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Soluciones problemas tema 2 Estadística 2º de Biología
1. La cuarta parte de una población ha sido vacunada contra una enfermedad infecciosa. En el transcurso de una epidemia de dicha enfermedad, se constata que entre los enfermos hay un vacunado por cada 4 no vacunados. a) ¿Es de alguna eficacia la vacuna? b) Si se sabe que la epidemia ha afectado a uno de cada 12 vacunados ¿cuál es la probabilidad de caer enfermo para una persona no vacunada? Sucesos para una persona elegida al azar: E = enferma V=vacunada a) P(V) = 1/4 P(Vc) = 3/4 P(V/E) = 1/5 P(Vc/E) = 4/ P(E/V) = P(V/E)P(E)/P(V) = 4/5 P(E) Estar vacunado disminuye la probabilidad de caer enfermo b) P(E/V) =1/12 luego P(E) = 5/(4*12) P(E/Vc) = P(Vc/E)P(E)/P(Vc) = 16/15 P(E) = 1/ 2. Una prueba de diagnóstico para un cierto tipo de cáncer tiene una probabilidad 0,96 de resultar positiva si el paciente tiene cáncer; el 95% de las personas sin cáncer dan negativo. Se elige una persona al azar en una población en la que el 0,5% tiene esta enfermedad: Si sabemos que ha dado positivo ¿qué probabilidad hay de que tenga cáncer?
Sucesos para una persona elegida al azar: C = tiene cáncer + = da positivo
Datos: P(+/C) = 0,96 P(+c/Cc) = 0,95 P(C) = 0, P(+) = P(+/C)P(C)+ P(+/Cc)P(Cc) = 0,960,005+(1-0,95)0,995 = 0, P(C/+) = P(+/C)P(C)/ P(+) =0,088 lo que implica que P(Cc/+) = P(+/Cc)P(Cc) /P(+) =0,
3. Supongamos que tenemos 3 tarjetas de las cuales una tiene ambas caras rojas, otra ambas caras blancas y una tercera con una cara blanca y una roja. Se extrae una al azar y se coloca sobre la mesa. Si la cara de arriba es roja ¿cuál es la probabilidad de que la de abajo también lo sea?
Sucesos para la tarjeta extraída: RR = dos caras rojas RB= una cara roja y otra blanca
BB= dos caras blancas R=la cara de arriba es roja Datos: P(RR)=P(RB)=P(BB)= 1/3 P(R/RR)=1 P(R/RB)=1/2 P(R/BB)= P(R) = 1/3 [P(R/RR)+ P(R/RB)+ P(R/BB)]= 1/3 + 1/6 = 1/ Luego: P(RR/R) = P(R/RR)P(RR)/P(R) =2/
4. Se lanzan dos dados equilibrados. Consideremos la variable aleatoria X = suma de los puntos obtenidos. Calcular su función de masa y la E(X).
0,
0,
0,
0,
0,
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(X=x)
valores de X
P(X=x)
2 1/ 3 2/ 4 3/ 5 4/ 6 5/ 7 6/ 8 5/ 9 4/ 10 3/ 11 2/ 12 1/ E(X) 7
5. Suponiendo que la probabilidad de que un niño que nace sea mujer es 0,49, hallar la probabilidad de que una familia de 6 hijos tenga a) por lo menos una niña, b) por lo menos un niño, c) por lo menos un niño y una niña. Consideremos X = nº de niñas en 6 hijos, sigue una distribución Binomial (p=0,49; n=6) a) P(X≥1) = 1- P(X=0) = 1-0,51^6 = 0, b) P(X≤5) = 1- P(X=6) = 1-0,49^6 = 0, c) P(1≤X≤5) = 1- P(X=0) - P(X=6) = 0, 6. Una compañía de seguros con 10000 asegurados halla que el 0,005% de la población fallece cada año de un cierto tipo de accidente. a) Hallar la probabilidad de que la compañía tenga que pagar a más de tres asegurados, por dicho accidente, en un año determinado. b) ¿Cuál es el número medio de accidentes por año?
Consideremos X = nº de accidentes entre 10.000 asegurados en un año X sigue una distribución B(p=0,00005; n=10.000) que aproximaremos por una Poisson (=0,5) a) P(X>3) = 1- P(X=0)- P(X= 1 )- P(X= 2 )- P(X=3) = 1 - 0,607- 0,303 - 0,076- 0,013 = 0, b) E(X) = 0,5 (un accidente cada dos años)
7. La probabilidad de que un individuo tenga una reacción alérgica al inyectarle un suero es 0,001. Hallar la probabilidad de que entre 2000 individuos tengan reacción alérgica: a) exactamente tres, b) más de 2. Consideremos X = nº de reacciones alérgicas entre 2000 personas inyectadas X sigue una distribución B(p=0,001; n=2.000) que aproximaremos por una Poisson (=1) a) P(X=3) = 0, b) P(X>2) = 1- P(X=0)- P(X= 1 )- P(X=2) = 1- 0,368 - 0,368 - 0,184 =0, 8. En 1969 se descubrió que los faisanes de Montana (Estados Unidos) padecían una apreciable contaminación por mercurio debida a que habían comido semillas tratadas para su crecimiento con metilo de mercurio. Se sabe que el nivel de mercurio (medido en ppm) de un faisán seleccionado aleatoriamente en la población es una variable aleatoria con distribución
N( =0,25; =0,10).
(a) Calcula la probabilidad de que, al seleccionar aleatoriamente un faisán de la población, su nivel de mercurio supere 0,30 ppm. (b) Si se seleccionan aleatoria e independientemente 100 faisanes, calcula la probabilidad de que al menos 45 de ellos tengan un nivel de mercurio superior a 0,25 ppm. (c) Si se seleccionan aleatoria e independientemente cuatro faisanes, calcula la probabilidad de que su nivel medio de mercurio sea superior a 0,30 ppm.
(a) Sea X = ppm de mercurio en un faisán que elegiremos al azar sigue una N(= 0 ,25; = 0 ,10) P(X>0,3) = P(Z>(0,3-0,25)/0,1 = 0,5) = 0, 30854 (b) Sea N= nº de faisanes entre 100 elegidos al azar que tienen más de 0,25 ppm de mercurio. N sigue una B(p=P(X>0,25)=0,5 , n=100) que aproximaremos por una N(=50; =5) P(N>45) ≈ P(Z> 1) = 0, (c) Ahora la media de mercurio en 4 faisanes elegidos al azar seguirá una N(= 0 , 25 ; = 0 ,10/√ 4 =0,05) Luego : P(el mercurio medio de 4 faisanes>0,3) = P(Z>(0,3-0,25)/0,05= 1) = 0,
Calcular la probabilidad de que un caracol de jardín elegido al azar recorra menos espacio en una hora que un caracol romano. X=velocidad de un caracol común Y= velocidad de un caracol romano Y-X sigue una N(=8; =√50=7,07) P(X<Y) = P(Y-X>0)=P(Z>-8/7,07= - 1,13) = 1 - 0,12924 =0,
13. Se sabe que los niveles de triglicéridos (en mg/dL) en una población, tanto para los hombres como para las mujeres, tienen distribución normal. Para los hombres la distribución es
N( =100; =30), y para las mujeres la distribución es N( = 90; = 25).
(a) Seleccionando un hombre al azar ¿cuál es la probabilidad de que su nivel de triglicéridos sea inferior a 130 mg/dL? (b) Si se seleccionan aleatoria e independientemente un hombre y una mujer ¿cuál es la probabilidad de que el nivel de triglicéridos de la mujer sea superior al del hombre? X=nivel de triglicéridos en una mujer Y= nivel de triglicéridos en un hombre Y-X sigue una N(=10; =√1525=39,05) P(X>Y) = P(Y-X<0)=P(Z<- 10 /39,05= - 0,26) = 0, 39743
14. La concentración de ácido úrico en sangre (mg/dl) en la población de pacientes con
síndrome de apnea-hipopnea durante el sueño (SAHS) sigue una distribución normal, N( =6,30;
Se recomienda que la concentración de ácido úrico se mantenga por debajo de 7,20 mg/dl ya que por encima de ese valor, comienzan a surgir problemas (cálculos renales, gota, etc.). (a) Calcula el porcentaje de pacientes de la población anterior, cuya concentración de ácido úrico se mantiene por debajo de 7,20 mg/dl. (b) Si se seleccionan 50 pacientes al azar en esa población, calcula la probabilidad aproximada de que más de 30 de ellos tengan un nivel de ácido úrico aceptable (por debajo de 7,20 mg/dl). Similar a otros anteriores
15. La variable X= tiempo de vida activa (en días) de un plaguicida, viene representada por la función de densidad:
Calcular la mediana del tiempo de vida activa ¿Cuál es su significado?
La mediana será aquel valor M de X tal que P(X<M) = P(X>M) = ½ = e-M
Despejando M= Log(2)/ En este caso =1/500 M = 346,57 días
16. La variable aleatoria X=Tiempo transcurrido (en horas) hasta el fallo de una pieza, tiene función de densidad:
a) Calcular el tiempo medio transcurrido hasta el fallo. b) Calcular el porcentaje de piezas que duran entre 10000 y 15000 horas.
En este caso =1/ 15000 Sabemos que E(X) = 1/= 15.
P(10000 <X<15000) = e-10/15^ - e-^1 = 0,1455 El 14,55%
