¡Descarga Soluciones ejercicios derivadas y más Ejercicios en PDF de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas solo en Docsity!
SOLUCIÓ CÀLCUL DE DERIVADES
1. Calcula les següents derivades elementals:
a) y = 3x
4
-3x
2
y‘ = 12x
3
-6x
b) y =
x
x
= 3(x
-1) -
x
y‘ =-
x
2
c) y =
√ 5 −√ x +
3
√ x
5 - (x)
1/
1/
y‘ =
x
x
− 2 / 3
=
x
3
√ x
2
d) y =
x
4
− π
= 3x
y‘ = -12x
x
5
e) y = 5sinx – 2·e
x
y‘ = 5cos x – 2·e
x
f) y =
lnx
− 2 x +log
3
x
lnx
− 2 x + log
3
x
y‘ =
4 x
( ln 3 ) x
2. Aplica la regla de la cadena per trobar la derivada de les següents funcions:
a) y = cos (x
3
-2x)
y‘= -sin (x
3
-2x) ·(3x
2
-2)= (-3x
2
+2) sin (x
3
-2x)
b) y = sin (5-lnx)
y‘ = cos(5-lnx) ·
x
−cos( 5 − lnx )
x
c) y = cos (
3
√
x
2
) = cos (x
2/
y‘ = -sin (
3
√
x
2
2 x
− 1 / 3
− 2 sin(
3
√
x
2
3
√ x
d) y = sin
3
(3x
2
y‘= 3sin
2
(3x
2
+1)cos(3x
2
+1)6x = 18xsin
2
(3x
2
+1)cos(3x
2
e) y = ln(cos
x
y‘ =
cos
x
(
−sin
x
) (
x
2
)
tg
x
x
2
f) y = √
1 +ln ( x
2
y‘ =
√
1 +ln ( x
2
x
2
· 2 x
2 x
2 ( x ¿ ¿ 2 + 1 ) √
1 + ln ( x
2
x
( x ¿¿ 2 + 1 ) √
1 +ln ( x
2
g) y= ln
3
√
6 x
2
= ln ( 6 x
2
1/
y‘ =
3
√ 6 x
2
( 6 x
2
− 2 / 3
· 12 x
12 x
3
√
6 x
2
3
√
( 6 x
2
2
4 x
3
√
( 6 x
2
3
4 x
6 x
2
3 x
h) y = log( tgx – x)
y‘ =
ln 10 ( tgx – x )
(1+ tg
2
x − 1 ¿ =
tg
2
x
ln 10 ( tgx – x )
i)
y =
( x − 5 )
2
= ( x − 5 )
− 2
y‘=-
( x − 5 )
− 3
( x − 5 )
3
j) y = sin
3
(x
2
y‘ =3sin
2
(x
2
)cos(x
2
)2x = 6xsin
2
(x
2
)cos(x
2
k) y = cos(3x
4
y‘ = -sin (3x
4
)12x
3
=-12x
3
sin (3x
4
l) y = lncosx
y‘ =
cosx
(− sinx ) =− tgx
m) y = lnx·cosx Regla del producte
y‘ =
x
cosx -lnxsinx
n)y=
lnx
x
Regla del quocient
y‘ =
x
· x − lnx
x
2
1 − lnx
x
2
f) y =
sinx
lnx
c) f ( x ) =
3 x + 2
√
x
2
y‘ =
√
x
2
2 x
2 √ x
2
( 3 x + 2 )
√ x
2
2
√
x
2
√
x
2
√
x
2
x
2
( x ¿¿ 2 + 1 )− x ( 3 x + 2 )
( x
2
√
x
2
3 − 2 x
( x
2
3 / 2
3 − 2 x
√
( x
2
3
d) f ( x ) = 3
x
2
y‘ = ln3 · ( 2 x ) · 3
x
2
e) f ( x )= 5
√ x
2
− 4
y‘ =ln5 · 5
√ x
2
− 4
2 x
√
x
2
xln 5 · 5
√ x
2
− 4
√ x
2
f) f
x
x + 1
e
2 x + 3
y‘ = e
2 x + 3
+( x + 1 ) 2 e
2 x + 3
e
2 x + 3
(1+2x+2)= e
2 x + 3
(2x+3)
g)
f ( x )=ln( 3 x + 1 )
y‘ =
3 x + 1
3 x + 1
h) f ( x )=( 3 x
2
+ 4 ) · √ 3 x + 1
y‘ = (6x)
3 x + 1
( 3 x ¿¿ 2 + 4 )
3 x + 1
( 6 x )
3 x + 1 · 2
3 x + 1 +
( 3 x ¿ ¿ 2 + 4 ) 3
3 x + 1
6 x ( 3 x + 1 ) 2 + 9 x
2
3 x + 1
45 x
2
3 x + 1
i) f
x
e
2
x
e
x
e
x
y‘ =
e
2
x
2
e
x
e
x
e
x
e
x
−( e
x
x
e
2 x
− e
2
x
2
e
x
e
x
e
2 x
− e
2 x
− 3 e
x
e
2 x
− e
2
x
2
e
x
e
x
− 3 e
x
e
2 x
− e
2
x
2
e
x
j) f ( x )=
e
2 x + 1
x + 3
y‘ =
2 e
2 x + 1
x + 3 − e
2 x + 1 1
x + 3
x + 3
2
2 e
2 x + 1
√ x + 3 · 2 √ x + 3 − e
2 x + 1
( x + 3 ) 2
x + 3
4 ( x + 3 ) e
2 x + 1
− e
2 x + 1
2 ( x + 3 )
1 + 1 / 2
e
2 x + 1
( 4 x + 12 − 1 )
√
( x + 3 )
3
e
2 x + 1
( 4 x + 11 )
√
( x + 3 )
3
j) f ( x )= ln ( x
2
3
y‘
( x
2
3
3 ( x
2
2
2 x
6 x
x
2
k) f ( x )= x
2
· logx
y‘ =2xlogx +
x
ln 10
x
=2xlogx +
x
ln 10
l) f
x
3 x
2
ln ( 2 x + 3 )
y‘ =
6 x ln ( 2 x + 3 )−( 3 x ¿¿ 2 + 4 )
2 x + 3
ln
2
( 2 x + 3 )
6 x ( 2 x + 3 )ln
2 x + 3
− 2 ( 3 x
2
( 2 x + 3 )ln
2
( 2 x + 3 )
( 12 x
2
2 x + 3 − 6 x
2
( 2 x + 3 ) ln
2
( 2 x + 3 )
o bé, separar en dos la fracció
6 x ( 2 x + 3 )ln( 2 x + 3 )
( 2 x + 3 ) ln
2
( 2 x + 3 )
2 ( 3 x
2
( 2 x + 3 ) ln
2
( 2 x + 3 )
6 x
ln
2 x + 3
2 ( 3 x
2
( 2 x + 3 ) ln
2
( 2 x + 3 )
m) f ( x )=sin( 3 x
3
y‘ = 9 x
2
cos( 3 x
3
n) f ( x )=sin(cos( x ))
y‘ = (-sinx) ·cos cosx
o) f ( x )=ln( 3 x ) · sin( x
2
y‘ =
3 x
sin( x
2
+ln ( 3 x ) · 2 xcos ( x
2
sin( x
2
x
2
p) f ( x )=sin
2
( √ 3 x + 2 )
y‘ = 2sin
(√ 3 x + 2 )cos( √ 3 x + 2 )
3 x + 2
3 sin( 2
3 x + 2 )
3 x + 2
q) f ( x )=( 3 x + 5 x
2
) · cos ( x
2
y‘ =(3+10x) cos ( x
2
2
) sin( x
2
=
(3+10x)
cos ( x
2
( 6 x
2
3
)sin ( x
2
r) f ( x )=
sin( x
2
cos ( 3 x )
w) f ( x )=( x + 3 )
sinx
ln y = sinxln (x+3)
y '
y
= cosx ln(x+3) + sinx
x + 3
y‘ = y(cosx ln(x+3) +
sinx
x + 3
)=
( x + 3 )
sinx ·cosx ln(x+3) +
sinx
x + 3
y) f
x
= arcos
x − 1
y‘ =
√
x − 1 )
2
x − 1
x − 1
1 − x + 1
√
( 2 − x )( x − 1 )
z) f
x
x arctg
x
y‘ =
x
arctg
x +
x
x
2
arctg
x
x
x
1 + x
4. Troba les derivades enéssimes de:
a) y = sin(x-
π
y‘ = cos(x-
π
) y‘‘= - sin(x-
π
) y‘‘‘=-cos (x-
π
y
iv)
= sin(x-
π
Totes les derivades múltiples de 4 (4k) valdran sin(x-
π
y
n
sin
(
x −
π
)
si n = 4 k
cos
(
x −
π
)
si n = 4 k + 1
−sin
(
x −
π
)
si n = 4 k + 2
−cos( x −
π
) si n = 4 k + 3
b) y = cosx +
x
y‘= -sinx + 2
x
ln
y‘‘= -cosx+
x
ln2ln2 = -cosx + ln
2
x
y‘‘‘=sinx + ln
2
x
ln2 = ln
3
x
y
iv)
= cos x + ln
4
x
y
n)
cos x + ln
n
x
si n = 4 k
− sinx +ln
n
x
si n = 4 k + 1
− cosx + ln
n
x
si n = 4 k + 2
sinx +ln
n
x
si n = 4 k + 3
Problemes
5. El nombre N de bacteris d’un determinat cultiu varia en funció del temps t expressat
en hores, d’acord amb l’equació: N = 10·
e
t
2
a) Quin és el nombre inicial de bacteris en el cultiu? N 0
=10·e
0
b) En quin moment creix més de pressa el nombre d’aquests bacteris, quan t = 2h, o bé
quan t = 4h? Justifica la resposta.
Cal fer la derivada i comprovar on és més alta si y‘(4) o bé y‘(2)?
y‘ = 10 e
t
2
e
t
2
y‘(2)= 5e y‘(4)=5e
2
y‘(2)< y‘(4) Per tant creix més ràpid quan han passat 4 hores
- Una colònia formada per un milió de bacteries es troba en unes condicions que no
permeten la seva reproducció fins passat dos mesos. La funció que representa la
població d’aquesta colònia en funció del temps, expressat en mesos, és:
F(t) =
{
6
¿ 0 ≤t ≤ 2
6
· e
t − 2
¿ t > 2
a) Troba la quantitat de bacteries que hi ha després d’un mes
b) Comprova si hi ha un canvi de la població més ràpid quan passi 1 mes o passats
4 mesos
a) F(1) = 10
6
b) F‘=
{
0 ¿ 0 ≤t ≤ 2
6
· e
t − 2
¿ t > 2
F‘(1) = 0
F‘(4) =
6
· e
2
Per tant creix més ràpid passats 4 mesos perquè F‘(4)> F‘(1)
