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Universida deVigo
de Estat´ıstica e Investigaci´on Operativa ESTAT´ISTICA I. 1o^ ECONOM´IA. Curso 2016-17^1
SOLUCIONES DEL BOLET´IN DE ESTAD´ISTICA DESCRIPTIVA
Ejercicio 1:
a)
xi ni xini x^2 i ni Ni 0 5 0 0 5 1 8 8 8 13 2 6 12 24 19 3 3 9 27 22 4 3 12 48 25 5 2 10 50 28 6 3 18 108 30 30 69 265
x¯ =
n
∑^ k
i=
xini =
= 2.3 noches
Mo = 1 noche
b) Eliminamos un 10% de datos a cada lado de la distribuci´on, es decir, los 3 datos menores y los 3 mayores, y calculamos la media de los 24 datos que quedan:
xi ni xini 0 2 0 1 8 8 2 6 12 3 3 9 4 3 12 5 2 10 24 51
x¯T =
= 2.125 noches
c) Recorrido o rango: R = max(xi) − min(xi) = 6 − 0 = 6
Recorrido intercuart´ılico:
n 4
= 7.5 =⇒ Q 1 / 4 = 1;
3 n 4
= 22.5 =⇒ Q 3 / 4 = 4 =⇒ RI = Q 3 / 4 − Q 1 / 4 = 4 − 1 = 3
Varianza y desviaci´on t´ıpica: S n^2 =
n
∑^ k
i=
x^2 i ni − ¯x^2 =
− (2.3)^2 = 3.5433 =⇒ Sn = +
S n^2 = 1. 8824
Coeficiente de variaci´on: CV =
Sn x ¯
Ejercicio 2:
ni xi Ni di xini x^2 i ni 0-20 8 10 8 0.40 80 800 20-50 40 35 48 1.33 1400 49000 50-80 45 65 93 1.50 2925 190125 80-100 7 90 100 0.35 630 56700 100 5035 296625
a)
∑^ k
i=
xini = 5035 miles de euros
b) ¯x =
n
∑^ k
i=
xini = 50. 35 × 103 e
La mayor de las densidades de frecuencia es 1.50, por lo que Mo ∈ (50, 80] y Mo =50+
×30 = 56. 25 × 103 e.
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c) n 4 = 25 ⇒ Q 14 ∈ (20, 50] ⇒ Q 14 = 20 +
× 30 = 32. 75 × 103 e.
n 2 = 50^ ⇒^ M e^ =^ Q^24 ∈^ (50,^ 80]^ ⇒^ M e^ = 50 +
× 30 = 51.ˆ 3 × 103 e.
3 n 4 = 75^ ⇒^ Q^34 ∈^ (50,^ 80]^ ⇒^ Q^34 = 50 +
× 30 = 68 × 103 e.
d) S^2 n =
n
∑^ k
i=
x^2 i ni − x¯^2 =
− (50.35)^2 = 431.1275 =⇒ SnX = 20. 7636 × 103 e.
e) El nuevo valor de la indemnizaci´on viene dado por la variable Y = X + 5. Entonces, media, moda y cuartiles aumentan en 5 unidades mientras que varianza y desviaci´on t´ıpica no cambian.
Ejercicio 3:
a) ¯x =
n
∑^ r
j=
x ¯j nj =
(178. 17 × 35 + 164. 64 × 69) = 169.193 cm.
b) Calculamos los valores tipificados:
Alumno :
= 0.912, Alumna:
En consecuencia, la alumna es ligeramente m´as alta en t´erminos relativos.
d) La distribuci´on de la altura es asim´etrica positiva para los hombres y asim´etrica negativa para las mujeres, con un grado de asimetr´ıa similar.
Asimetr´ıa positiva: los alumnos m´as alejados de la media son los de mayor altura y la media es mayor que la mediana.
Asimetr´ıa negativa: las alumnas m´as alejadas de la media son las de menor altura y la media es menor que la mediana.
Ejercicio 4:
xi ni xini xi − x¯ (xi − ¯x)^2 ni Ni 10 4 40 -5 100 4 12 5 60 -3 45 9 14 4 56 -1 4 13 18 3 54 3 27 16 20 2 40 5 50 18 23 1 23 8 64 19 27 1 27 12 144 20 20 300 434
a) ¯x =
n
∑^ k
i=
xini =
= 15 × 103 e.
M o = 12 × 103 e.
n 2 = 10 ⇒ M e = 14 × 103 e.
b) S^2 nX =
n
∑^ k
i=
(xi − ¯x)^2 ni =
= 21.7 =⇒ Sn = +
21 .7 = 4. 6583 × 103 e.
n 4 = 5^ ⇒^ Q^14 = 12;^
3 n 4 = 15^ ⇒^ Q^34 = 18 =⇒^ RI^ = 18^ −^ 12 = 6^ ×^10
(^3) e.
c) El nuevo sueldo se representa mediante la variable Y = 1. 04 X. En consecuencia, todos los coeficientes obtenidos
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S^2 n =
∑^ k
i=
x^2 i fi − x¯^2 = 212. 625 − 12. 152 = 65.0025 a˜nos^2.
c) Un 8% en el intervalo (25 − 40] m´as un 9%, que son la mitad de los incluidos en el intervalo (15 − 25], hacen un total de un 17%.
Ejercicio 7:
- a ↔ 4 : Distribuci´on asim´etrica positiva o a la derecha.
- c ↔ 1 : Distribuci´on asim´etrica negativa o a la izquierda.
- b ↔ 3 : Distribuci´on sim´etrica cuya mayor concentraci´on de datos en la zona central da lugar a una caja de menor longitud.
- d ↔ 2 : Distribuci´on sim´etrica con menor concentraci´on de datos en la zona central (por tanto, mayor amplitud de la caja).
Ejercicio 8:
a) ¯x =
n
∑^ r
j=
x ¯j nj =
(64. 47 × 89 + 67. 16 × 55) = 65.497 kg.
b) Mediana: de los alumnos que vienen en autob´us, el 50% pesan a lo sumo 62 kg y un 50% pesan m´as; de los que vienen en coche, un 50% pesan 67 kg o m´as.
Asimetr´ıa: la distribuci´on del peso es asim´etrica positiva en ambos casos, con mayor grado de asimetr´ıa para la categor´ıa ”Autob´us”. La media es superior a la mediana en los dos casos, m´as claramente en la categor´ıa con mayor grado de asimetr´ıa.
Ejercicio 9:
Tabla de la distribuci´on de X:
X xi ni. xini. x^2 i ni. Ni. ni|Y = 2.5-3.5 3 23 69 207 23 2 3.5-4.5 4 27 108 432 50 5 4.5-5.5 5 44 220 1100 94 10 5.5-6.5 6 26 156 936 120 12 120 553 2675
Tabla de la distribuci´on de Y:
yj n.j yj n.j y^2 j n.j nj|X> 4. 5 yj nj|X> 4. 5 y j^2 nj|X> 4. 5 0 29 0 0 22 0 0 1 52 52 52 36 36 36 2 39 78 156 12 24 48 120 130 208 70 60 84
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a) ¯x =
= 4.608 minutos.
n 2 = 60^ ⇒^ M e^ ∈^ (4.^5 ,^5 .5]^ ⇒^ M e^ = 4.5 +
× 1 = 4.727 minutos.
b) ¯y =
= 1.083 errores y M oY = 1 error.
c) S nX^2 =
n
∑^ r
i=
x^2 i ni. − x¯^2 =
− (4.608)^2 = 1.058 =⇒ SnX = 1.029 =⇒ CVX =
S^2 nY =
n
∑^ c
j=
y^2 j n.j − y¯^2 =
− (1.083)^2 = 0.56 =⇒ SnY = 0.748 =⇒ CVY =
La distribuci´on de la variable Y tiene mayor dispersi´on que la de X.
d) M oX|Y =0 = 5.5 +
× 1 = 5.5 minutos.
e) ¯y|X> 4. 5 =
= 0.857 y S Y^2 |X> 4. 5 =
= 0.4653 errores^2
f) Calcularemos el coeficiente de correlaci´on lineal r = (^) SnXSXY SnY , para lo cual necesitamos obtener previamente la
covarianza: SXY =
n
∑^ r
i=
∑^ c
j=
xiyj nij − x¯¯y.
∑c j=
xiyj nij
3 2 6 15 108 4 5 10 12 136 5 10 28 6 200 6 12 8 6 120 564
SXY =
− 4. 608 × 1 .083 = − 0. 29
Entonces: rXY =
1. 029 × 0. 748
= − 0 .377. Existe correlaci´on lineal negativa entre las variables: en general, cuanto
m´as tiempo se emplea en el proceso menos errores se cometen.
Ejercicio 10:
a) Tenemos que calcular los percentiles Q 38 / 100 y Q 62 / 100 de la variable X:
X ni. Ni. Hasta 1000 72 72 1000-1500 63 135 1500-2000 53 188 M´as de 2000 112 300
38 100 ×^ 300 = 114^ ⇒^ Q^38 /^100 ∈^ (1000,^ 1500]^ ⇒^ Q^38 /^100 = 1000 +
× 500 = 1333.ˆ 3 e
62 100 ×^ 300 = 186^ ⇒^ Q^62 /^100 ∈^ (1500,^ 2000]^ ⇒^ Q^62 /^100 = 1500 +
× 500 = 1981. 132 e
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a) ¯x = 24492144.^5 = 170.0868 cm.
b)
Y n.j N.j 6 60 55 55 60-70 44 99
70 45 144
= 72 ⇒ Me ∈ (60, 70] ⇒
⇒ Me =60 +
× 10 = 63.8636 kg
c) Del valor de las densidades de frecuencia se deduce que Mo ∈ (165, 170] y Mo =165 +
× 5 = 169. 0909
cm.
d) 10060 × 45 = 27 ⇒ Q 10060 ∈ (170, 180] ⇒ Q 10060 = 170 +
× 10 = 179.2 cm.
Ejercicio 13:
X xi ni|H ni|M xini|H xini|M Ni|H di|H ni. xini. x^2 i ni. 18-30 24 12 11 288 264 12 1 23 552 13248 30-45 37.5 51 36 1912.5 1350 63 3.4 87 3262.5 122343. 45-65 55 67 61 3685 3355 130 3.35 128 7040 387200 65-90 77.5 70 192 5425 14880 200 2.8 262 20305 1573637. 200 300 11310.5 19849 500 31159.5 2096429.
a) ¯xH =
= 56.5525 y ¯xM =
b) Primer Ni|H >
= 100 =⇒ M eH ∈ (45, 65] =⇒ M eH = 45 +
× 20 = 56. 0448
Mayor di|H = 3.4 =⇒ M oH ∈ (30, 45] =⇒ M oH = 30 +
× 15 = 41. 5517
c) S nX^2 =
= 309.20074 =⇒ SnX = 17. 5841
d) Calculamos el coeficiente de asociaci´on V de Cramer: V =
χ^2 n(min{r, c} − 1)
X | Y H M ni. 18-30 12 11 23 30-45 51 36 87 45-65 67 61 128 65-90 70 192 262 n.j 200 300 500
χ^2 = n
∑^ r
i=
∑^ c
j=
n^2 ij ni.n.j
23 × 200
23 × 300
262 × 300
V =
500 × 1
= 0. 2877 −→ Nivel bajo de asociaci´on
Ejercicio 14:
a) ¯x =
n
∑^ r
j=
x ¯j nj =
(12. 8 × 250 + 8. 8 × 70 + 8. 3 × 80) =
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b) Calculamos los coeficientes de variaci´on:
CV 1 =
= 0.297, CV 2 =
= 0.25, CV 3 =
La dispersi´on es mayor entre los coches de EEUU.
c) Calculamos los valores tipificados:
EEUU :
= 0.3158, Europa:
= 0.5455 =⇒ Menor consumo relativo el de EEUU
d) La distribuci´on de la variable es asim´etrica positiva (los valores m´as altos de la variable son los m´as alejados de la media) en las tres subpoblaciones, presentando mayor grado de asimetr´ıa en los coches de Jap´on.
Ejercicio 15:
- Tabla a) −→ Asociaci´on perfecta: la clasificaci´on en una determinada categor´ıa de X (A, B, C o D) determina totalmente la clasificaci´on en la de Y (1 o 2) −→ V = 1
- Tabla b) −→ Se verifica la condici´on de independencia: nij =
ni.n.j n ∀ i, j, ya que en todos los casos se tiene
que: 25 =
50 × 100
−→ V = 0
Ejercicio 16:
X ni. xi xini. di ni|Y 610 xini|Y 610 x^2 i ni|Y 610 0-10 58 5 290 5.8 7 35 175 10-20 82 15 1230 8.2 10 150 2250 20-50 238 35 8330 7.933 53 1855 64925 50-100 122 75 9150 1.22 43 3225 241875 500 19000 113 5265 309225
a) ¯x = 19000500 = 38 a˜nos.
Del valor de las densidades de frecuencia se deduce que Mo ∈ (10, 20] y Mo =10 +
× 10 = 15.7766 a˜nos.
b)
Y n.j N.j nj|X> 50 Nj|X> 50 Hasta 6 32 32 13 13 6-10 81 113 30 43 10-20 182 295 46 89 M´as de 20 205 500 33 122 500 122
500 2 = 250^ ⇒^ Me^ ∈^ (10,^ 20]^ ⇒^ Me =10 +
× 10 = 17.5275 cientos de euro, es decir 1752.75 e.
c) Tenemos que calcular el percentil Q 10070 de Y |X > 50:
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¯y| 35 <X 640 =
= 4. 167 y S Y^2 | 35 <X 640 =
− (4.167)^2 = 3.386 (a˜nos)^2.
c) Vamos a calcular el coeficiente de correlaci´on lineal de Pearson: r = (^) SnXSXY SnY , para lo cual debemos obtener
previamente las medias y desviaciones t´ıpicas de X y de Y y la covarianza SXY =
n
∑^ r
i=
∑^ c
j=
xiyj nij − x¯¯y.
Media y desviaci´on t´ıpica de X:
X ni. xi xini. x^2 i ni. 30-35 15 32.5 487.5 15843. 35-40 15 37.5 562.5 21093. 40-50 10 45 450 20250 40 1500 57187.
¯x =
S^2 nX =
− (37.5)^2 = 23.4375 =⇒ SnX = 4. 8412
Media y desviaci´on t´ıpica de Y :
Y n.j yj yj n.j y^2 j n.j 0-2 12 1 12 12 2-5 18 3.5 63 220. 5-8 10 6.5 65 422. 40 140 655
¯y =
S^2 nY =
− (3.5)^2 = 4.125 =⇒ SnY = 2. 0310
Covarianza:
∑c j=
xiyj nij
32.5 10 5 0 893. 37.5 2 8 5 2343. 45 0 5 5 2250
SXY =
− 37. 5 × 3 .5 = 5. 9375
Entonces: rXY =
4. 8412 × 2. 0310
Existe un grado “medio-alto” de correlaci´on lineal positiva: a mayor edad, mayor antig¨uedad en la empresa.
Ejercicio 19:
a)
X|Y 1 2 3 > 4 ni. 0-60 12 8 4 3 27 60-90 26 31 28 38 123 90-120 15 20 21 34 90 120-200 7 11 12 30 60 n.j 60 70 65 105 300
a.1) 90/300 = 0. 3 ⇒ 30% a.2) (15 + 7)/60 = 0. 3667 ⇒ 36 .67%
a.3) (4 + 3 + 28 + 38 + 21 + 34)/(27 + 123 + 90) = 128/240 = 0. 5333 ⇒ 53 .33%
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b)
yj 1 2 3 > 4 n.j 60 70 65 105 N.j 60 130 195 300
Primer N.j > 3002 = 150 ⇒ Me=
c)
X ni. di xi ni|Y < 3 xini|Y < 3 Ni. 0-60 27 0.45 30 20 600 27 60-90 123 4.1 75 57 4275 150 90-120 90 3 105 35 3675 240 120-200 60 0.75 160 18 2880 300 300 130 11430
De las densidades de frecuencia di se deduce que Mo ∈ (60, 90] y Mo =60 +
× 30 = 86. 087 m^2.
d) ¯x|Y < 3 =
= 87. 923 m^2.
e) Tenemos que calcular el tercer cuartil de X:
3 4 ×^ 300 = 225^ ⇒^ Q^34 ∈^ (90,^ 120]^ ⇒^ Q^34 = 90 +
× 30 = 115 m^2.
En consecuencia, una vivienda se encontrar´a entre el 25% de las m´as grandes a partir de 115 m^2 de superficie.
Ejercicio 20:
X xi ni. xini. Ni. di 0-10 5 50 250 50 5 10-15 12.5 40 500 90 8 15-20 17.5 35 612.5 125 7 20-25 22.5 27 607.5 152 5. 25-30 27.5 18 495 170 3. 30-60 45 30 1350 200 1 200 3815
a) ¯x =
= 19. 075 × 102 e
M eX = 15 +
× 5 = 16. 4286 × 102 e
La media es sensiblemente superior a la mediana debido a que los hogares m´as alejados de la media son los de mayores ingresos (posible asimetr´ıa positiva o a la derecha).
b) Como la mayor de las densidades de frecuencia di =
ni. ai es 8, se deduce que M oX ∈ (10, 15] y M oX =
10 +
× 5 = 12. 9167 × 102 e.
c) Hay que calcular el percentil 80 de X:
80 100 ×^ 200 = 160^ ⇒^ Q^10080 ∈^ (25,^ 30]^ ⇒^ Q^10080 = 25 +
× 5 = 27.2222.
En consecuencia, un hogar se encontrar´a entre el 20% de los de mayores ingresos a partir de 2722.22 e.
d)
X|Y = NO 0-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30- ni|Y =NO 35 21 13 7 3 2 81 fi|Y =NO 0.4321 0.2593 0.1605 0.0864 0.0370 0.0247 1
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e) 10070 × 500 = 350 ⇒ Q 10070 ∈ (30, 70] ⇒ Q 10070 = 30 +
× 40 = 32. 478 m^2.
f) X e Y son independientes ⇔ nij =
ni. × n.j n ∀i, j. Como 54 = n 11 6 =
n 1. × n. 1 n
60 × 99
= 11.88, entonces X
e Y no son independientes.
Ejercicio 22:
a.1) (16 + 7 + 4)/300 = 0. 09 ⇒ 9%; a.2) (28 + 60)/(53 + 111) = 0. 5366 ⇒ 53 .66%; a.3) (7 + 4 + 9 + 5)/300 =
- 0833 ⇒ 8 .33%
X xi ni. xini. di ni|M Ni|M ni|H xini|H x^2 i ni|H 0-10 5 53 265 5.3 28 28 25 125 625 10-20 15 111 1665 11.1 60 88 51 765 11475 20-30 25 75 1875 7.5 41 129 34 850 21250 30-45 37.5 36 1350 2.4 20 149 16 600 22500 45-60 52.5 16 840 1.067 9 158 7 367.5 1293. 60-90 75 9 675 0.3 5 163 4 300 22500 300 6670 163 137 3007.5 97643.
b) ¯x = 6670300 = 22.233 minutos.
Del valor de las densidades de frecuencia se deduce que Mo ∈ (10, 20] y Mo =10 +
× 10 = 15.859 minutos.
c) 10080 × 163 = 130. 4 ⇒ Q 10080 ∈ (30, 45] ⇒ Q 10080 = 30 +
× 15 = 31.05 minutos.
d) ¯x|H = 3007137. 5 = 21.95255 y S X^2 |H = 97643137. 75 − (21.95255)^2 = 230.81365.
Ejercicio 23:
a) Calculamos los coeficientes de variaci´on de las tres variables: CV = Sx ¯n , resultando: 0.053 para la altura, 0. 173 para el peso y 0.771 para el no^ de hermanos. En consecuencia, la variable que presenta mayor dispersi´on es X 3 =“No de hermanos”.
b) La distribuci´on de la altura es muy ligeramente asim´etrica negativa. Las otras dos variables son asim´etricas positivas o a la derecha (los valores m´as alejados de la media son los m´as altos de cada variable), siendo X 3 =“No de hermanos” la que presenta un mayor grado de asimetr´ıa.
Ejercicio 24:
X ni. xi xini. ni|Y > 15 di|Y > 15 0-10 42 5 210 10 1 10-50 75 30 2250 36 0. 50-100 59 75 4425 36 0. 100-500 54 300 16200 39 0. 500-1000 20 750 15000 17 0. 250 38085
a) ¯x =
n
i
xini. =
= 152.34 libros.
b) El intervalo modal es el de mayor densidad de frecuencia; en este caso ser´ıa el 0-10:
Universida deVigo
de Estat´ıstica e Investigaci´on Operativa ESTAT´ISTICA I. 1o^ ECONOM´IA. Curso 2016-17^14
M oX = Li− 1 + di+ di− 1 + di+
× ai = 0 +
× 10 = 10 libros.
c) Tenemos que calcular los percentiles Q 40 / 100 y Q 60 / 100 de Y :
Y n.j N.j Hasta 6 16 16 6-10 44 60 10-15 52 112 15-20 44 156 M´as de 20 94 250
40 100 ×^ 250 = 100^ ⇒^ Q^40 /^100 ∈^ (10,^ 15]^ ⇒^ Q^40 /^100 = 10 +
× 5 = 13. 846
60 100 ×^ 250 = 150^ ⇒^ Q^60 /^100 ∈^ (15,^ 20]^ ⇒^ Q^60 /^100 = 15 +
× 5 = 19. 318
El 20% central de los hogares en cuanto a ingresos son aquellos con ingresos comprendidos entre 1384.6 y 1931.8 e.
d) X e Y son independientes ⇔ nij =
ni. × n.j n
∀i, j:
8 = n 11 6 =
n 1. × n. 1 n
42 × 16
= 2.688 =⇒ X e Y no son independientes.
La relaci´on entre ambas variables ser´ıa directa o positiva: a mayores ingresos, mayor no^ de libros.
Ejercicio 25:
X ni. xi xini. di x^2 i ni. 0-4 7 2 14 1.75 28 4-6 18 5 90 9 450 6-8 21 7 147 10.5 1029 8-11.5 29 9.75 282.75 8.2857 2756. 75 533.75 4263.
Y n.j yj yj n.j N.j y^2 j n.j 0-2.5 17 1.25 21.25 17 26. 2.5-5 23 3.75 86.25 40 323. 5-7.5 26 6.25 162.5 66 1015. 7.5-10 9 8.75 78.75 75 689. 75 348.75 2054.
a) ¯x =
n
i
xini. =
Del valor de las densidades de frecuencia se deduce que Mo ∈ (6, 8] y M oX = 6 +
× 2 = 6.9587.
b) ¯y =
n
j
yj n.j =
n 2 = 37.^5 ⇒^ M eY^ ∈^ (2.^5 ,^ 5]^ ⇒^ M eY^ = 2.5 +
× 2 .5 = 4.7283.
c) Calculamos los coeficientes de variaci´on:
S nX^2 =
n
∑^ r
i=
x^2 i ni. − x¯^2 =
− 7. 11672 = 6. 2034 ⇒ SnX = 2. 4907 ⇒ CVX =
SnX x ¯
S nY^2 =
− 4. 652 = 5. 7733 ⇒ SnY = 2. 4028 ⇒ CVY = 0. 5167.
Entonces, presenta mayor dispersi´on la variable Y.
d) X e Y son independientes ⇔ nij =
ni. × n.j n
∀i, j:
0 = n 13 6 =
n 1. × n. 3 n
7 × 26
=⇒ X e Y no son independientes.
