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Unidad 1. Números racionales
1 Fracciones y números racionales
1 Determina a qué conjunto pertenecen los números propuestos: números
naturales, enteros o racionales:
2 4 12 4 2, 03 6 0, 71 5 9 3
2
5
4 2,
(^64)
9
0,71^12
3
Naturales X X
Enteros X X X
Racionales X X X X X X X
2 Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y, en este
último caso, corrígelas:
a. Todos los números enteros son racionales.
Verdadera
b. Todos los números racionales se pueden expresar como un número
decimal.
Verdadera
c. Los números decimales periódicos son números racionales.
Verdadera
d. Todos los números decimales son números racionales.
Falsa. Solo los números decimales exactos y periódicos son racionales.
2 Fracciones equivalentes
3 De los siguientes pares de fracciones, di cuáles son equivalentes:
a.
y 7 21
Sí porque se obtiene el mismo resultado al dividir: 0,57.
b.
y 8 10
No, porque no se obtiene el mismo resultado al dividir.
c.
y 12 8
Sí porque se obtiene el mismo resultado al dividir: – 0,5.
d.
y 5 20
Sí porque se obtiene el mismo resultado al dividir: – 0,4.
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero
Torralba
4 Indica cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes:
15 35 10 5 40 55
Por tanto, son equivalentes:
5 Halla los números que faltan para que estas fracciones sean equivalentes:
a.
y 9 27
x
x x = 12
b.
y x 12
5·
x x = 20
c.
y 8 12
x
x
x = – 4
d.
y 9
x
x
x 9·4 36 x 6
6 Simplifica estas fracciones y obtén la fracción irreducible:
a.
m.c.d. (80, 100) = 20
b.
m.c.d. (28, 126) = 14
c.
m.c.d. (125, 225) = 25
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero
Torralba
3 Reducción de fracciones a común denominador. Ordenación y
comparación
9 Reduce a común denominador las siguientes fracciones:
a.
m.c.m. (16 y 10) = 2
4 · 5 = 80
15 72 , 80 80
b.
m.c.m. (9, 12 y 15) = 3
2 · 2
2 · 5 = 180
40 15 36 , , 180 180 180
c.
m.c.m. (15, 30 y 25) = 5
2 · 3 · 2 = 150
130 55 48 , , 150 150 150
10 Ordena de mayor a menor.
a.
m.c.m. (16 y 24) = 2
4 · 3 = 48
10 9 5 3
b.
m.c.m. (18 y 15) = 3
2 · 2 · 5 = 90
24 35 –4 –
c.
m.c.m. (7, 14 y 21) = 3 · 2 · 7 = 42
18 15 12 3 5 6
d.
m.c.m. (36, 60 y 20) = 2
2 · 3
2 · 5 =
45 35 12 5 7 4
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Torralba
11 Tres equipos de fútbol están jugando una liguilla. El equipo A ha marcado
en los
de sus lanzamientos a puerta; el equipo B, en los
, y el equipo
C, en los
. ¿Cuál de los tres equipos tiene peor puntería?
Se ordenan las fracciones de menor a mayor:
5 4 7
, por tanto, el equipo A es el que tiene peor puntería.
12 Busca una fracción que esté comprendida entre las siguientes:
a.
Cuatro posibles:
b.
Tres posibles:
c.
Una posible:
d.
Una posible:
13 Dadas las fracciones
a. Ordénalas de mayor a menor.
5 3 2
b. Encuentra, si es posible, una fracción,
a
b
, que cumpla que
2 a 5 < <. 3 b 6
Si
la hay, ¿es única?
a 3
b 4
No es única. Se pueden buscar fracciones equivalentes con un denominador
común con
y 3 6
; por ejemplo.
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Torralba
4 Suma y resta de números racionales
16 Calcula mentalmente y simplifica el resultado.
a.
b.
c.
d.
17 Halla el resultado simplificado de las siguientes operaciones:
a.
m.c.m.(9,12) = 2 ·3 = 36 = 9 12 36 36 36
b.
m.c.m.(15,10)=2·3·5=30 = 15 10 30 30 30
c.
m.c.m.(6,10)=2·3·5=30 = = 6 10 30 30 30 15
d.
m.c.m.(21,18) 2·3 ·7 126 21 18 126 126 126
18 Realiza las siguientes sumas y restas:
a.
m.c.m. = 2 · 3 · 5
2 = 150
1 5 9 15 125 – 54 86 43
10 6 25 150 150 75
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Torralba
b.
m.c.m. = 10
3 3 3 – 6 10 7
c.
m.c.m. = 2
3 · 3 · 5 = 120
4 1 3 240 32 – 20 45 297 99 2 – 15 6 8 120 120 40
d.
m.c.m. = 2
3 · 3 = 24
1 5 7 3 10 28 41
e.
m.c.m. = 2
4 · 5 = 80
9 1 45 – 240 – 8 – –3 – 16 10 80 80
f.
m.c.m. = 2
2 · 3 · 5 = 60
7 1 3 8 35 –15 9 – 96 –
19 Realiza estas operaciones con paréntesis:
a.
10 1 11 18 11 29 3 3 6 6 6 6 6
(^) (^)
b.
c.
–4 3 1 –1 1 0 8 8 8 8
(^)
d.
e.
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Torralba
23 Una ciclista desea recorrer la distancia entre dos pueblos, A y B. El primer
día cubre
del total, el segundo
y el tercero
. Teniendo en cuenta
que sale del pueblo A, ¿puede asegurarse que el tercer día la ciclista habrá
llegado al pueblo B?
Sí ha llegado al pueblo B.
24 Marga se ha gastado
de su dinero en un libro y
en un cuaderno. Si
aún le quedan 2 €, ¿cuánto dinero tenía al principio?
3 1 7 1 8 sin gastar;2· 16 € 4 8 8 8 1
Tenía 16 €.
25 Tres camareros deben repartirse 480 € de las propinas que les dejan los
clientes. El primero se lleva
1
4
del total del dinero; el segundo,
5
12
del total,
y el tercero, el resto.
a. ¿Qué fracción del total de las propinas se lleva el tercero?
1 1 se lleva el tercero 4 12 3 3
b. ¿Cuánto dinero se ha llevado cada uno?
El primero:
de 480 = · 480 120 € 4 4
El segundo: de 480 = · 480 200 € 12 1
El tercero:
de 480 = · 480 160 € 3 3
26 En un instituto los
2
9
de los alumnos estudian francés, los
7
15
estudian
inglés, y
1
10
alemán. ¿Todos los alumnos del instituto cursan alguno de los
tres idiomas?
no todos los alumnos cursa
n un idioma 15 90
© José Manuel Ocaña Fernández; Damaris Mejía Sánchez-Bermejo; Rosana Romero
Torralba
27 Según un estudio estadístico,
3
8
de los trabajadores van al trabajo
diariamente en coche,
7
12
acuden en transporte público, y el resto lo hace
andando.
a. ¿Qué fracción representa a los trabajadores que van andando al trabajo?
1 1 van andando 8 12 24 24
b. Si solo hay 200 trabajadores vayan andando al trabajo, ¿sobre cuántos
sujetos se ha hecho el estudio?
200· = 4 800 trabajadores 1
5 Multiplicación y división de números racionales
28 Resuelve y simplifica, siempre que sea posible, el resultado.
a.
b.
c.
29 Realiza las multiplicaciones simplificando. Fíjate en el ejemplo.
2 2 2
2 2
2 25 4 3 25·4·3 5 ·2 ·3 5 · 2 · · = = = 12 9 5 12·9·5 2 ·3·3 ·5 2
·
2
32 2
5 5 =
· 5
=
3 ·^39
a.
2
2
b.
2
2 2
c.
3 2
2
^ ^ ^ ^
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Torralba
33 Opera y simplifica el resultado cuando sea posible.
a.
b.
c.
d.
^ ^ ^ ^ ^
34 Si se necesitan
2
5 de una sandía para hacer una jarra de zumo, ¿cuántas
sandías se precisarán para llenar 2 jarras y media?
sandía
35 Irene ha decidido realizar en bicicleta 360 km del Camino de Santiago. El
primer día recorrió
1
3
del camino, el segundo día
2
5
, y el tercero
2
15
¿Cuántos kilómetros llevó a cabo cada día? ¿Terminó el recorrido?
El primer día recorrió de 360 ·360 120
1 1
3 3
km
El segundo día recorrió
720 de 360 ·360 144 5
2 2
5 5
km
Y el tercer día:
720 de 360 ·360 48 15
2 2
15 15
km
120 + 144+ 48 = 312 km, luego no acabó el recorrido pues le faltaron por hacer
48 km.
36 La distancia entre la casa de Fe y la playa es de 420 km. Si por cada litro de
gasolina se recorren 7 km, ¿cuántos litros de gasolina necesitará para
recorrer los
𝟑
𝟓
del camino hasta la playa?
de 420 = · 420 252 km 5
252 : 7 = 36 L de gaso
lina
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37 Un Ayuntamiento decide dedicar un terrero a la construcción de tres pistas
deportivas. La primera es igual a los
7
15
de la superficie del terreno, y la
segunda es igual a la mitad de la primera.
a. ¿Qué fracción del terreno representa la tercera pista?
7 1ª: ; 2ª: · = 15
b. Si la extensión del terreno es de 1 500 m
2 , ¿cuál es la superficie de cada
pista deportiva?
La primera:
de 1 500 = · 1 500 700 m 15 15
La segunda:
de 1 500 = · 1 500 350 m 30 30
La tercera:
de 1 500 = · 1 500 450 m 10 10
38 Un frasco de perfume de cierta marca tiene una capacidad de
L.
¿Cuántos frascos de perfume se pueden llenar con el contenido de una
botella de
L?
Puede llenar 12 frascos de perfume.
39 Un jeque árabe dejó en herencia a sus tres hijos 17 camellos que habían de
repartirse del siguiente modo: la mitad era para el mayor de los tres; la
tercera parte, para el mediano, mientras que el más pequeño se quedó con
la novena parte. Ante la imposibilidad de llevar a cabo el reparto de los
camellos, acudieron al cadí. Este era un hombre justo y generoso, además
de un buen matemático. ¿Cómo crees que afrontó el cadí la situación?
Regaló a los tres hermanos un camello de su propiedad, de modo que eran 18 el
total de camellos a repartir. Así al mayor de los tres hermanos le correspondió 9
camellos, al mediano, 6 y al pequeño 2. Pero con esto sobró 1 camello, que
naturalmente devolvieron al cadí llenos de agradecimiento y admiración por su
sabiduría.
18 18 18 9; 6; 2 2 3 9
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Torralba
42 Expresa como una sola potencia y calcula el resultado:
a.
5 3 243 = = 4 1024
2 3 3 3 · 4 4
b.
4 1 1 = = 2 16
^ ^
7 3 1 1 : 2 2
c.
4 4 2 5 625
^ ^
8 -3 9 2 2 2 · : 5 5 5
d.
0 1 1 10
5 2 3 1 1 1 : : 10 10 10
e.
3 2 8 = 7 343
^ ^ ^
2 1 2 2 : 7 7
f.
2 3 5 3 3 3 243 · 2 2 2 32
2 3 3 3 · 2 2
43 Aplica las propiedades de las potencias para dar el resultado como una
única potencia:
a.
15 1 = 6
^ ^
3 5 1
b.
4 4 15 5 = = 12 4
4 4 3 5 · 2 6
c.
4 8
^ ^
2 2 4 7 : 3 2
d.
6 6 6 3 1 6 : 6 2 5
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
2 3 6 3 1 : 5 2
e.
3 5 = 2
3 3 1 5 · 2
f.
2 2 2 8 4 32 · 3 5 15
^
2 2 8 5 · 3 4
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44 Formula estas expresiones como una sola potencia de exponente natural:
a.
^
2 –5 2 4 4 4 : · 3 3 3
5 4 6 4 2 2
5 4 6 4 2
^
b.
(^3 3 )
3 3 4 4
^
^
^
^ ^ ^ ^
3 3 – (^1 3 4) –
- : – · : 8 4 2 3
4 3 4 (^3 4 4 )
3 3 4 3 4 2 3 2
45 Simplifica y calcula el resultado.
a.
2 – (^4 2 3 4 4) –
3 2 3 2
^ ^ ^ ^ ^ ^
4 2 -
-3 2
2
–3 3
5
^ ^ ^
^ ^ ^
b.
4 –
-
5 2 –
(^2 4 2 6) –
5 2 –4 7 –
^ ^ ^
^
7 Jerarquía de operaciones con números racionales
46 Calcula y simplifica el resultado:
a.
b.
c.
^ ^ ^
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Torralba
48 Realiza las siguientes operaciones:
a.
22 3 22 25·25^625
b.
4 3 4·10 3·3·^84
c.
^
–7·2 –1^ –7·2·3^7
d.
^ ^
49 Luis se ha leído las
partes de su libro. Si el libro tiene 98 páginas,
¿cuántas páginas le quedan por leer?
de 98 son 70, por lo que le falta por leer: 98 – 70 = 28 páginas.
50 Eva reparte su colección de cromos de fútbol entre sus dos hermanos
pequeños. Al primero le entrega la mitad de su colección, y al segundo, las
tres cuartas partes del resto de la colección. Si todavía le quedan 16
cromos sin repartir:
a. ¿Cuántos cromos tiene la colección de Eva?
Al primer hermano le entrega
1
2
de su colección.
Al segundo hermano le entrega de
3 1 3
4 2 8
de su colección.
Entre los dos hermanos tienen
1 3 7
2 8 8
de la colección, luego le queda sin
repartir
1
8
que son 16 cromos. Luego la colección completa son
8
8
, es decir
16·8 = 128 cromos.
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Torralba
b. ¿Cuántos cromos le entregó a cada uno de sus hermanos?
Al primer hermano le entregó
1
2
de 128, es decir, 64 cromos.
Al segundo hermano,
3
8
de 128, es decir 48 cromos.
51 Este verano, Ricardo ha pasado los
de sus vacaciones en la playa, los
de los días que le quedaban en el pueblo y los
del resto de días en la
montaña. Si al final aún le quedan 2 días, ¿de cuántas vacaciones ha
disfrutado en total este verano?
En la playa ha estado
del total de sus vacaciones. Luego le quedan
En el pueblo,
de
, es decir
del total de las vacaciones. Luego le quedan
2 15 5 1 7 28 28
En la montaña
de
5
28
, es decir
3
28
. Luego le quedan
2 15 3 2 1 7 28 28 28
que son 2 días.
Por tanto, el total de vacaciones será
28
28
, que serán 28 días.
52 Un proveedor de aceite carga toda su producción en tres bidones. El
primero lleva las
3
5
partes del total; el segundo, la tercera parte del resto
de la producción, y el tercero contiene 2 400 L de aceite. ¿Cuántos litros de
aceite hay en los tres bidones?
2400 · 9 000 L de aceite
entre los tres bid
ones
