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Matem`atiques II
Curs 2022-
TEMA 1. Teoremes b`asics
M´etodo de los multiplicadores de Lagrange. Condici´on necesaria.
Teorema 1 Sean f, g 1 ,... , gm: U ⊆ Rn^ −→ funciones escalares definidas en un conjunto abierto U , con derivadas parciales primeras continuas y m < n. Sea el programa
Optimizar f (x 1 ,... , xn)
sujeta a
g 1 (x 1 ,... , xn) = b 1 .. . gm(x 1 ,... , xn) = bm
Si x∗^ = (x∗ 1 ,... , x∗ n) ∈ U es un ´optimo local del problema y los vectores ∇gi(x∗), i = 1,... , m, son linealmente independientes, entonces existe λ∗^ = (λ∗ 1 ,... , λ∗ m) tal que (x∗, λ∗) es un punto estacionario o cr´ıtico de la funci´on de Lagrange asociada al problema
L(x 1 ,... , xn; λ 1 , · · · , λn) = f (x 1 ,... , xn) −
X^ M i=
λi · (gi(x 1 ,... , xn) − bi).
M´etodo de los multiplicadores de Lagrange. Condici´on suficiente.
Teorema 2 Sean f, g 1 ,... , gm: U ⊆ Rn^ −→ funciones escalares definidas en un conjunto abierto U , con derivadas parciales segundas continuas y m < n. Sea el programa
Optimizar f (x 1 ,... , xn)
sujeta a
g 1 (x 1 ,... , xn) = b 1 .. . gm(x 1 ,... , xn) = bm
Si (x∗, λ∗) = (x∗ 1 ,... , x∗ n; λ∗ 1 ,... , λ∗ m) es un punto estacionario o cr´ıtico de la funci´on de Lagrange asociada al problema, entonces:
- Si la forma cuadr´atica cuya matriz asociada es la matriz hessiana de la funci´on de Lagrange respecto de las variables (x 1 ,... , xn) es definida positiva respecto de los vectores p = (p 1 ,... , pn) ∈ Rn^ que verifican que ∇gi(x∗) · p = 0 ∈ Rm, entonces el punto x∗^ es un m´ınimo local escricto del problema restringido.
- Si la forma cuadr´atica cuya matriz asociada es la matriz hessiana de la funci´on de Lagrange respecto de las variables (x 1 ,... , xn) es definida negativa respecto de los vectores p = (p 1 ,... , pn) ∈ Rn^ que verifican que ∇gi(x∗) · p = 0 ∈ Rm, entonces el punto x∗^ es un m´aximo local escricto del problema restringido.
