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Unidad 3. Álgebra BACHILLERATO Matemáticas I
Resuelve
Página 73
Los cadetes que desfilan con su mascota
Una compañía de cadetes, formada en cuadro de 20 metros de lado, avanza con paso regular. La mascota de la compañía, un pequeño perro, parte del centro de la última fila, punto A , camina en línea recta hasta el centro de la fila de cabeza, punto B , y regresa del mismo modo hasta el centro de la última fila. En el mo- mento de volver a alcanzar A , los cadetes han recorrido exactamente 20 metros. Suponiendo que el perro camina con velocidad constante y que no pierde tiem- po en los giros, ¿cuántos metros ha recorrido?
A B
Representamos esquemáticamente el movimiento de la mascota y de los cadetes:
x
20 m t = 0
Mascota
Cadete cola
Cadete cabeza
t = t 1
20 m x
t = t 2
Llamamos x al espacio que recorre el soldado de cabeza hasta que la mascota lo alcanza, y usaremos la
fórmula tiempo = velocidad
espacio (^).
El tiempo que tarda la mascota en llegar hasta el soldado de cabeza, t 1 , es el mismo que el que tarda el soldado de cabeza en recorrer los x metros.
Llamamos vmascota a la velocidad de la mascota y vcadete a la velocidad de los cadetes.
La ventaja del cadete de cabeza es de 20 m.
t 1 = tiempo que tarda la mascota en llegar hasta el cadete de cabeza
t 1 = v v
mascot a – ca dete
t 1 = tiempo que tarda el cadete de cabeza en recorrer los x metros
t 1 = v
x ca dete
Matemáticas I
Luego tenemos la igualdad:
I : v v
mas cot a – ca dete
v
x ca dete
El espacio recorrido por la mascota cuando avanza con los cadetes es 20 + x. El espacio recorrido por la mascota al volver es x , puesto que al final se queda a 20 m del principio. Luego el espacio total recorrido por la mascota es e = 20 + 2 x.
El tiempo total durante el cual avanza la compañía, t 2 , es el mismo que el tiempo que está la mascota corriendo.
t 2 = tiempo total durante el cual avanza la compañía
t 2 = v
ca dete
t 2 = tiempo total durante el cual corre la mascota
t 2 = v
20 2 x mas cot a
Luego tenemos la igualdad:
II : v
20 2 x mas cota
v
ca dete
v
v (^) x 20
det
cot ca e
mas a (^) = +
Operamos en la igualdad I :
x ( vmascota – vcadete ) = 20 · vcadete 8 x · vmascota = 20 · vcadete + xvcadete 8
8 x · vmascota = vcadete (20 + x ) 8
8 vmascota = vcadete^ (^ ) x
20 + x 8 v
v x
det
cot ca e
mas a (^) = +
Hemos obtenido la razón entre las dos velocidades. Usamos esta relación en la igualdad II y obtenemos:
x 20 x
20 + (^2) = 20 + 18 1 + x 20 x
(^2) = 20 + 18 x 20 x
Operamos y obtenemos:
2 x^2 = 400 8 x^2 = 200 8 x = 10 2 m
El espacio recorrido por la mascota es e = 20 + 2 x = 20 + 10 2 + 10 2 = 20 2 + 20 m.
Matemáticas I
d) 4 x^4 – 15 x^2 – 5 x + 6
4 0 –15 –5 6 2 8 16 2 – 4 8 1 –3 0 –1 – 4 – 4 3 4 4 –3 0
4 x 4 x 3 0 8 x ±^8 x , x 2
2 + – = = –^4 16 +^48 = =–
4 x 15 x 5 x 6 4 ( x 2 ) ( x 1 ) x x 2
4 – 2 – + = – + c – mc +^3 m
2 a) Intenta factorizar x^4 + 4 x^3 + 8 x^2 + 7 x + 4.
b) Hazlo ahora sabiendo que es divisible por x^2 + x + 1. a) El polinomio dado no tiene raíces enteras (de hecho, no tiene raíces reales).
b) Hacemos la división:
x^4 + 4 x^3 + 8 x^2 + 7 x + 4 x^2 + x + 1
- x^4 – x^3 – x^2 x^2 + 3 x + 4 3 x^3 + 7 x^2 + 7 x + 4 –3 x^3 – 3 x^2 – 3 x 4 x^2 + 4 x + 4
- 4 x^2 – 4 x – 4 0
Los polinomios x^2 + x + 1 y x^2 + 3 x + 4 son irreducibles (las ecuaciones x^2 + x + 1 = 0 y x^2 + 3 x + 4 = 0 no tienen solución).
Por tanto: x^4 + 4 x^3 + 8 x^2 + 7 x + 4 = ( x^2 + x + 1 ) ( x^2 + 3 x + 4 )
3 Intenta factorizar 6 x^4 + 7 x^3 + 6 x^2 – 1. Vuelve a intentarlo sabiendo que – 2
(^1) y 3
(^1) son raíces suyas.
El polinomio dado no tiene raíces enteras.
Teniendo en cuenta el dato adicional (que 2
(^1) son raíces), procedemos así:
6 x^2 + 6 x + 6 = 0 6( x^2 + x + 1) = 0
x = ± 2
- 1 1 – (^4) (no tiene solución)
Por tanto:
6 x^4 + 7 x^3 + 6 x^2 – 1 = x x ( x x ) ( x ) ( x ) ( x x ) 2
c + mc – 1 m 6 2 + + 1 = 2 + 1 3 – 1 2 + + 1
Matemáticas I
2 Fracciones algebraicas
Página 77
1 ¿Verdadero o falso?
a) x
x 1 x
b) x
x 1 x
2 =^ +
c) x
x 1 x
2 =^ +
d) x
x x
a) Para comprobar si son equivalentes, multiplicamos en cruz: ( x + 1)( x + 1) ≠ x^2 + 1, luego es falso.
b) Para comprobar si son equivalentes, multiplicamos en cruz: ( x – 1)( x + 1) = x^2 – 1, luego es verda- dero. c) La primera fracción es el triple de x
x 1
2 , y la segunda es el triple de^ x 1
que son las fracciones del apartado anterior, luego es verdadero.
d) Operamos en el miembro de la izquierda:
x
x x x
Obtenemos el miembro de la derecha, luego es verdadero.
2 Reduce previamente a común denominador las fracciones algebraicas siguientes, y súmalas:
x
x + 7 x x
x – 2 (^2) + –^ x
x 1
x x x x x x x x
2
4 mín.c.m. =^ x^ ( x^ + 1)
Reducimos a común denominador:
x ( )
x x x
x x x x
7 x x 1
x x^ (^ )
x x x
2 x 1
2 + =^ +
x ( ) ( )
x x x
x x x x
x x x x
x x 1
Las sumamos:
x ( ) ( ) ( )
x x x
x x
x x x
x x x x
x x x
7 2 x x 1
2
x x
x x x x x x x
8 7 – 2 – 2 – – x 8 x 5 2
2 2 2
2
Matemáticas I
3 Resolución de ecuaciones
Página 78
Practica Resuelve: a) x^2 + x – 6 = 0 b) x^2 – 2 x + 1 = 0 c) x^2 – 3 x + 3 = 0 d) 3 x^2 – 12 = 0 e) 2 x^2 + 10 x = 0 f ) x^2 = 121
a) x ± 2 = –^1 1 +^24 → x 1 = 2,^ x 2 = –3^ b)^ x^ =^
2 4 – (^4) → x = 1
c) x = ± 2
3 9 – (^12) → No hay solución. d) x = ± ± 3
(^12) = 2 → x 1 = 2,^ x 2 = –
e) 2 x ( x + 5) = 0 → x 1 = 0, x 2 = –5 f ) x = ± 121 = ± 11 → x 1 = 11, x 2 = –
Practica Resuelve: a) x^4 – 5 x^2 + 4 = 0 b) x^4 – 8 x^2 – 9 = 0 c) x^4 + 5 x^2 + 6 = 0 d) 3 x^4 – 36 x^2 = 0 e) x^4 – 8 x^2 + 16 = 0 f ) x^4 – 18 x^2 = 0
a) y = ± 2
5 25 – (^16) → y 1 = 4,^ y 2 = 1 x = ± 4 = ± 2 ; x = ± 1 = ± 1 → x 1 = 2, x 2 = –2, x 3 = 1, x 4 = –
b) y = ± 2
8 64 + (^36) → y 1 = 9,^ y 2 = 1 x = ± 9 = ±3; x = ± 1 = ± 1 → x 1 = 3, x 2 = –3, x 3 = 1, x 4 = –
c) y = ± 2
- 5 25 – (^36) → No hay solución.
d) 3 x^2 ( x^2 – 12) = 0 → x 1 = 0, x 2 = – 12 , x 3 = 12
e) y = ± 2
x = ± 4 = ± 2 → x 1 = 2, x 2 = – f ) x^2 ( x^2 – 18) = 0 → x 1 = 0, x 2 = – 18 , x 3 = 18
Practica Resuelve:
a) x
x x x
3 – (^2) – 4 2 x – 5 2 =^ b)^ x
x x (^) x
x 1
2
c) x
x x
x (^1 2) x
+ +^ + = d) x
x x x
x 1
–^3
a) Reducimos a común denominador y multiplicamos por x^2. x (3 x – 2) – 4 = x (2 x – 5) → 3 x^2 – 2 x – 4 = 2 x^2 – 5 x → → 3 x^2 – 2 x – 4 – (2 x^2 – 5 x ) = 0 8 → x^2 + 3 x – 4 = 0 → x = – 4, x = 1 Comprobadas las soluciones sobre la ecuación inicial, se ve que ambas son válidas. Soluciones: x 1 = – 4, x 2 = 1.
Matemáticas I
b) Reducimos a común denominador y multiplicamos por x^2 – 1. (3 + x )( x + 1) + 5( x – 1) = x – 2 → x^2 + 9 x – 2 = x – 2 8 x = – 8, x = 0 Comprobadas las soluciones sobre la ecuación inicial, se ve que ambas son válidas. Soluciones: x 1 = – 8, x (^) 2 = 0. c) Reducimos a común denominador y multiplicamos por 2 x ( x^2 – 1).
2 x ( x – 1)(– x ) + (2 x + 1)( x^2 – 1) + 2 x = 0 → 3 x^2 – 1 = 0 → x = ; x 3
=–^1
Comprobadas las soluciones sobre la ecuación inicial, se ve que ambas son válidas.
Soluciones: x 1 = 3
d) Reducimos a común denominador y multiplicamos por x ( x + 1).
x^2 – ( x + 1) = x (3 x + 2) → x^2 – ( x + 1) – x (3 x + 2) = 0 → –2 x^2 – 3 x – 1 = 0 8 x = 2
La solución x = –1 no es posible porque hace 0 el denominador. La única solución es x = 2
Página 79
Practica
Resuelve: a) 4 x + 9 – 2 x + 1 = 2 b) 3 x + 4 – 1 – x = 1
a) Despejamos una de las dos raíces. 4 x + 9 = 2 x + 1 + 2 Elevamos al cuadrado ambos miembros. ( 4 x + 9 ) 2 = ( 2 x + 1 + 2 )^2 → 4 x + 9 = 2 x + 4 2 x + 1 + 5 Aislamos el término en el que está la raíz. 4 2 x + 1 = 4 x + 9 – 2 x – 5 Elevamos al cuadrado ambos miembros. ( 4 2 x + 1 ) 2 = ( 4 x + 9 – 2 x + 5 )^2 → 32 x + 16 = 4 x^2 + 16 x + 16 → → 32 x + 16 – (4 x^2 + 16 x + 16) = 0 → x 1 = 4, x 2 = 0 Comprobación: x 1 = 4 → 4 4· + 9 – 2 4· + 1 = 5 – 3 = 2 es válida. x 2 = 0 → 4 0· + 9 – 2 0· + 1 = 2 es válida.
b) Despejamos una de las dos raíces. 3 x + 4 = 1 + 1 – x Elevamos al cuadrado ambos miembros. ( 3 x + 4 ) 2 = ( 1 – 1 – x )^2 → 3 x + 4 = 2 1 – x – x + 2 Aislamos el término en el que está la raíz. 2 1 – x = – x + 2 – ( 3 x + 4 )
Matemáticas I
1 ¿Verdadero o falso?
a) Al resolver una ecuación con algún radical cuadrático siempre aparece alguna raíz falsa. b) 4 y – 4 son soluciones de la ecuación 5 + x + 5 – x = 4. c) 4 y – 4 son soluciones de la ecuación 5 + x – 5 – x = 2. a) Falso. Hemos resuelto ecuaciones de este tipo en las que todas las soluciones eran válidas. Ejemplo: 4 x + 9 – 2 x + 1 = 2 en la página 79. b) Verdadero. Si sustituimos x por 4 o por – 4 obtenemos una igualdad. c) Falso. Solo es solución x = 4. Al sustituir x por – 4 no sale una igualdad.
2 Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) x^4 – x^2 – 12 = 0 b) x^4 – 8 x^2 – 9 = 0 c) x^4 + 10 x^2 + 9 = 0 d) x^4 – x^2 – 2 = 0 a) Hacemos x^2 = y → y^2 – y – 12 = 0 → y = 4, y = – Soluciones: x 1 = 2, x 2 = – b) Hacemos x^2 = y → y^2 – 8 y – 9 = 0 → y = 9, y = – Soluciones: x 1 = 3, x 2 = – c) Hacemos x^2 = y → y^2 + 10 y + 9 = 0 → y = –1, y = – Soluciones: No hay. d) Hacemos x^2 = y → y^2 – y – 2 = 0 → y = 2, y = – Soluciones: x 1 = 2 , x 2 = – 2
3 Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) x x
= b) ( )
x x
4^ x 3 2
+ +^ = c) x (^) x
d) x
x x
x 1 1
= e) x x
x 2
= f ) x
x x
x 1
a) 10( x + 3) + 10 x = 3 x ( x + 3) 10 x + 30 + 10 x = 3 x^2 + 9 x
0 = 3 x^2 – 11 x – 30; x = ±^ , 6
x 1 = 5,489; x 2 = –1, b) 12( x – 2) + 2 x ( x + 1) = 12 x ( x – 2) 12 x – 24 + 2 x^2 + 2 x = 12 x^2 – 24 x 0 = 10 x^2 – 38 x + 24
0 = 5 x^2 – 19 x + 12; x = ± 10
x 1 = 3; x 2 = 5
c) 4 x + 4 = 3 x^2 ; 0 = 3 x^2 – 4 x – 4
x = 6
x 1 = 2; x 2 = 3
d) x ( x + 1) + 2 x ( x – 1) = 3( x^2 – 1) x^2 + x + 2 x^2 – 2 x = 3 x^2 – 3 x = 3
Matemáticas I
e) 10( x + 3) + 2 x ( x + 2) = 3( x^2 + 5 x + 6) 10 x + 30 + 2 x^2 + 4 x = 3 x^2 + 15 x + 18 0 = x^2 + x – 12
x = ± 2
x 1 = 3; x 2 = – 4
f ) 35( x + 3) ( x + 1) – 35( x^2 + 1) = 26 ( x^2 – 1)
35( x^2 + 4 x + 3) – 35( x^2 + 1) = 26( x^2 – 1)
35 x^2 + 140 x + 105 – 35 x^2 – 35 = 26 x^2 – 26
26 x^2 – 140 x – 96 = 0
x = ±^ ·^ ·(^ ) 26
x 1 = 6; x 2 = 13
4 Resuelve:
a) – 2 x – 3 + 1 = x b) 2 x – 3 – x + 7 = 4 c) 2 + x = x d) 2 – x = x e) 3 x + 3 – 1 = 8 – 2 x f ) 5 x + 1 + 2 = 27 + 3 x a) 1 – x = 2 x – 3 1 + x^2 – 2 x = 2 x – 3; x^2 – 4 x + 4 = 0; x = 2 (no vale) No tiene solución. b) 2 x – 3 = 16 + x + 7 + 8 x + 7 x – 26 = 8 x + 7 x^2 + 676 – 52 x = 64( x + 7) x^2 + 676 – 52 x = 64 x + 448
x^2 – 116 x + 228 = 0; x = ± 2
2 (no vale) x = 114 c) x = x – 2; x = x^2 + 4 – 4 x ; 0 = x^2 – 5 x + 4
x = ± 2
1 (no vale) x = 4 d) 2 – x = x ; 4 + x^2 – 4 x = x ; x^2 – 5 x + 4 = 0
x = ±^ ± 2
(no vale)
x = 1 e) 3 x + 3 – 1 = 8 – 2 x 3 x + 3 = 1 + 8 – 2 x + 2 8 – 2 x 5 x – 6 = 2 8 – 2 x 25 x^2 + 36 – 60 x = 4(8 – 2 x ) 25 x^2 – 52 x + 4 = 0
x = 50
0 08 (no vale) Así, x = 2.
Matemáticas I
4 Resolución de sistemas de ecuaciones
Página 82
1 ¿Verdadero o falso?
a) El sistema x y x y
- tiene dos soluciones: x = 4, y = 1
b) El sistema x^ y x y
2 2 2 2
* tiene solo dos soluciones:
[ x 1 = 2, y 1 = 1] y [ x 2 = –2, y 2 = –1]
c) El sistema x^ y x y
2 2 2 2
* tiene cuatro soluciones:
[ x 1 = 2, y 1 = 1]; [ x 2 = 2, y 2 = –1] [ x 3 = –2, y 3 = 1]; [ x 4 = –2, y 4 = –1]
a) Falso, x = 4 e y = 1 no son dos soluciones, sino una solución para cada incógnita, luego son una solución del sistema. b) Falso, como las dos incógnitas están al cuadrado, también son soluciones x 3 = –2, y 3 = 1 y x 4 = 2, y 4 = –1. c) Verdadero, por el razonamiento del apartado anterior.
2 Resuelve estos sistemas de ecuaciones:
a) x y x y
x y xy x y
c) x y x y x y
y x y x x y
a) y^ x y x
x^2 – 9 = 2 x – 1; x^2 – 2 x – 8 = 0
x = ± 2
x 1 = 4; y 1 = 7 x 2 = –2; y 2 = –
b) y^ x^ xy xy
y = 5 – x
x (5 – x ) = 6; 5 x – x^2 = 6; x^2 – 5 x + 6 = 0
x x
x 1 = 2; y 1 = 3 x 2 = 3; y 2 = 2
Matemáticas I
c) x = 2 y + 1 3 y + 1 – y – 1 = 2 ; 3 y + 1 = 2 + y + 1 3 y + 1 = 4 + y + 1 + 4 y + 1 ; 2 y – 4 = 4 y + 1 ; y – 2 = 2 y + 1 y^2 + 4 – 4 y = 4 y + 4; y^2 – 8 y = 0 y = 8 → x = 17 y = 0 (no vale) x = 17; y = 8 d) 5 – 4 y – x = – ( x + y ); 5 – 4 y =– y
( 5 – 4 y ) 2 = y^2 ;^5 – 4 y = y^2
y 8 ( ) y
= no vale
25 – x^2 = 16 → x = –3, x = 3 x 1 = 3; y 1 = – x 2 = –3; y 2 = –
3 Resuelve:
a) x^ x y^ y x y
* b)^
log ( x y ) log ( x 2 y ) 1 5 25
x y
2 1 1
c) log log
x y x y
- d) log^ (^2 x^^ y^ )^ log (^2 y )^1 3 27
x y
2
- 1 3
a) y = 1 – x ; x^2 + x (1 – x ) + (1 – x )^2 = 21 x^2 + x – x^2 + 1 + x^2 – 2 x = 21; x^2 – x – 20 = 0
x = ±^ ± 2
y y
x 1 = – 4; y 1 = 5 x 2 = 5; y 2 = – 4
b) log = 1 x y
x y 2 5 5
x y
2
1 2 2
4
x y x y x y
x = 2 y + 1 4 y^2 + 1 + 4 y + y = 20 y + 10 – 20 y 4 y^2 + 5 y – 9 = 0
y = ± 8
– ± + = – 5 13 = /^8 /
x x
x 1 = 3; y 1 = 1
x 2 = 2
Matemáticas I
5 Método de Gauss para sistemas lineales
Página 83
1 Reconoce como escalonados y resuelve:
a)
x x x
y y z
* b)
x
x
y y y z
* c)
x
x
y y z
* d)^ x
y
y
z z
a) x x x
y y z
x y x z x y
x y z
_
`
a
bb
bb
_
`
a
bb
bb
b) x
x
y y y z
y
x y
z x y
x y z
_
`
a
bb
bb
_
`
a
b bb
b b
c) x
x
y y z
x y z x y
x y z
_
`
a
bb
bb
d) x
y
y
z z
y z y x z
x y z
_
`
a
bb
bb
2 Resuelve los siguientes sistemas escalonados:
a) x
y z 3
* b)
x x
y y y
z 3
* c)
x y y
z z z
* d)
x
x
y y
4 z
a)
x
y z
y z x
x y 3 z
b) x x
y
y
z y x y z x y
x y z
_
`
a
b bb
b b
c) x^ y y
z z z
z y z x y z
x y z
= +^ =
_
`
a
bb
bb
d) x
x
y y
z x y z x y
x y z
_
`
a
b bb
b b
Matemáticas I
Página 84
3 Resuelve por el método de Gauss:
a)
x x x
y y y
z z z
x x x
y y y
z z
a) x^ y^ z x y z x y z
4
(1.ª) (2.ª) + (1.ª) (3.ª) + (1.ª)
x x x
y z 2 z 2
4
x x x
y z z
4
x z x y x z
x y z
4
b) (^) x x x
y y y
z z
_
`
a
bb
bb
(1.ª) (2.ª) (3.ª) + (2.ª)
x x x
y y y
z
_
`
a
bb
bb
(1.ª) (2.ª) (3.ª) + (1.ª)
x x x
y y z
4
x
y x z x y
x y z
_
`
a
b bb
b b
4 Resuelve:
a)
x x x
y y y
z z z
x x x
y y
z z z
a) (^) x x x
y y y
z z z
4
(1.ª) + 4 · (2.ª) (2.ª) (3.ª) –3 · (2.ª)
x x x
y
z z z
2 · (1.ª) + (3.ª) (2.ª) (3.ª) : 2
x x x
y z z
x z x y x z
x y z
= +^ =
_
`
a
bb
bb
4
b) (^) x x x
y y
z z z
(1.ª) (2.ª) – (1.ª) (3.ª)
x x x
y z
z
4
x z x
y x^ z
x y z
= +^ +^ =
_
`
a
b b
bb
Matemáticas I
6 Inecuaciones y sistemas de inecuaciones con una incógnita
Página 86
1 Resuelve estas inecuaciones:
a) 3 x – 2 ≤ 10 b) x – 2 > 1 c) 2 x + 5 ≥ 6 d) 3 x + 1 ≤ 15 a) 3 x – 2 ≤ 10 → 3 x ≤ 12 → x ≤ 4 b) x – 2 > 1 → x > 3 Soluciones: { x / x ≤ 4} = (– ∞, 4] Soluciones: { x / x > 3} = (3, +∞)
c) 2 x + 5 ≥ 6 → 2 x ≥ 1 → x ≥ 2
(^1) d) 3 x + 1 ≤ 15 → 3 x ≤ 14 → x ≤ 3
Soluciones: x / x ≥ , ∞ 2
( 2 = <^1 + m Soluciones: x / x ≤ ∞,
( 2 = c– 14 F
2 Resuelve estos sistemas de inecuaciones:
a) x x
) b)^ x x
Observamos que las inecuaciones que forman ambos sistemas se han resuelto en el ejercicio anterior.
a)
x ≤ x
) (^) Soluciones: { x / 3 < x ≤ 4} = (3, 4]
b)
x
x
Z
[
\
]]
]]
Soluciones: x / ≤ x ≤ 2
< 14 F
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3 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) x^2 – 3 x – 4 < 0 b) x^2 – 3 x – 4 ≥ 0 c) x^2 + 7 < 0 d) x^2 – 4 ≤ 0 a) x^2 – 3 x – 4 < 0 → intervalo (–1, 4)
y = x^2 – 3 x – 4
2
4
2 4
Y
X
b) x^2 – 3 x – 4 ≥ 0 → (– ∞, 1] ∪ [4, +∞) c) x^2 + 7 < 0 → No tiene solución.
y = x^2 + 7 4
8
2 4
12
Y
X
d) x^2 – 4 ≤ 0 La parábola y = x^2 – 4 queda por debajo del eje X en el intervalo (–2, 2); y corta al eje X en x = – y en x = 2. Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [–2, 2].
Matemáticas I
4 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
a) x^ x x
2
2
a) 2 x – 7 > 5 → 2 x > 12 → x > 6 → (6, +∞) x^2 – 3 x – 4 ≥ 0 → (– ∞, –1] ∪ [4, +∞) Solución: (6, +∞)
y = x^2 – 3 x – 4
2
4
2 4
Y
X
b) x ≤ x
2 4
- Las soluciones de la primera inecuación son lon puntos del intervalo [–2, 2]. (Ver apartado d) del ejercicio anterior).
- Las soluciones de la segunda inecuación son: x – 4 > 1 → x > 5 → (5, +∞)
- Las soluciones del sistema serán los puntos en común de los dos intervalos. Por tanto, el sistema no tiene solución.
