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Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
Página 81
Resuelve
Los cadetes que desfilan con su mascota Una compañía de cadetes, formada en cuadro de 20 metros de lado, avanza con paso regular. La mascota de la compañía, un pequeño perro, parte del centro de la última fila, punto A , camina en línea recta hasta el centro de la fila de cabeza, punto B , y regresa del mismo modo hasta el centro de la última fila. En el momento de volver a alcanzar A , los cadetes han recorrido exactamente 20 metros.
Suponiendo que el perro camina con velocidad constante y que no pierde tiempo en los giros, ¿cuántos metros ha recorrido?
Representamos esquemáticamente el movimiento de la mascota y de los cadetes:
x
20 m t = 0
Mascota
Cadete cola
Cadete cabeza
t = t 1
20 m x
t = t 2
Llamamos x al espacio que recorre el soldado de cabeza hasta que la mascota lo alcanza, y usaremos la
fórmula tiempo = velocidad
espacio .
El tiempo que tarda la mascota en llegar hasta el soldado de cabeza, t 1 , es el mismo que el que tarda el soldado de cabeza en recorrer los x metros.
Llamamos vmascota a la velocidad de la mascota y vcadete a la velocidad de los cadetes.
La ventaja del cadete de cabeza es de 20 m.
t 1 = tiempo que tarda la mascota en llegar hasta el cadete de cabeza
t 1 = v v
mas cot a – ca dete
t 1 = tiempo que tarda el cadete de cabeza en recorrer los x metros
t 1 = v
x ca dete
A B
3 ÁLGEBRA
Para consultar los criterios de evaluación y los estándares de aprendizaje evaluables , véase la Programación.
C.E.: CE 1.1. (EA 1.1.1.) CE 1.3. (EA 1.3.1.-EA 1.3.2.) CE 1.5. (EA 1.5.1.-EA 1.5.2.) CE 1.6. (EA 1.6.1.-EA 1.6.2.-EA 1.6.3.-EA 1.6.5.)
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
Luego tenemos la igualdad:
I : v v
mas cot a – cadet e
v
x cadet e
El espacio recorrido por la mascota cuando avanza con los cadetes es 20 + x. El espacio recorrido por la mascota al volver es x , puesto que al final se queda a 20 m del principio. Luego el espacio total recorrido por la mascota es e = 20 + 2 x.
El tiempo total durante el cual avanza la compañía, t 2 , es el mismo que el tiempo que está la mascota corriendo.
t 2 = tiempo total durante el cual avanza la compañía
t 2 = v
ca dete
t 2 = tiempo total durante el cual corre la mascota
t 2 = v
20 2 x mas cota
Luego tenemos la igualdad:
II : v
20 2 x mas cot a
v
ca dete
v
v (^) x 20
det
cot ca e
mas a (^) = +
Operamos en la igualdad I :
x ( vmascota – vcadete ) = 20 · vcadete 8 x · vmascota = 20 · vcadete + xvcadete 8
8 x · vmascota = vcadete (20 + x ) 8
8 vmascota = vcadete^ (^ ) x
20 + x 8 v
v x
det
cot ca e
mas a (^) = +
Hemos obtenido la razón entre las dos velocidades. Usamos esta relación en la igualdad II y obtenemos:
x 20 x
20 + (^2) = 20 + 18 1 + x 20 x
(^2) = 20 + 18 x 20 x
Operamos y obtenemos:
2 x^2 = 400 8 x^2 = 200 8 x = 10 2 m
El espacio recorrido por la mascota es e = 20 + 2 x = 20 + 10 2 + 10 2 = 20 2 + 20 m.
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
2 POLINOMIOS. FACTORIZACIÓN
C.E.: CE1.2. (EA 1.1.1.) CE 1.2. (EA 1.2.1.-EA 1.2.2.) CE 2.3. (EA 2.3.1.-EA 2.3.2.-EA 2.3.3.) Página 84
1 Comprobamos. [La descomposición factorial propuesta por el enunciado es una buena oca- sión para que el alumnado trabaje esta técnica]. Descompón factorialmente estos polinomios: a) x^6 – 9 x^5 + 24 x^4 – 20 x^3 b) x^6 – 3 x^5 – 3 x^4 – 5 x^3 + 2 x^2 + 8 x c) x^6 + 6 x^5 + 9 x^4 – x^2 – 6 x – 9 d) 4 x^4 – 15 x^2 – 5 x + 6 a) x^6 – 9 x^5 + 24 x^4 – 20 x^3 = x^3 ( x^3 – 9 x^2 + 24 x – 20)
1 –9 24 – 2 2 –14 20 1 –7 10 0 2 2 – 1 –5 0
x^6 – 9 x^5 + 24 x^4 – 20 x^3 = x^3 ( x – 2)^2 ( x – 5) b) x^6 – 3 x^5 – 3 x^4 – 5 x^3 + 2 x^2 + 8 x = x ( x^5 – 3 x^4 – 3 x^3 – 5 x^2 + 2 x + 8)
1 –3 –3 –5 2 8 1 1 –2 –5 –10 – 1 –2 –5 –10 –8 0 –1 –1 3 3 8 1 –3 –2 –8 0 4 4 4 8 1 1 2 0
x^2 + x + 2 = 0 → x = 2
- ± 1 1 – (^8) (no tiene solución)
x^6 – 3 x^5 – 3 x^4 – 5 x^3 + 2 x^2 + 8 x = x ( x – 1) ( x + 1) ( x – 4) ( x^2 + x + 2)
c) x^6 + 6 x^5 + 9 x^4 – x^2 – 6 x – 9
1 6 9 0 –1 –6 – –1 –1 –5 –4 4 –3 9 1 5 4 –4 3 –9 0 –3 –3 –6 6 –6 9 1 2 –2 2 –3 0 –3 –3 3 –3 3 1 –1 1 –1 0 1 1 0 1 1 0 1 0
x^2 + 1 = 0 → x^2 = –1 (no tiene solución) Así, x^6 + 6 x^5 + 9 x^4 – x^2 – 6 x – 9 = ( x + 3)^2 ( x + 1) ( x – 1) ( x^2 + 1)
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
d) 4 x^4 – 15 x^2 – 5 x + 6
4 0 –15 –5 6 2 8 16 2 – 4 8 1 –3 0 –1 – 4 – 4 3 4 4 –3 0
4 x 4 x 3 0 8 x 8 x , x 8
2 + – = = –^ ±^ +^ = =–^3
4 x 15 x 5 x 6 4 ( x 2 ) ( x 1 ) x x 2
4 – 2 – + = – + c – mc +^3 m
2 a) Intenta factorizar x^4 + 4 x^3 + 8 x^2 + 7 x + 4.
b) Hazlo ahora sabiendo que es divisible por x^2 + x + 1. a) El polinomio dado no tiene raíces enteras (de hecho, no tiene raíces reales). b) Hacemos la división:
x^4 + 4 x^3 + 8 x^2 + 7 x + 4 x^2 + x + 1
- x^4 – x^3 – x^2 x^2 + 3 x + 4 3 x^3 + 7 x^2 + 7 x + 4 –3 x^3 – 3 x^2 – 3 x 4 x^2 + 4 x + 4
- 4 x^2 – 4 x – 4 0 Los polinomios x^2 + x + 1 y x^2 + 3 x + 4 son irreducibles (las ecuaciones x^2 + x + 1 = 0 y x^2 + 3 x + 4 = 0 no tienen solución). Por tanto: x^4 + 4 x^3 + 8 x^2 + 7 x + 4 = ( x^2 + x + 1 ) ( x^2 + 3 x + 4 )
3 Intenta factorizar 6 x^4 + 7 x^3 + 6 x^2 – 1. Vuelve a intentarlo sabiendo que – 1/2 y 1/3 son raíces suyas y comprueba tus resultados con la calculadora. El polinomio dado no tiene raíces enteras.
Teniendo en cuenta el dato adicional (que 2
(^1) son raíces), procedemos así:
6 x^2 + 6 x + 6 = 0
6( x^2 + x + 1) = 0
x = 2
- ± 1 1 – (^4) (no tiene solución)
Por tanto:
6 x^4 + 7 x^3 + 6 x^2 – 1 = x x ( x x ) ( x ) ( x ) ( x x ) 2
c + mc – 1 m 6 2 + + 1 = 2 + 1 3 – 1 2 + + 1
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
3 Efectúa.
a) x x
x x
x 1
b) x
x (^) x 1
a) x x
x x
x 1
( x ) ( x ) x
x x
x 1 1
x x x x
x x x x
x x 1 1
x x
x x x x 1 1
x
x x x x x
x x 1
2
2 2 2
b) x
x (^) x 1
+ = (^ )^ (^ )
x
x x x x
x x x
x x 1
4 Efectúa estas operaciones:
a) x
x x x
x 2
+ (^) b) : x
x x x
x 2
a) x
x x x
x 2
x x
x x x x x
x x 2 5
2
3 2
b) : x
x x x
x 2
x x
x x x x x
x x x 2 3 2
2
3 2
5 Calcula.
a) : · x
x x x
2 x 3
c + m
b) x
x x x
x x 1
2
4 2 4
4 2 +
a) : · x
x x x
2 x 3
c + m
x
x x
x x x x
2 x^ x 3 2 1
= +^ +
b) x
x x x
x x 1
2
4 2 4
4 2
x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x (^) x 1 1
2 4
4 2 4 2 2 4
2 2 2 2 2 4
(^4 2 2 )
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
4 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
C.E.: CE 1.12. (EA 1.12.4) CE 2.3. (EA 2.3.1.-EA 2.3.2.-EA 2.3.3.) Página 87
Hazlo tú
1 Resuelve esta ecuación:
x^4 – 2 x^2 + 1 = 0 x^4 – 2 x^2 + 1 = 0 x^
(^2) = y ⎯⎯→ y^2 – 2 y + 1 = 0 8 y = 1 8 x = ± 1 Soluciones : x 1 = 1, x 2 = –
Piensa y practica
1 Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) x^4 – x^2 – 12 = 0 b) x^4 – 8 x^2 – 9 = 0
a) x^2 = 2
4 x 2
Soluciones : x 1 = 2, x 2 = –
b) x^2 = 2
9 x 3
Soluciones : x 1 = 3, x 2 = –
2 Resuelve:
a) x^4 + 10 x^2 + 9 = 0 b) x^4 – x^2 – 2 = 0
a) x^2 = 2
– ± – = – 10 ± 8 (^ )
- no vale
- no vale No tiene solución.
b) x^2 = 2
± + = ± = 1 ± 3 8 (^ )
x x x
2 2
Hay dos soluciones: x 1 = – 2 , x 2 = 2
Página 88
Hazlo tú
1 Resuelve:
a) 19 – 6 x – 2 = x b) x – 2 + x – 3 = 5 a) 19 – 6 x – 2 = x 8 19 – 6 x = x + 2 Elevamos al cuadrado ambos miembros: 19 – 6 x = x^2 + 4 x + 4 8 x^2 + 10 x – 15 = 0 8 x 1 = –5 + 2 10 , x 2 = –5 – 2 10 (no vale) Solución : x = –5 + 2 10 b) x – 2 + x – 3 = 5 8 x – 2 = 5 – x – 3 Elevamos al cuadrado ambos miembros:
x – 2 = x – 10 x – 3 + 22 8 10 x 3 24 8 x 3 8 x 10
- = – = c m^2 = c m^2 + =^219 , que es válida.
Solución : x = 25
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
4 Resuelve:
a) 4 x + 9 – 2 x + 1 = 2 b) 3 x + 4 – 1 – x = 1 c) x + 3 + 3 = x d) x – 2 + x + 1 = 3 e) 3 x – x – 2 = 0 f) – 5 – 7 x + 4 + x = 7 – 6 x a) 4 x + 9 – 2 x + 1 = 2 4 x + 9 = 2 + 2 x + 1 4 x + 9 = 4 + 2 x + 1 + 4 2 x + 1 x + 2 = 2 2 x + 1 x^2 + 4 + 4 x = 4(2 x + 1) x^2 – 4 x = 0; x ( x – 4) = 0 x 1 = 0, x 2 = 4 b) 3 x + 4 – 1 – x = 1 3 x + 4 = 1 – x + 1 3 x + 4 = 1 – x + 1 + 2 1 – x 2 1 – x = 4 x + 2 4(1 – x ) = 16 x^2 + 16 x + 4 4 x^2 + 5 x = 0 8 x 1 = 0, x 2 = 4
x = 0 c) x + 3 + 3 = x x + 3 = x – 3 x + 3 = x^2 – 6 x + 9 x^2 – 7 x + 6 = 0
x = 2
x x
1 (no vale
x = 6 d) x – 2 + x + 1 = 3 x – 2 = – x + 1 + 3 x – 2 = ( x + 1) + 9 – 6 x + 1 6 x + 1 = 12 36( x + 1) = 144 x = 3 e) 3 x – x – 2 = 0 3 x = x + 2 3 x = x + 2 + 2 2 x x – 1 = 2 x x^2 – 4 x + 1 = 0
x = 2
x x
2 – 3 (no vale
x = 2 + 3
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
f ) – 5 – 7 x + 4 + x = 7 – 6 x –5 – 7 x + 4 + x + 2 – 5 – 7 x 4 + x = 7 – 6 x ( – 5 – 7 x ) ( 4 + x )= 4 7 x^2 + 33 x + 36 = 0
x = 14
x 1 = 7
Página 89
Hazlo tú
1 Resuelve esta ecuación:
x
x 2
3( x – 2) + 3 x = 4 x ( x – 2)
2 x^2 – 7 x + 3 = 0; x = 4
7 ± (^5) = x x
x 1 = 3, x 2 = 2
Las dos soluciones son válidas.
Piensa y practica
5 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x
x 3
(^3) b) x
x
x 3 2
+ (^) = 4 c) x
x
2 =^4
a) 10( x + 3) + 10 x = 3 x ( x + 3) 10 x + 30 + 10 x = 3 x^2 + 9 x
0 = 3 x^2 – 11 x – 30; x = , 6
x 1 = 5,489; x 2 = –1, b) 12( x – 2) + 2 x ( x + 1) = 12 x ( x – 2) 12 x – 24 + 2 x^2 + 2 x = 12 x^2 – 24 x 0 = 10 x^2 – 38 x + 24
0 = 5 x^2 – 19 x + 12; x = 10
x 1 = 3; x 2 = 5
c) 4 x + 4 = 3 x^2 ; 0 = 3 x^2 – 4 x – 4
x = 6
x 1 = 2; x 2 = 3
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
8 Resuelve:
a) 3 x^ + 3 x^ + 2^ = 30
b) 5 x^ + 1^ + 5 x^ + 5 x^ – 1^ = 5
c) 25
x
x 2
(^21) +
+ = 3 125
d) 52 x^ = 0,2^4 x^ – 6 a) 3 x^ + 3 x^ · 9 = 30 8 3 x (10) = 30 8 3 x^ = 3 8 x = 1
b) 5 · 5 x^ + 5 x^ + 5
x = 31 8 5 x (^) · 5
= 31 8 x = 0
c) 8 25
x ( )
x x
x 2
1 2 2
(^2 )
= 5^5 8 5 x^^1 –^2 (^ x^2 )^55 2
8 x^2 + 1 – 2( x – 2) = 5 8 x^2 – 2 x – 8 = 0
x x
2
d) 52 x^ = 0,2^4 x^ – 6^8 5 5
2 x = c 1 m^4 x^^ –^6 5 2 x = 5 – ( 4 x – 6 ) 8 2 x = –(4 x – 6) 8 6 x = 6 8 x = 1
Página 91
Hazlo tú
1 Resuelve:
a) log x – log 4 = 2 b) 3 log 5 ( x – 1) = log 5 125 c) 2 ln x = ln (2 x + 3) Recuerda: ln es logaritmo neperiano o logaritmo en base e y log es logaritmo decimal o loga- ritmo en base 10.
a) log x – log 4 = 2 8 log x^ log 8 x^ 8 x 4
b l= 2 = 100 = 400
b) 3 log 5 ( x – 1) = log 5 125 8 3 log 5 ( x – 1) = 3 log 5 5 8 x – 1 = 5 8 x = 6 c) 2 ln x = ln (2 x + 3) 8 ln x^2 = ln (2 x + 3) 8 x^2 = 2 x + 3 8 x 1 = 3, x 2 = –1 (no válida) Solución : x = 3
Piensa y practica
9 ¿Verdadero o falso?
a) Al resolver una ecuación con algún radical cuadrático siempre aparece alguna raíz falsa. b) 4 y – 4 son soluciones de la ecuación 5 + x + 5 – x = 4. c) 4 y – 4 son soluciones de la ecuación 5 + x – 5 – x = 2. a) Falso, hemos resuelto ecuaciones de este tipo en las que todas las soluciones eran válidas. Ejemplo: 4 x + 9 – 2 x + 1 = 2 en la página 89. b) Verdadero, si sustituimos x por 4 o por – 4 obtenemos una igualdad. c) Falso, solo es solución x = 4. Al sustituir x por – 4 no sale una igualdad.
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
10 Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) x^4 – 5 x^2 + 4 = 0 b) x^4 + 5 x^2 + 6 = 0 c) x^4 – 8 x^2 + 16 = 0 d) x^4 – 18 x^2 = 0 a) Hacemos x^2 = y → y^2 – y – 12 = 0 → y = 4, y = – Soluciones: x 1 = 2, x 2 = – b) Hacemos x^2 = y → y^2 – 8 y – 9 = 0 → y = 9, y = – Soluciones: x 1 = 3, x 2 = – c) Hacemos x^2 = y → y^2 + 10 y + 9 = 0 → y = –1, y = – Soluciones: No hay. d) Hacemos x^2 = y → y^2 – y – 2 = 0 → y = 2, y = – Soluciones: x 1 = 2 , x 2 = – 2
11 Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) x
x x x
3 – (^2) – 4 2 x – 5 2 =^ b)^ x
x x (^) x
x 1
2
c) x
x x
x (^1 2) x
+ +^ + = d) x
x x x
x 1
–^3
a) x (3 x – 2) – 4 = x (2 x – 5) → 3 x^2 – 2 x – 4 = 2 x^2 – 5 x → x^2 + 3 x – 4 = 0 → x 1 = 1, x 2 = – b) (3 + x ) ( x + 1) + 5( x – 1) = x – 2 → 3 x + 3 + x^2 + x + 5 x – 5 = x – 2 → x^2 + 8 x = 0 → x 1 = 0, x 2 = – c) 2 x (– x )( x – 1) + (2 x + 1) ( x^2 – 1) + 2 x = 0 → 3 x^2 – 1 = 0 → x = ± 1 3 d) x^2 – ( x + 1) = x (3 x + 2) → x^2 – x – 1 = 3 x^2 + 2 x → 2 x^2 + 3 x + 1 = 0 → x 1 = – 2
(^1) , x 2 = –1 (no válida)
12 Resuelve.
a) 3 x – 2 + x = 2 b) 7 + x – 19 + x =– 2 c) 6 – x = x d) x + 3 – 7 = 3 x – 2 e) 3 x – x – 2 = x + 1 f) 5 x + 1 + 2 = 27 + 3 x a) 3 x – 2 = 2 – x Elevamos al cuadrado ambos miembros: 3 x – 2 = 4 + x^2 – 4 x 8 x^2 – 7 x + 6 = 0 8 x (^) 1 = 1 , x 2 = 6 Comprobamos y vemos que solamente existe una solución ya que x 2 = 6 no cumple la ecuación inicial. Solución : x = 1 b) 7 + x – 19 + x =– 2 Elevamos al cuadrado ambos miembros: 7 + x + 19 + x – 2 7 + x 19 + x = 4 8 x + 11 = 7 + x 19 + x Elevamos al cuadrado ambos miembros otra vez: x^2 + 121 + 22 x = ( 7 + x ) ( 19 + x ) = 1333 + 26 x + x^28 – 4 x = 12 8 x =– 3 Si comprobamos la solución, observamos que es válida. Solución : x = –
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
14 Comprobamos. [La resolución de las ecuaciones propuestas es una buena ocasión para trabajar esta técnica]. Resuelve las ecuaciones siguientes. a) log ( x + 4) + log ( x + 1) = 1 b) log 3 x + log 3 ( x – 2) = 3 log 3 ( x – 2) c) 2 log x – log ( x + 6) = 3 log 2 d) 4 log 2 ( x^2 + 1) = log 2 625 a) Aplicamos la propiedad de la suma de logaritmos: log [ ( x + 4 ) ( x + 1 ) ] = 1 8 ( x + 4 ) ( x + 1 ) = 10 1 8 x^2 + 5 x + 4 – 10 = 0 8 x^2 + 5 x – 6 = 0 8
8 x 8 2
= –^ ±^ +^ = –^ ±^ = –^5 ±^7 x
1 = 1,^ x 2 = – b) log (^) 3 x + log (^) 3 ( x – 2 ) = 3 log (^) 3 ( x – 2 ) 8 log (^) 3 x = 2 log (^) 3 ( x – 2 ) 8 log (^) 3 x = log 3 ( x – 2 )^28
8 x ( x 2 ) 8 x x 4 x 4 8 x 5 x 4 0 8 x 8 2
= – 2 = 2 – + 2 – + = = ±^ – =^5 ±^3
8 x (^) 1 = 4 , x 2 = 1 donde descartamos la solución x = 1 ya que no existe el logaritmo de un núme- ro negativo ( log ( x – 2 ) = log ( – 1 )). Solución : x = 4
c) log x
x 6
2
= log 8
x^2 = 8 x + 48; x^2 – 8 x – 48 = 0; x = 2
- 4 (no vale) x = 12 d) log 2 ( x^2 + 1)^4 = log 2 54 ; x^2 + 1 = 5; x^2 = 4; x = ± x 1 = 2; x 2 = –
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
5 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
C.E.: CE 1.1. (EA 1.1.1.) CE 2.3. (EA 2.3.1.-EA 2.3.2.-EA 2.3.3.) Página 93
1 [La justificación de si las afirmaciones son verdaderas o falsas permite trabajar la destreza expresion oral de esta clave]. ¿Verdadero o falso?
a) El sistema x^ y x y
- tiene dos soluciones:^ x^ = 4,^ y^ = 1
b) El sistema x^ y x y
2 2 2 2
* tiene solo dos soluciones:
[ x 1 = 2, y 1 = 1] y [ x 2 = –2, y 2 = –1]
c) El sistema x^ y x y
2 2 2 2
* tiene cuatro soluciones:
[ x 1 = 2, y 1 = 1]; [ x 2 = 2, y 2 = –1] [ x 3 = –2, y 3 = 1]; [ x 4 = –2, y 4 = –1] a) Falso, x = 4 e y = 1 no son dos soluciones, sino una solución para cada incógnita, luego son una solución del sistema. b) Falso, como las dos incógnitas están al cuadrado, también son soluciones x 3 = –2, y 3 = 1 y x 4 = 2, y 4 = –1. c) Verdadero, por el razonamiento del apartado anterior.
2 Resuelve estos sistemas de ecuaciones:
a) x y x y
x y xy x y
Z
[
\
]]
]]
]]
]]
c) x y x y x y
y x y x x y
a) y^ x y x
x^2 – 9 = 2 x – 1; x^2 – 2 x – 8 = 0
x = 2
x 1 = 4; y 1 = 7 x 2 = –2; y 2 = –
b) y^ x^ xy xy
y = 5 – x x (5 – x ) = 6; 5 x – x^2 = 6; x^2 – 5 x + 6 = 0
x x
x 1 = 2; y 1 = 3 x 2 = 3; y 2 = 2
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
c)
log
x y
y
x
_
`
a
bb bb bb bb
10 y = 27 + y ; 9 y = 27; y = 3
y
x (^) = 10; x = 10 y ; x = 30
x = 30; y = 3
d) (^) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
log 2 x y log 2 y 1 log x y log y log 3 27
x y x y
2 1 3
2
log 2 x y log 10 2 y 3 3
x y
2
x y y x y
x y y x y
x = 10 – 3 y 2(10 – 3 y ) – y^2 + 10 y – 20 = 0; y ( y – 4) = 0; y = 4, y = 0 y = 4 no es válida porque aparecería log (–2) en la primera ecuación. x = 10; y = 0
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
6 MÉTODO DE GAUSS PARA SISTEMAS LINEALES
C.E.: CE 1.2. (EA 1.2.1.-EA 1.2.2.) CE 1.12. (EA 1.12.4.) CE 2.3. (EA 2.3.1.-EA 2.3.2.-EA 2.3.3.) Página 94
1 Reconoce como escalonados y resuelve.
a)
x x x
y y z
Z
[
\
]]
]]
]]
]]
b)
x
x
y y y z
Z
[
\
]]
]]
]]
]]
c)
x
x
y y z
Z
[
\
]]
]]
]]
]]
d) (^) x
y
y
z z
Z
[
\
]]
]]]
]]
]]]
a) x x x
y y z
x y x z x y
x y z
_
`
a
bb bbb bb bbb
_
`
a
bb bb b bb bbb
b) x
x
y y y z
y
x y
z x y
x y z
_
`
a
bb bbb bb bbb
_
`
a
bb bb bbb bb bb bbb
c) x
x
y y z
x y z x y
x y z
_
`
a
bb bbb bb bbb
_
`
a
bb bbb bb bbb
d) x
y
y
z z
y z y x z
x y z
_
`
a
bb bbb bb bbb
_
`
a
bb bb bb bb
