ENUNCIAT: Despr´es d’una injecci´o intramuscular, la concentraci´o en sang de certs f`armacs evoluciona
al llarg del temps segons el model:
C(t) = C0(1 −e−kt)
on C(t) ´es la concentraci´o a l’instant t (en hores), k una constant positiva depenent de l’individu i C0
una constant d’escala depenent de la unitat triada. Per un determinat f`armac injectat a un individu
donat, volem determinar la constant k, sabent que despr´es d’una injecci´o efectuada a temps t = 0 es fan
tres mesures de concentraci´o a temps: t1,t2=t1+ 1 i t3=t1+ 2, essent les respectives concentracions:
C(t1) = 1, C(t2)=6,7 i C(t3)=8,8 (en una unitat de concentraci´o arbitr`ariament fixada). Determineu
tamb´e els valors de t1iC0.
RESOLUCI ´
O:
De l’enunciat, dedu¨ım f`acilment el seg¨uent sistema d’equacions no lineals:
C01−e−kt1= 1
C01−e−kt2= 6,7
C01−e−kt3= 8,8
Restem la segona menys la primera:
C01−e−kt2−C01−e−kt1= 6,7−1=5,7
C01−e−kt2−1 + e−kt1= 5,7
C0−e−kt2+e−kt1= 5,7
C0e−kt1−e−kt2= 5,7
C0e−kt1−e−k(t1+1)= 5,7
C0e−kt1−e−kt1−k= 5,7
C0e−kt1−e−kt1e−k= 5,7
C0e−kt11−e−k= 5,7
I el mateix per`o amb la tercera menys la primera:
C01−e−kt3−C01−e−kt1= 8,8−1=7,8
C01−e−kt3−1 + e−kt1= 7,8
C0−e−kt3+e−kt1= 7,8
C0e−kt1−e−kt3= 7,8
C0e−kt1−e−k(t1+2)= 7,8
C0e−kt1−e−kt1−2k= 7,8
C0e−kt11−e−2k= 7,8
Ara dividim les expressions que ens han quedat:
C0e−kt11−e−k
C0e−kt1(1 −e−2k)=5,7
7,8
1−e−k
(1 −e−2k)=5,7
7,8
1
