Esta es la distribución bidimensional dada por la nube de puntos B del ejercicio 2:
x^0 1 2 3 4 4 5 6 7 8 9
y^0 2 2 4 3 6 4 5 7 7 9
Halla mediante cálculos manuales:
a) x
- , y - , σ x , σ y , σ xy****.
b) El coeficiente de correlación, r****. Interprétalo.
c) Las ecuaciones de las dos rectas de regresión.
d) Comprueba los resultados con la calculadora.
n = 12, S x = 59, S y = 59
S x
2 = 401 S y
2 = 389 S xy = 390
a) x
q x = 3,04 q y = 2,87 q xy = 8,
b) r = q q
q
x y
xy = 0,95. Se trata de una correlación fuerte y positiva.
c) Recta de regresión de Y sobre X :
xy
x
2 q
q = 0,90 8 y = 4,92 + 0,9( x – 4,92)
Recta de regresión de X sobre Y :
xy
y
2 q
q = 1,01 8 y = 4,92 + 1 01,
( x – 4,92) 8 y = 4,92 + 0,99( x – 4,92)
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9 a) Representa la nube de puntos correspondiente a la siguiente distribución bidimensional:
x 0 1 2 3 3 4 5 6 7 8 9
y 1 4 6 2 4 8 6 5 3 6 9
b) Comprueba con la calculadora que sus parámetros son:
x
- = 4,4 y - = 4,9 σ xy = 3,
σ x = 2,77 σ y = 2,31 r = 0,
c) Halla las ecuaciones de las dos rectas de regresión, X sobre Y e Y sobre X , y represéntalas
junto con la nube de puntos.
a) Representada en el ejercicio 4.
b) Se comprueba.
c) • Recta de regresión de Y sobre X :
myx =
xy
x
2 q
q
,
2
= 0,48 8 y = 4,9 + 0,48( x – 4,4) 8 y = 0,48 x + 2,
- Recta de regresión de X sobre Y :
mxy =
xy
y
2 q
q
,
2
m
xy
= 1,45 8 y = 4,9 + 1,45( x – 4,4) 8 y = 1,45 x – 1,
9
X sobre Y
Y sobre X
5
5 9 X
Y
10 Una distribución bidimensional en la que los valores de x son 12, 15, 17, 21, 22 y 25, tiene una
correlación r = 0,99 y su recta de regresión es y = 10,5 + 3,2 x****.
a) Calcula y
^ (13), y
^ (20), y
^ (30), y
^ (100).
b) ¿Cuáles de las estimaciones anteriores son fiables, cuál poco fiable y cuál no se debe hacer?
c) Expresa los resultados en términos adecuados.
Por ejemplo:
y
^ (13) = 52,1. «Para x = 13 es muy probable que el valor correspondiente de y sea próximo a 52».
a) ^ y (13) = 52,1; ^ y (20) = 74,5; ^ y (30) = 106,5; ^ y (100) = 330,
b)
^ y (13) e
^ y (20) son estimaciones fiables,
^ y (30) es poco fiable e
^ y (100) es una estimación nada fiable.
c) Son fiables
^ y (13) e
^ y (20), porque 13 y 20 están en el intervalo de valores utilizados para obtener
la recta de regresión.
^ y (30) es menos fiable, pues 30 está fuera del intervalo, aunque cerca de él.
^ y (100) es una estimación nada fiable, pues 100 está muy lejos del intervalo [12, 25].
