Soluciones de ejercicios de cálculo, Ejercicios de Cálculo

¡Descarga Soluciones de ejercicios de cálculo y más Ejercicios en PDF de Cálculo solo en Docsity!

catalan

C`ALCUL

Exercicis i problemes

EEBE

A. Carmona, M. Claverol, A.M. Encinas, M.J. Jim´^ ´ enez,

A. Mart´` ın, A. Mas, M. Mitjana, M. Ruiz

C`alcul

1 Conjunts num`erics

Simbologia matem`atica

La llista de s´ımbols que, de partida, cal dominar i interpretar r`apidament ´es la seg¨uent.

1. N: conjunt dels nombres naturals, { 0 , 1 , 2 , 3 ,.. .}.
2. Z: conjunt dels nombres enters, {... , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,.. .}.
3. Q: conjunt dels nombres racionals,

m

n

| m ∈ Z, n ∈ Z \ { 0 }

4. I: conjunt dels nombres irracionals; per exemple,

2 , π, e,... S´on els nombres que no es poden expressar en forma de fracci´o. Aquest conjunt tamb´e es pot simbolitzar com R \ Q.

5. R: conjunt dels nombres reals, R = Q ∪ I. Es compleix N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
6. ⊂: s´ımbol utilitzat per indicar la inclusi´o.
7. =: aquest s´ımbol marca la igualtat. Indica que el que es troba a la seva esquerra ´es exactament igual que el que es troba a la seva dreta, sense cap tipus de mat´ıs.
8. ∈: ´es el s´ımbol utilitzat per indicar la pertinen¸ca; per exemple, per dir que el 3 ´es un n´umero natural, direm que el 3 pertany al conjunt dels nombres naturals: 3 ∈ N.
9. ⇒: ´es el s´ımbol per marcar la implicaci´o. Per exemple, x = 2 ⇒ x 2 = 4. El que es troba a esquerra i dreta sempre s´on expressions.
10. ⇔: s´ımbol indicat per marcar l’equival`encia entre dues expressions. Per exemple, ln x = ln 2 ⇔ x = 2.
11. ∀: ´es l’anomenat quantificador universal. Indica que l’afirmaci´o ´es certa per a tots els valors de la variable que quantifica. Per exemple, ∀x ∈ R significa ‘per a qualsevol nombre x que sigui real’.
12. ∃: s´ımbol de l’exist`encia.

(a) Ω 1 =

n^2

, n ∈ N ∗

(b) Ω 2 = (−∞, −1] ∪

[

(c) Ω 3 =

(−1)n

n

, n ∈ N ∗

(d) Ω 4 = (− 3 , −1) ∪ (2, 5)

(e) Ω 5 =

1 , 2 , 3 , · · · , n, n ∈ N∗

(f) Ω 6 = [−

26]

El conjunt dels nombres complexos

Exercici 1.6. Si z = x + iy, comproveu si es verifiquen les igualtats seg¨uents:

(a) Im(¯z) = − 2 xy.

(b)

Im(¯z)

= y^2.

(c)

z¯

z

(d) | cos(θ) + i sin(θ)| = 1.

Exercici 1.7. Representeu en el pla complex els nombres complexos seg¨uents:

(a) 4 i.

(b) 6.

(c) − 3 i.

(d) 2 + i.

(e) − 1 − 3 i.

(f) −4.

Exercici 1.8. Representeu en el pla complex els nombres complexos seg¨uents i els seus conjugats:

(a) 2 i.

(b) 5.

(c) − 4 i.

(d) 2 + 2i.

(e) − 1 − i.

(f) −2.

Exercici 1.9. (a) Proveu que z ´es un nombre real si i nom´es si z = ¯z

(b) Proveu que per a qualsevol z ∈ C, se satisf`a z · ¯z = |z|^2.

Exercici 1.10. Calculeu el m`odul i l’argument principal dels nombres complexos seg¨uents:

(a) 2 i.

(b) 5 + 5i.

(c)

3 − i.

(d) − 3 − 3 i.

(e) −1.

(f) −1 +

3 i.

Exercici 1.11. Expresseu en forma polar els nombres complexos seg¨uents:

(a) 2 i.

(b) 5.

(c) − 4 i.

(d) 2 + 2i.

(e) − 1 − i.

(f) −2.

Exercici 1.12. Representeu al pla complex el nombre z = z 1 · z 2 on

(a) z 1 = e

π 3 i, z 2 = e

π 6 i.

(b) z 1 = 2e−^

π 3 i, z 2 = 2e

π 2 i.

Exercici 1.13. Efectueu les operacions seg¨uents simplificant el m`axim possible:

(a) (3 + 2i)^2

(b)

| 2 − 3 i|

(c) (2 + 3i) 3 .

(d) i(

3 − i)(1 +

3 i).

(e) (1 + i)^8.

(f) (1 + i)−^1.

(g) (

3 + i) − 9 .

Exercici 1.14. Calculeu els nombres complexos seg¨uents, i expresseu-los en forma exponen-

cial:

(a)

3 + 3i

(b)

2 i

2

(c)

3 i

(d)

3 i

Exercici 1.15. Calculeu les arrels n-`esimes de la unitat, per a n = 2, 3 , 4 i representeu-les

en el pla complex. Comproveu que estan totes sobre una circumfer`encia de radi 1, i que els

v`ertexs formen un pol´ıgon regular.

Exercici 1.16. Calculeu i doneu en forma polar i bin`omica les arrels seg¨uents:

(a)

(b)

27 i.

(c)

4

3 i.

Exercici 1.17. Calculeu z 124 sabent que z 1 ´es una arrel c´ubica de z = 1 −

3 i. Expresseu el

resultat en forma polar i bin`onima.

Exercici 1.18. Siguin z 1 , z 2 , z 3 i z 4 les solucions de z 4 = − 2 − 2

3 i. Calculeu el producte

z 1 · z 2 · z 3 · z 4 i digueu quant val el seu m`odul i la determinaci´o principal de l’argument.

2 Funcions de variable real. L´ımits i continu¨ıtat de

funcions

Funcions reals de variable real

Exercici 2.1. Demostreu que la funci´o f : [0, +∞) → R definida per f (x) = x^2 ´es injectiva.

Exercici 2.2. Determineu el domini de les funcions seg¨uents:

(a) f (x) =

x

x + 1

(b) f (x) =

x^2 − 1

(c) f (x) =

−x

(d) f (x) = ln x

(e) f (x) =

ln x

(f) f (x) =

ln

x − 3

x − 2

Exercici 2.3. Calculeu la composici´o dels parells de funcions seg¨uents:

(a) f (x) =

2 x + 3

x + 1

i g(x) =

x − 1.

(b) f (x) = sinh(x^2 − 2) i g(x) = e^1 /x.

Exercici 2.4. Calculeu les inverses de les funcions:

(a) f (x) = 4x − (^7) (b) f (x) =^2 x^ + 5 x − 1

(c) f (x) = ln(x + 1)

Comproveu que f ◦ f −^1 = I i que f −^1 ◦ f = I.

Exercici 2.5. Calculeu el domini i el recorregut de la funci´o f (x) =

2 x + 1. Demostreu que ´es injectiva i determineu la funci´o inversa f − 1 .

Exercici 2.6. Considereu la funci´o definida per:

f (x) = ln

x

1 −

x

Determineu el seu domini i digueu si f ´es injectiva.

Exercici 2.7. Sigui f (x) =

x 2

• 2

sin(x^2 ) + 2

(a) Determineu Dom(f ).

(b) Digueu si f ´es invertible. Indicaci´o: comproveu que f ´es parella.

Exercici 2.8. Considereu la funci´o f (x) = |x^2 − 2 |. Representeu-la gr`aficament i determineu si ´es invertible si la restringim a x ≥ 0.

Exercici 2.9. Considereu la funci´o sinus hiperb`olic

f (x) = sinh(x) =

ex^ + e−x

2

Comproveu que es tracta d’una funci´o injectiva. Calculeu f − 1 i Dom(f − 1 ).

Exercici 2.10. Trobeu un x ∈ R tal que verifiqui les relacions seg¨uents:

(a) ln(1 + x) = ln(1 − x)

(b) ln(1 + x) = 1 + ln(1 − x)

(c) ln(

x +

x + 1) = 1

L´ımit de funcions

Exercici 2.11. Utilitzant la definici´o de l´ımit d’una funci´o en un punt, demostreu que:

lim x→a

(3x + 2) = 3a + 2

Exercici 2.12. Calculeu els l´ımits seg¨uents:

(a) lim x→ 0

x √ 1 + 2x −

1 − 2 x (b)^ xlim→ 0

1 + 2x −

1 − 2 x

−x^2 + 3x + π

Exercici 2.13. Calculeu el l´ımit en x = 2 de la funci´o

f (x) =

(x − 2) sin

x − 2

x < 2

x 2 − 3 x + 2

x − 1

x ≥ 2

Exercici 2.14. Calculeu els l´ımits laterals seg¨uents:

(a) lim x→ 2 −

x − 2

|x − 2 |

(b) lim x→ 2 +

x − 2

|x − 2 |

(c) lim x→ 0 −

x sin x

|x|

(d) lim x→ 0 +

x sin x

|x|

Exercici 2.15. Calculeu els l´ımits seg¨uents:

Exercici 2.21.

Forma indeterminada 1^1 ±∞ ±∞ 1 ±∞. Per tal de resoldre aquest tipus d’indeterminacions, s’utilitza que:

lim x→±∞

x

)x

= e

De fet, si lim x→a

f (x) = ±∞, es compleix:

lim x→a

f (x)

)f (x)

= e

(a) lim x→+∞

x^2

) 2 x

(b) lim x→ 0 +

x^2 + 1

x^3 + x + 1

) 1 /x 2

(c) lim x→+∞

2 x 2 − 5 x + 1

2 x^2 − 1

)x (^2) +2x

(d) lim x→+∞

3 x − 4

3 x + 2

) x^3 x^2 +

Exercici 2.22. Calculeu el valor de a ∈ R per tal que:

lim x→+∞

x + a

x − a

)x

= 4

Infinit`esims equivalents a l’origen (x → 0):

sin x ∼ x (^1) − cos x ∼

x^2

2

tan x ∼ x ex^ − 1 ∼ x

arcsin x ∼ x bx^ − 1 ∼ x ln b

arctan x ∼ x (1 + x)k^ − 1 ∼ kx

ln(1 + x) ∼ x logb(1 +^ x)^ ∼^

x

ln b

Exercici 2.23. Calculeu c ∈ R tal que:

lim x→ 0

cx 3 sin x

(1 − cos x)

2 = ln 2

Exercici 2.24. Calculeu els l´ımits seg¨uents:

(a) lim x→+∞

x 2

• x 3

ln

x^3

(b) lim x→+∞

sin

x + 1

x^2 + 3

ln

x + 3

x^2 + 7

(c) lim x→ 0

(cos x)

1 / sin x

(d) lim x→ 0

ln(1 + x)

2 x^ − 1

(e) lim x→ 0

arcsin (cos x − 1)

[ln (1 + 2x)]

3

(f) lim x→a

sin(x − a)

x^2 − a^2

Exercici 2.25. Calculeu el l´ımit:

lim x→e

ln (ln x)

x − e

Exercici 2.26. Calculeu el l´ımit:

lim x→π

1 + cos x

(x − π)^2

fent el canvi de variable y = x − π. Recordeu que cos(y + π) = − cos y.

Exercici 2.27. Calculeu els l´ımits:

(a) lim x→+∞

x

) 1 /x

(b) lim x→ 0

1 − cos x

arcsin (3x^2 )

(c) lim x→ 0

1 + 3^1 /x

(d) lim x→ 0

5

x + 1

1 −

x + 1

, canvi x + 1 = t^10

(e) lim x→0+

(1 + x)

1 /x

(f) lim x→ 0

|x| x

(g) lim x→ 0

cos

x

(h) lim x→c−

bxc, c ∈ Z

(i) lim x→c+

bxc, c ∈ Z

Exercici 2.28. Donada la funci´o

g(x) =

x − 2

ln(x)

doneu el seu domini i calculeu-ne les as´ımptotes horitzontals i verticals, si en t´e. Doneu

tamb´e l’expressi´o de la seva funci´o traslladada 4 unitats a la dreta.

Exercici 2.29. Donada la funci´o f (x) =

1 x sin^ x^ si^ x <^0 (x − 2)e − 1 /x si x > 0

, estudieu si t´e as´ımptotes

horitzontals i, en cas afirmatiu, trobeu-les.

Exercici 2.35. Considereu la funci´o f (x) =

1 x− (^3) − 1

1 x− (^3) + 1

(a) Trobeu el domini de f.

(b) Estudieu la seva continu¨ıtat i classifiqueu les discontinu¨ıtats, si n’hi ha.

(c) La funci´o ´es cont´ınua per la dreta en tots els punts? Es pot for¸car que la funci´o sigui cont´ınua per la dreta en tots els punts? Com?

Exercici 2.36. Estudieu la continu¨ıtat i classifiqueu els punts de discontinu¨ıtat de les fun-

cions seg¨uents:

(a) f (x) =

|x| x 6 = 0

1 x = 0

(b) f (x) =

x − bxc x ≥ 0 −x − b−xc x < 0

(c) f (x) =

x sin

x

x > 0

0 x = 0

Exercici 2.37. Estudieu la continu¨ıtat de la funci´o:

f (x) =

e−^1 /x

2 x ≤ 1

e − 1 /x(x−2) x > 1

Exercici 2.38. Representeu la funci´o f (t) = sin(t) · u(t − 2 π).

Exercici 2.39. Expresseu la funci´o f (x) = |x − 2 | en termes de la funci´o de Heaviside.

Exercici 2.40. Donada la funci´o

f (x) =

e−^1 /

√ 1 −x (^) si x < 1

sinh(x − 1) si x ≥ 1 ,

estudieu la continu¨ıtat a x = 1 i classifiqueu la discontinuitat, si n’hi ha. Expreseu-la en

termes de la funci´o de Heaviside.

Exercici 2.41. Considereu la funci´o

f (t) =

2 t^2 si 0 ≤ t < 3

t + 4 si 3 ≤ t < 5

9 si t ≥ 5.

(a) Estudieu la continu¨ıtat a t = 3 i t = 5 i classifiqueu les discontinuitats, si n’hi ha.

(b) Expreseu f (t) en termes de la funci´o de Heaviside.

Exercici 2.42. Considereu la funci´o

f (x) =

e^1 /(x−3)^ si x < − 3

(x + 3) cos(x − 3) si − 3 ≤ x ≤ 3

6(x − 3)

sin(x − 3)

si x > 3.

(a) Estudieu la continu¨ıtat a x = −3 i x = 3 i classifiqueu les discontinuitats, si n’hi ha.

(b) Expreseu f (x) en termes de la funci´o de Heaviside.

Exercici 2.43. Donades les equacions seg¨uents indiqueu, orientant-vos gr`aficament, un in-

terval en el qual pugui assegurar-se que existeix alguna soluci´o:

(a) x^3 − 3 x + 1 = 0

(b) x^4 + 2x^2 − x − 1 = 0

(c) x − 1 = sin x

(d) x 3 = arctan x

(e) x^2 + ln x = 0

(f) ex−^1 = 1 x+

(g) ex^ = 2 − x^2

(h) x ln x = 1

Exercici 2.44. Sigui f la funci´o definida per:

f (x) =

x − e−x^ x ≤ 1

1

4 x − x^2 − 5

• a x > 1

(a) Calculeu el valor de a que fa que la funci´o sigui cont´ınua.

(b) Demostreu que la funci´o f t´e un zero en l’interval [0, 1].

Exercici 2.45. Considereu la funci´o f (x) = sin 2 x cos x. Demostreu que f t´e almenys un

punt de tall amb l’eix de les abscisses dins de l’interval

[

π 4 ,^

3 π 4

]

Exercici 2.46. Diem que α ´es un punt fix de la funci´o f (x) si f (α) = α. Suposem que

f : [a, b] → R ´es cont´ınua i f (a) < a, f (b) > b. Proveu que existeix un punt fix de f dins

de l’interval (a, b).

3 Derivaci´o de funcions d’una variable real

Derivada d’una funci´o en un punt. Funci´o derivada

Exercici 3.1. Calculeu, a partir de la definici´o, la derivada de les seg¨uents funcions als punts que s’indiquen.

(a) f (x) = x^2 − 3 x + 4, en x = 1.

(b) f (x) =

3 x − 1

x + 1

, en x = 1.

(c) f (x) =

3 x + 1, en x = 5.

Exercici 3.2. Resoleu els exercicis seg¨uents:

(a) Trobeu els punts en els quals les tangents a la corba y = 3x^4 + 4x^3 − 12 x^2 + 20 s´on paral.leles a l’eix d’abcisses.

(b) Trobeu tots els valors de x pels quals la tangent a la corba y = x −

x

´es paral.lela a

la recta 2 x − y = 5.

(c) Trobeu tots els valors de x pels quals la tangent a la corba y = (x + 2)

2 passa per l’origen.

(d) Sabent que y(3) = − 1 i y′(3) = 5, trobeu l’equaci´o de la recta tangent a la corba y = y(x) en x = 3.

(e) Trobeu l’equaci´o de la par`abola y = x^2 + bx + c (b, c ∈ R) que ´es tangent a la recta y = x en el punt (1, 1).

(f) Trobeu l’equaci´o de la tangent a la corba y = arcsin

x− 1 2

en el punt d’intersecci´o amb l’eix OX.

Exercici 3.3. Considereu la funci´o f (x) =

1 , si − 3 ≤ x ≤ 0 x + 1, si 0 < x ≤ 2 2 x − 1 , si 2 < x ≤ 5

. Trobeu, quan exis-

teixi, la derivada de la funci´o f :

(a) a la dreta de x = −3;

(b) a l’esquerra de x = 5;

(c) en x = 0;

(d) en x = 2.

Exercici 3.4. (Matem`atiques 1. Novembre 2013) Given the function

f (x) =

−x x < 0 √ x x ≥ 0

(a) Find the left derivative of this function at x = 0, that is f (^) −′(0), using the definition of the derivative in term of limits.

(b) Find the right derivative of this function at x = 0, that is f (^) +′(0), using the definition of the derivative in term of limits.

(c) At what points does the tangent line is parallel to the x-axis?

(d) At what points does the tangent line is parallel to the bisectrix of the first quadrant? Find the equation of the tangent line in point-slope form.

Exercici 3.5. (Matem`atiques 1. Novembre 2014) Given the function

f (x) =

x 2 x < 0 0 x = 0

x 2 sin

x

x > 0

(a) Find the left derivative of this function at x = 0, that is f ′ −(0), using the definition of the derivative in term of limits.

(b) Find the right derivative of this function at x = 0, that is f (^) +′(0), using the definition of the derivative in term of limits.

(c) Find the derivative of f (x) when x > 0. Is lim x→ 0 +^

f ′ (x) equal to f 0 +^ (0)? Explain.

Continu¨ıtat i derivabilitat

Exercici 3.6. Hom considera la funci´o f : R → R definida per:

f (x) =

2 ax + 3 x < 1

3 x = 1

x 2 − bx

x + 5

x > 1

Estudieu la continu¨ıtat i derivabilitat de f segons els valors dels par`ametres reals a i b.

Exercici 3.7. Estudieu la derivabilitat de les funcions seg¨uents, indicant el camp de deriva- bilitat. En el cas que existeixi, escriviu l’expressi´o de la funci´o derivada corresponent.

(a) f (x) = x|x| (b) f (x) = bxc sin(2πx) (c) f (x) =

1 − x x ≤ 0 e−x^ x > 0

Exercici 3.11. Calculeu les derivades de les funcions seg¨uents:

(a) f (x) =

x^2 + 3

(b) f (x) = ln

3 x

(c) f (x) = sin (x 2

(d) f (x) = cos (

x)

(e) f (x) = cos

x

(f) f (x) = sin (ln x + 1)

(g) f (x) = sin 3 (3x 2

(h) f (x) = ln (cos(2x + 3))

(i) f (x) =

1 + ln (x^2 + 1)

(j) f (x) = sin (cos (ln x))

Exercici 3.12. Derivada de la funci´o inversa. Calculeu les derivades de les funcions

seg¨uents:

(a) h(x) =

x (b) h(x) = arctan(x) (c) h(x) = arcsin(x)

Exercici 3.13. Calculeu les derivades de les funcions seg¨uents:

(a) f (x) = tan (5 − sin(2x))

(b) f (x) = 3 2 x^2 √ x + (x 2 − 2)

4

(c) f (x) =

x^2 +

x +

x^2

(d) f (x) =

3

x^2 + 1

x^2 − 1

(e) f (x) = arctan (arctan(x))

(f) f (x) = ln

1 + sin(x)

tan(x)

(g) f (x) = tan(3x) + tan(x^3 ) + tan^3 (x)

(h) f (x) = (sin(x^2 ))

2

(i) f (x) =

e−^2 x^ − 1

(j) f (x) =

ln (tan(x))

(k) f (x) =

4 tan^3 x − 32 x

cos (5x − x^3 )

(l) f (x) = (ln (x^4 − 5 x))

5

(m) f (x) = arctan

tan(x) √ 2

(n) f (x) = 3b arctan

x

b

, b 6 = 0

(o) f (x) =

3 cos(x)

ex

2

Exercici 3.14. Derivaci´o logar´ıtmica. Calculeu la derivada de les funcions seg¨uents:

(a) f (x) = x sinh x

(b) f (x) = x x

(c) f (x) = xx+

(d) f (x) = 3^2

x

(e) f (x) = xx^ + ln

e x

• 1

ex^ − 1

Exercici 3.15. Regla de la cadena. Essent f una funci´o de R en R derivable a R, calculeu la derivada de g:

(a) g(x) = f (x 2 )

(b) g(x) = f (x)ef^ (x)

(c) g(x) = f (ln(f (x)))

(d) g(x) = tan((f (x))

2 )

(e) g(x) =

f (x)− 1 f (x)+

(f) g(x) = ef^ (x)+ f (4x)

Valors extrems. Optimitzaci´o

Exercici 3.16. Trobeu les as´ımptotes i els extrems relatius de la funci´o f (x) = 3x +

3 x

x − 1

Exercici 3.17. Determineu els extrems relatius de la funci´o f (x) =

x − x 2

1 + 3x^2

Exercici 3.18. Determineu els punts en qu`e la funci´o

f (x) = e 3 ln(cos(x))

assoleix el valor m`axim i el valor m´ınim en l’interval

[

π

4

π

4

]

Exercici 3.19. Trobeu els extrems absoluts de la funci´o f (x) = x^3 − 3 x en l’interval [0, 2].

Exercici 3.20. Trobeu els extrems relatius i absoluts de la funci´o f (x) =

(x − 1)^2

x + 1

. Ajudeu-

vos de la gr`afica de la funci´o: