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SOLUCIONARIO 9 Derivadas EJERCICIOS PROPUESTOS 1y2. Ejercicios resueltos. 3. Para la función f(x)=YVx+4, calcula su tasa de variación media en los intervalos [0; 1], [0; 0,1] y [0; 0,01]. ¿Puedes dar una estimación de su tasa de variación instantánea en el punto x = 0? TVMAIO; 1] Ez, =0,236068 TVMf[0;0,1]= A? =0,248457 — TVMf[0;0,01]= e — É- =0,249844 Parece que la tasa de variación instantánea en x=0 será 0,25. 4. Obtén la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos indicados y representa gráficamente las funciones y las rectas obtenidas. ¿Responden las rectas obtenidas a la idea intuitiva de tangente? a) fl0=x,enP(1, 1) c) f(x)=Vx+2,en x=2 b) f(x)=x?+5x-2,en x=-2 d) 10=1, en x=2 a) La pendiente de la recta tangente es: Y - - $ + 3h? 1 mar tim DOLIDO - pg CELA jp MSIE tp? + 3143) =3 h>0 h h>0 h h>0 h>0 4 Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: y -1=3(x-1) > y =3x-2 5 Y b) La pendiente de la recta tangente es: ] 2 +h)- 5 24 HPA 2 + h)> | mf 12) = tim LC2AM-I2) _ py 240 +52 h) 248 _ jp Min LL 2 h>0 h h>0 h SN] V 0| hi - X = lim(h+1)=1 ) Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: y+8=x+2>y=x-8 Cc) La pendiente de la recta tangente es: mr im LEG) _ jo (Va+n-2) (Va+n-2)[Va+n+2) ho h ño h h(Va+h +2) _— L— tim 2 tim 1 mon Vasn+2) Mo Yarnez 4 Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: y -2 -Íu-2) >y= Ae 2 Unidad 9| Derivadas AR ¡Ulellelar-18 en 12) _ im 2h Em 2 tim 11 SS ho h PDD 2H(2+h) m22+h) 4 m=1(2)= lim, Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: y 5 o) >y= ON En todos los casos las rectas obtenidas responden a la idea de recta tangente a una curva. 5. Sea f una función derivable en 2 tal que f(2)=3 y f'(2)=-5. ¿Es y =-5x+3 la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x = 2 ? No, la tangente en el punto de abscisa x=2 es y —f(2)=f'(2[x-2) > y -3 =-5(x-2)> y =-5x+13 . 6. Sea la tabla de valores de una función f. x 1 197 | 2 |202 [22 |399 | 4 |4,01 f(x) | 25 [6,905 | 7 |7,059|7,5 |8,98 | 9 9,2 a) Utiliza esta tabla para aproximar f'(2). b) Ala vista de los valores de la tabla, ¿crees que exista f'(4) ? Justifica tu respuesta. a) Tomamos los distintos valores deh para los que conocemos f(2+h), conh pequeño, tenemos: Ñ F(2+h)-F(2) _£(4,97)-F(2) _6,905-7 2,0 h=-0,03> > La a 083 _ F(2+h)-F(2) _f(2,02)-F(2) _7,059-7 or _ h=0,02> > Aaa 29583 Por tanto, f'(2)=3. b) Tomamos los distintos valores deh para los que conocemos f(4 + h), conh pequeño, tenemos: Ñ F(4+h)-F(4) _ £(3,99)-F(4) _ 8,989 _ E E Y NÓ h=0.01> LS £(4) _ £(4,09)-F(4) -92-9_20 0,01 0,01 Por tanto, f'(4) parece no existir. 7. Elespacio en metros recorrido por un móvil está dado por: 1 f(t) = 0-5 , con ten segundos. a) ¿Cuánto espacio ha recorrido en el instante t=10 s? b) ¿Cuál es la velocidad del objeto en ese mismo instante? a) Harecorrido f(10)= 50-E=49,98 m. b) La velocidad viene dada por el valor de la derivada: 4 £(10)= jim += 160) y 187 4% - lim =tim—1 1 mf. no 1) pra) h>015(h+15) 225 Derivadas | Unidad 9 51 15. 16. 17. 18. 19. TUCIOnariostO.c esboza la gráfica de y =f'(x) a partir de la de y =f(x). /a] 4/0 Vo Y ol /a a a | / / Xz €) 1 / 0] x Ejercicio resuelto. Calcula la derivada de estas funciones. a) f)=V3 0) f0=(2+1) E b) F(x)=x'"-3x d) f(0)=5x 42 +7x? D 0-8 -2 —x+1P a) f(x)=0 b) F(0)=4%-3 0) F(x)=2( +1)2x =4x" +4x d) F(x)=20% +6x? +14x S M)=2é-3x+2 4 1 F()=23 -2x -x+1)(9x? - 4x1) = 54x? -60x* -8x7 +30x? -6x-2 Si f'(0)=2, g'(0) =-1, (0) =7 y g(0)=3, calcula la pendiente de la tangente en el punto x=0 de: a) s(x)=2f(x)-39(x) b) plo) =(£0)+x) a) s(x)=2f(x)-39(x) > m=s!(0) =2f(0)-3g'(0)=7 D) pl) =2(10)+x)(F0)+1) > m = p'(0) = 2(F(0)+0)(F(0)+1) = 42 Calcula las derivadas de orden siete y ocho de: F(x)=x" -384x* +1115x* -20x* +70” +3x 4321 Fx) =71= 5040 y F"(x)=0 En general, la derivada de orden n de una función polinómica de grado n es igual a n!, y las derivadas superiores son iguales a 0. Ejercicio resuelto. Derivadas | Unidad 9 53 SOLUCIONARIO a) f(x)=(2x-7X5-3x) 0) F0=(é +3 NL 6x0) e) fl) = da + 5x3 b) (00) =0é 3x1) 3) f0)=x (+ 35x —x) Do F0= (e +8 rd a) F(x)=2(5-3x)+(2x-7)(-3)=-12x+31 b) F0)=20é 083x113? 1) + (0 9 6x =24x" -42x” +20x? -2x 0) F(x)=(4x +6x)(2-6x —x?)+(x +3x?)(6-2x) =-6x” -30x* -4x? -54x? +12x 8) Fx) =2x(x+315 —x) (5x0 — x) +1 (x + 3I(10x 1) = 25x* + 56x? -9x? 6x?-2x+5 r0)= a AD 2 5x-3 0 P0=20é +84) ist AB + 8 pa 1 2Vx-1 _ 178 -16x7 +144x" -128x +64 2Vx-1 21. Deriva las siguientes funciones. 1 1 Y mx +3 a) 10 a 1-2) Ea x Ó—x x-2 b) 0 Y Dd mo 00 OB) E a OB) 2x4 5 O tr 9 =2 12-122 Ñ 10-227) y) Gar a AO) R m a f)= Y AAA e) Py. DEMANA 3 M2 2) _ 2 6 _ (e +2x-1P _ (e +2x-1P » (0 1)- (2) x-2 1 Vx x-2 2x+(x-1Mx-2) xx 42 P0)= = = = 2 1 (1? de x-124x RATA UA UR 22. Dada 10. , Calcula f(x) y f"(x)- 2x0 +1) (Ó-1)2x__ 4x IN a pro LOLA 202 _ AA 2 2 AA) o ET TRA RA Unidad 9| Derivadas SOLUCIONARIO 2 2) 100=(2 10 +4x-2) b) 100 =0é-1N5x=4 0) 19-22) Vx ] 2x-1 d) 100-[ a) )=4x (0 +4x-2) + (2% -1)-4(2% +4x-2) (3x7 +4)=4(x*+4x-2) (71 "+91 -2x-4) 5 4x(Sx-4)+5(-1) 25x*-16x-5 2Ñ5x4 2/5x-4 25x-4 S) f()=2 esp E 2) - ES 4) b) F(0)=2xvV/5x-4 + (1-1) CN RE ENT 1 m ro9-a[ dx ¡A 3x 2x-1-4x _ -3x(2x+1) 2x-1 29. Utilizando la regla de la cadena calcula las siguientes derivadas. a) 100=ex-5 y -1 b) 109=[(12=x) y ra y o EA (e +2x)) (8x-14 5(8x-5)'-3 _ 15(3x-5) alex-sy 2 (8x-5) -1 b) rosada] q Vea) a) f(x)= [40 +2 a +2) (+22) [00 +23 1][3 (0 +2) (3x2 +2)] e) fMx= = [(0+20 7 (0 +20) [a (+20) (30+2)-0((e +24) -1](3x+2)] - (e +2x) - 4 Ñ 4 2 2 _a(0+2x) (8 +2) 90122) (3 +2)+3(3x ao +2) (e +2x) (4 +2x) Otro modo: METAN 1 Lo Aa 2) a (ox +2) e A IN 2 =3 +24 (e «2 % [FE Aaa ) FO)= z = (8x1) aer aa 12 4) 12084] (ox 11) (6x+2 dE o 2x2 + x (3x-1)' o 2d +x (3x-1P Unidad 9| Derivadas SOLUCIONARIO Sean f y g las funciones dada las gráficas 1 N Y| Y| f LG a) Calcula h(-3) y h(2). b) Estima f'(3), F'(2), g(-3), g'(2)- c) ¿Cuál es el signo de h'(-3) ? Explica cómo lo obtienes. d) Escribe la ecuación de la tangente a la curva y = h(x) en P(2, h(2)). a) h(3)=F(9(3) =1(3)=2 y h(2)=F(9(2)) =F(3)=2 b) F(3)= > f(2)=1, 9(-3)=1 y 9(2)=0 Cc) h(-3)=f'(9(-3)g(-3)=F"(3)9'(-3) =f"(3), que debe ser positivo, ya que la recta tangente a fen x=3 es creciente y, por tanto, tiene pendiente positiva. d) Como h'(2)=f'(9(2)g'(2) =F'(3)g'(2) =0, la ecuación de la recta tangente es y — h(2) = h(2Xx-2)>y=2. 31. Ejercicio interactivo. 32y33. Ejercicios resueltos. 34. Comprueba, usando la derivada de la función inversa, que la derivada de f(x) = Áx es la que ya conoces. 1 21 21 _1 ala) TU) 20 Ax Tomando g(x)=x? se tiene f(x) = gx), luego: f(x) = (97) (9= 35. Calcula las derivadas de las inversas de las siguientes funciones en los puntos que se indican. a) f(x)=+x+1 en el punto x=11. b) fL00=x+Vx+5 en el punto x=-3. a) Sea g(x)=f"(x), tenemos E Para calcular g(11) resolvamos la ecuación f(x)=11>x*+x+1=11>x+x-10=0> x=2 .Por otra parte, i] - 2 Y = Y = 1 f(x) =3x* +1, con lo que g'(11)= 70) 137 b) Sea g(x)=f"(x), tenemos IE Para calcular g(-3) resolvamos la ecuación f(x)=-3> x+Vx+5 =-3> Vx +5 =-3-x => Sx+5=94+x2+6x > x+5x+4=0> x=-1 (Falsa), x =-4.Por otra parte, f(x) =1+ 1 , Con lo que (Falsa), pi E re q 1 2 (3)=>=2. ge) rana Derivadas | Unidad 9 57 41. 44. SOLUCIONARIO 0 ( ) . iste algún punto en la gráfica de y =Yx en la que la tangente sea paralela a la recta 3x- y =07 La pendiente de la recta dada es 3, por tanto, nos preguntamos si la ecuación (Lo) =3 tiene solución. (2 4 , Derivando tenemos: (*/x) (+) -115-1L> (Vx) 2331-3515 =1> 15x* =1> 5 ES E ax -=L que tiene dos soluciones, xy 1_ y x= 1 15% E EOS Por tanto, sí existe algún punto en la gráfica de y = Y , de hecho existen dos, en los que la tangente es paralela a 1 a 1 la recta 3x- y = 0 . Estos dos puntos son los de abscisa x = O x=-—_—> 15%5 15%15 Dada la función f(x) = Y6x-3 : a) Halla F((1), F(x) y su derivada (1 o. b) Calcula (e) (F(1)) y compáralo con f'(1) . ¿Es el resultado que esperabas? e) Obtén f"1(2). a) 109=Vex=3 =(6x-ay3 > r09=(6x-3)76=-2>nm-2 3 ¿6x3 Yo yla y ro O) A AL (r )e0=37= 2 , , Y y b) (1) (em) = (1) E como tenía que ocurrir. ay 243211 c) f ==> =5 42 y43. Ejercicios resueltos. Halla la derivada de las siguientes funciones. a) f(x)=In(** -2x+1) c) f09)=dxIn(7x?) e) f(x)=xInx b) f(x) =l0g, (3x? -1) d) f(x)=5xlog; x* 1D f09=4nx a 3-2 A 4 CN 4,20 a) Se con x e D(f) d) F(x)=5log, x' A a logs X +5 19 A o E) EE ») 09 =Inxex Le b) lada) conx.eDÍ 2. u + e) f(x) Inx+ xo 1+Inx 1 a A EN EEES 027) A c) E0= por AA Derivadas | Unidad 9 59 SOLUCIONARIO a) b) a) b) c) d) e) Ex) =x c) f(x)= (7 e) flx)=x* E) =x0% d) fx) =201 ) fo=x* f(x) =x% > Inf(x)= am E - Inx+1=> f(x) = f(x) (Inx+1) =x* (In x+1) nx _ 2 F)_2Inx ») _2Inx-f(x) _ 2Inx-x0% _ ¿met 10) =x% => Inf(x) =(Inx)" > CES >fx)= HR =2Inx-x = Y > _vx 9 _ Inx ¿A nx, 1 2+Imx 1009 = (Vx) > Inf) = Vx Indx = ¿im 700 a+ ax “Ax ETS A? +Inx_ ¡o 24 Inx (eri l ro E 109 == Inf(0)= xr e =2 Inx+ 215 r9- o > )= 102 fl) =x% > Inf(x) =x? mo 0 zar Exxx x(2Inx+1) >f(x)=x(2Inx+1)f(x)= =x(2Inx +1) =(2Inx+1) 054 _ pd _ F09 _ nx he nx, 1 _2+Mmx_ 2+Inx ESCANEO) D foo=x =InEb9= Vx nx => 7 > AMET >(x)=K(x): NET NES 46 y 47. Ejercicios resueltos. 48. Obtén la derivada de estas funciones. a) f(x) = 09050 b) f09)=0* (1? -7x-3) eS e) fx)=2 pe a) ft) =Vxe* a) f(x)= PS] (9x -5) b) M9) =e* (1? -7x-3)+0* (2x7) =e* (x?-5x-10) eS o rol aero) -(9* e) e” (ax 1) +2 é a) n=) A rl) pe Unidad 9| Derivadas SOLUCIONARIO 53. Obtén la derivada de las siguientes funciones. a) f(x)=sen(x +0?) e) f(x)=sen(5x?-2x+1) e) f(x)=xcos(3x-2) x+senx b) f(x) =Vcosx d) f(x)=tg?(2x) d fo0= cos(an) a) f(x)= (2x + 20%) c0s(x? + 0%) -senx 2x/cos x e) F(x)=(10x-2)c0s(5x? -2x +1) b) f)= 2 _4sen(2x) d) fx)= A o (2x) e) f(x)=00s(3x-2)+x(-sen(3x-2))-3=»cos(3x-2)-3xsen(3x-2) (1+cos x)cos(4x)-(x+sen x)(-sen(4x))-4 _ (1008 x)cos(4x) + 4(x + senx)sen(4x) n fe cos” (4x) cos? (4x) 54, Halla la recta tangente a la curva f(x) = senx en el origen. f'(x) =cos x, por tanto, la ecuación de la recta tangente en el origen es y —f(0) =f"(0(x-0)> y =X. 55. ¿En qué puntos la recta tangente a la función f(x) =tg(2x) está menos inclinada que la bisectriz del primer cuadrante? Queremos encontrar los puntos en los que [f((x)| <1. Como f'(x)= , esta condición equivale a 2 < cos? (2x), que no tiene solución, ya que cos? (2x)<1 para 2 cos? (2x) cualquier x. Por tanto, no existen puntos que cumplan la condición requerida. 56. Encuentra los puntos con abscisa en [0,21] para los que la tangente a la curvaf(x)=senx+cosx es horizontal. Queremos encontrar los puntos en [o, 21] que verifiquen que f'(x)=0. Como f'(x)=cos x-senx, tenemos: 1) =0> senx=00sx => gx =1=> x=, E. Por tanto, los puntos buscados son a(z, 2) y a(%e, 02), 62 Unidad 9| Derivadas 59. 61. 62. SOLUCIONARIO el a) f(x)=arcsen(e*) €) f(x)=Varccos x b) f(x) =arotg(14 x?) d) f(x) =In(sen x+arcsen x) e) 19. E =—_ 1 COS X + b) 1). a ro. AE 1+ (142) sen x+arcsen x Halla en qué puntos la recta tangente a la función arco tangente es horizontal. 1 tu? anule, es decir, no existe ningún punto con tangente horizontal. Como la derivada de la función arco tangente es f'(x)= no existe ningún punto en el que la derivada se Deriva y simplifica todo lo que puedas la función f(x) = arctg(x) + arctg| E) . 1 = 1 =0. Observemos que obtenemos el resultado esperado, ya que arctg(x) E Mt li x fo) + y arco[*) son siempre arcos complementarios, es decir f(x) -arag() +arag[+) > por lo que f'(x)=0. Calcula la derivada del arcocotangente. arcotg(x) = act[*) > arcotg(x) = 3 erta(x) , Por tanto, la derivada de f(x) =arcctg(x) es f(x) = hh . Ejercicio interactivo. Ejercicio resuelto. Derivadas | Unidad 9 63 SOLUCIONARIO siguientes funciones: a) f(x)=-2x? +8x c) f(x)=3x -5 e) f(0)=2% -15x? -36x +2 b) f(0)=x* -6x? +9x-2 d) fx)=x*-2x +4 1D f0)=3x +8 +6x? +24x +1 a) f(x)=-4x+8 se anula si x=2, es positiva si x<2 y negativa si x > 2, por tanto, la función es creciente en (==, 2), decreciente en (2, +00) y tiene un máximo relativo en x=2. Hemos resuelto el apartado en la forma general pero, como la gráfica es una parábola, podemos estudiar los intervalos de crecimiento, los extremos y representar la gráfica sin necesidad de estudiar el signo de la derivada. b) F(0)=3x? -12x+9=3(x-11(x-3) se anula si x=1 0 x=3. 1 o 0 En la tabla adjunta se determinan los intervalos de crecimiento y los x-1 - + + extremos relativos de la función: es creciente en (—o, 1) (3, +00), x-3 + decreciente en (1, 3), con un máximo relativo en x=1y un mínimo r +l-|+ relativo en x=3. f Z13S]Z 0) F00)=15x -15 =15x(x+1(x-1) se anula si x=0, x=-1 0 x=1. o 1 [o] 1 +00 En la tabla adjunta se determinan los intervalos de crecimiento y 2 = + + + los extremos relativos de la función: es creciente en : a O O (=a, -1)u(t, +00), decreciente en (-1, 1), con un máximo relativo = = O A en x=-1y un mínimo relativo en x=1. F PITA TA d) P)=4 -4x =4x(x+1)(x-1)se anula si x=0, x=-1 O x=1. o 10 1 tw o Ñ . o xt =l+|+]|+ En la tabla adjunta se determinan los intervalos de crecimiento y Xx 7 + + los extremos relativos de la función: es creciente en ze =T4 (44,0) U(t, +00), decreciente en (=o0, —1)U/(0, 1), con mínimos 7 O relativos en x=-1y x=1 y un máximo relativo en x=0. f NIzZIxl7 e) f(x) =6x? -30x-36 = 6(x-—6Xx+1) se anula si x=6 o x=-1. o 1 6 En la tabla adjunta se determinan los intervalos de crecimiento y los x+1 - + + extremos relativos de la función: es creciente en (—oo, -1)u(6, +00), x—6 + decreciente en (-1, 6), con un máximo relativo en x=-1 y un mínimo f + - + relativo en x=6. f ZINIZ 9 FO09=12 +24x?+12x +24 =12x+2)x? +1) se anula si x=-2. Como x?+1 es siempre positivo, la derivada es positiva si x >-2 y negativa si x <-2, por tanto, la función es creciente en (2 +00) , decreciente en (-o, -2) y tiene un mínimo relativo en x=-2. 67. *Dibuja una posible gráfica para y = f(x) sabiendo que se cumple: F(x) < 0 en(—o, 3); F'(x)>0 en (3, +00); F'(1)=0 y F'(3)=0. Y [ S x] 68 y 69. Ejercicios resueltos. Derivadas | Unidad 9 65 SOLUCIONARIO ulael máximo mo a) f()= Vx? -6x+10 en el intervalo [o, 4] 4) f(x)=x% +4x? +x-6 en el intervalo [-3, 4] b) f(x)=x?-3x en el intervalo [2, 5] e) f(x)=3x? -25x” +60x en el intervalo [-5, 2] e) f(x)=x? -3x? en el intervalo [-1, 4] 1) f(0)=x'-x0 +1 en el intervalo [-2, 2] En todos los apartados se procede siguiendo la misma pauta: se calcula la derivada de la función; la igualamos a cero y resolvemos dicha ecuación, teniendo en cuenta únicamente las soluciones que pertenezcan al correspondiente intervalo abierto; calculamos el valor de la función en los extremos del intervalo y en los calculados previamente; la imagen mayor será el máximo y la menor será el mínimo. 2x-6 21 x? -6x+10 £(0)=/10 , F(3)=1 y £(4) = 4/2 , por tanto, el valor máximo de la función en el intervalo dado es 4/10 (se alcanza en x =0) y el valor mínimo es 1 (se alcanza en x=3). a) f(x)= =0>2x-6=0>x=3, que pertenece al intervalo (0, 4). b) f(x) =2x-3=0=>x= z , Pero no pertenece al intervalo (2, 5). f(2) =-2yf(5)=10, por tanto, el valor máximo de la función en el intervalo dado es 10 (se alcanza en x=5) y el valor mínimo es -2 (se alcanza en x=2). €) F(x)=3x?-6x =0> x=0, x=2, ambos valores pertenecen al intervalo (-1, 4). f(-1)=-4, f(0)=0, f(2)=-4 yf(4)=16, por tanto, el valor máximo de la función en el intervalo dado es 16 (se alcanza en x= 4) y el valor mínimo es 4 (se alcanza en x=-1 y x=2). A-413 44413 F()=312+8x+1=0=>x= ——* 2,535, x = == -0,131, ambos valores pertenecen al intervalo (3, 4). d) =-6,065 y £(4) =126,, por tanto, 13)=0, (28) 22 2:48) 1008 3 3 2 el valor máximo de la función en el intervalo dado es 126 (se alcanza en x=4) y el valor mínimo es -70-26413 44113 > 27 3% =0,879, d (se alcanza en x= F(x) =15x* -75x?+60=0>x=-2, x=-1, x=1, x=2, todas las soluciones, salvo la última, pertenecen al intervalo (-5,2). f(-5) =-6550, f(-2)=-16, f(-1)=-38, f(1)=38 yf(2)=16, por tanto, el valor máximo de la función en el intervalo dado es 38 (se alcanza en x =1) y el valor mínimo es -6550 (se alcanza en x=-5). 1D F0)=4-2x=0=>x= f(-2)=13, (7 f(0)=1, (E) 21-19. por tanto, el valor máximo de la función en el , todas las soluciones pertenecen al intervalo (-2, 2). 2 Unidad 9| Derivadas SOLUCIONARIO a) f(x)=-2x+8x 0) f(x)=x"-22+4 b) f(x) =x -6x% +9x-2 d) f(x)=3x -5x a) Fx)=-4x+8>F(x)=-4 Como la segunda derivada es siempre negativa, la función es cóncava hacia abajo (n Jen R . b) F09=3x -12x+9>F"(x)=6x-12=86(x-2) Si x<2, f"(x)<0 y, por tanto, Fes cóncava hacia abajo (1) en (—o, 2). Si x>2, f"(x)>0 y, por tanto, fes cóncava hacia arriba (U) en (2, +00). $ Y3 c) 19-00 =errco-12é-a=12 07 5) se anula si x= LB x 0 E x2. En la tabla se determinan los intervalos [2% pr l+ 3 3 XX lo] en los que f es cóncava hacia arriba (U) o hacia abajo (nm), qa ST TE f u Y obteniéndose que fes cóncava hacia arriba en (a ME. so) y cóncava hacia abajo en EE 5) . o Xx 0 xXx +0 d) F(x)=15x* -15x? > f"(x) =60x? -30x = 60x A A 7 2 2 XxX + + |+ Xx =|]-]|+]|+ se anula si x=0, E, o a. En la tabla se X—Xa lo] ]+ determinan los intervalos en los que fes cóncava hacia arriba (U) a — y - y O hacia abajo (Mm) , obteniéndose que f es cóncava hacia arriba en ( ES 12) y cóncava hacia abajo en (a Eo 2 Es 2 2 76. Estudia la curvatura y determina la abscisa de los puntos de inflexión de f(x) sabiendo que: Fo) = (+ 1)(x-3) (2-7) La segunda derivada se anula si x=-1, x=3 o x=7. En la tabla se determinan los intervalos en los que f es cóncava hacia arriba (U) o x+1 =T+T+T+ hacia abajo (m), obteniéndose que f es cóncava hacia arriba en (3? + + + + (=o, -1)u(7, +0) y cóncava hacia abajo en (-1,7), siendo los x-7 =|-]|-| + puntos de abscisa x=-1 y x=7 los puntos de inflexión. fo +l-|-]|+ f u Ú 68 Unidad 9| Derivadas SOLUCIONARIO 77. Halla la ecuación de la recta tangente a y = en su punto de inflexión de abscisa positiva. +1 X_ tenemos 9 = CAEN ey > 2x1] (1-2) 2x8 +1)2x (ea pe) (e sio. 2x (+1) -4x(1-x?) _ 2 6x (e +1) (e +1) : De este modo, el punto de inflexión de abscisa positiva tiene por abscisa la solución positiva de la ecuación 2x?-6x=0, es decir, x=v3, y la recta tangente en dicho punto de inflexión tiene ecuación y —F(V3) =F(v3)(x-43) => y E. 3) y td. 78. ¿Tiene algún punto de inflexión la gráfica de f(x) = x?+cos x+1? f(x) =2x-senx => f"(x)=2-cosx, como f"(x) no se anula nunca, la gráfica de f no tienen puntos de inflexión. 79. Ejercicio interactivo. 80a89. Ejercicios resueltos. EJERCICIOS Derivada de una función en un punto. Función derivada 90. Considera la gráfica de la figura y contesta, en cada caso, entre qué pareja de puntos consecutivos se cumple la condición dada: a) La tasa de variación media es negativa. b) La tasa de variación media es máxima. Cc) La tasa de variación media es más próxima a cero. a) Entre DyE b) Entre Ay B c) Entre ByC 91. Halla la derivada de f(x) en x=3. Y F La pendiente de la recta tangente es 1 (observemos que las 3 escalas de los ejes son distintas), por tanto, f(3)=1. 0 x=3 [+ Derivadas | Unidad 9 69