¡Descarga subespais vectorials y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!
Tema 6
Subespais Vectorials
6.0. - Introducció.
Sovint no convé considerar tots els objectes d’un espai vectorial, sinó només els pertanyents a un cert subconjunt. Per exemple: de totes les possibles distribucions de corrents elèctrics en una xarxa, només les que compleixin la 1ª llei de Kirchoff; de tots els estats d’un sistema de control, només els que siguin realment possibles, ateses les condicions inicials i les funcions de control disponibles.
Per tal d’aplicar les nostres tècniques, cal que aquest subconjunt sigui també un espai vectorial (amb les mateixes operacions de l’espai ambient), en quin cas s’anomena un “subespai vectorial” del total. Per exemple, en 3 , ho son les rectes i plans per l’origen, però no pas les que no hi passen, ni tampoc altres figures com esferes, cons, etc.
Dues son les formes més habituals de determinar un subespai: per les equacions que caracteritzen els vectors que hi pertanyen; o be per una seva base. Així, la bisectriu del 1r i 3r quadrant de 2 podem dir que es formada pels punts del pla que:
- verifiquen l’equació x = y
- són múltiples del (1,1).
Analitzarem amb detall (dimensió, bases,...) aquestes dues formes de presentació. Finalment estudiarem com a partir d’uns certs subespais vectorials se’n poden obtenir d’altres per intersecció,...
6.1, ... , 6.3. - Subespais vectorials. Bases adaptades.
Def. – Essent E espai vectorial, i F E :
(1) F subespai vectorial de E F també és espai vectorial (amb les mateixes operacions).
(2) bases adaptades són les que (reordenant, si cal): base F : u (^) 1 ,, ud base E : u (^) 1 , , ud , ud 1 ,, un
Exemples –
(1) Els trivials: 0 , E
(2) Podem considerar subespai vectorial de 2 , 2 de 3 , ... , identificant: x = ( x ,0) , ( x,y ) = ( x,y ,0) , ...
(2’) Anàlogament:
K K^2 K^3 Kn
(2”) Considerem 2 subespai vectorial de 3 , com a la figura. Aleshores: v 1 (^) v 2 v 3 és una base adaptada v 1 (^) v 3 v 4 no ho és
(3) Els polinomis de grau creixent formen una cadena de subespais vectorials dins l’espai vectorial de tots els polinomis: K (^) 0 t K 1 t K 2 t K t
(4) Dins l’espai vectorial de les funcions reals d’una variable, podem considerar successivament els subespais de les contínues, derivables, etc.:
f : R R C^0 ( R ) C^1 ( R ) C ( R )
Obs. –
(1) S’anomenen rectes i plans, respectivament, els subespais vectorial de dimensió 1 i 2. Igualment, s’anomenen hiperplans els de dimensió n 1.
(2) Una de les avantatges d’emprar bases adaptades és que els vectors del subespai queden caracteritzats per tenir les darreres coordenades nul·les. Concretament, en les condicions de la definició anterior:
és a dir:
v 1 1 n n ^ F d 1 n 0
(3) Les bases adaptades es generalitzen, reiterant, a cadenes F 1 (^) F 2 E. Per
exemple:
( e 1 (^) , e 2 ,)és una base adaptada a la cadena (2’). ( 1 , t , t^2 ,)ídem a la (3).
Prop. – E espai vectorial, F E :
- per equacions
- per generadors
Obs. – Construcció de bases adaptades
(1) Recordem que, per obtenir una base de E mitjançant ampliació d’una de F , els vectors addicionals poden triar-se d’entre els d’una altra base donada de E :
(1’) Per exemple, en E R 2 t , una base de F P ( t ): P ( 1 ) P ( 1 ) 0 és t^2 1.
Ampliem-la a una base adaptada, afegint polinomis de la base ( 1 , t , t^2 ):
Per tant: Si : ( t^2 1 ), 1 , t
No : ( t^2 1 ), 1 , t^2
(2) Es generalitza a una cadena F 1 (^) F 2 E :
Matlab/Octave.- Recordem que els índex de les columnes pivot d’una matriu A són els que figuren al vector jb, éssent: [R,jb] = rref(A).
6.4, ... , 6.8. - Subespais definits per equacions.
Prop.- Essent E un espai vectorial, suposem ( u (^) 1 ,, un ) una base x (^) 1 ,, x n les coordenades corresponents
Considerem les solucions d’un sistema d’equacions lineals homogènies:
1 x n
x F x E A , A Mm n ( K )
i sigui r = rang A. Aleshores:
(1) F és un subespai vectorial.
(1’) De fet, tot subespai vectorial pot expressar-se d’aquesta forma, com conjunt de solucions d’un sistema lineal homogeni.
(2) dim F = n – r ( = grau d’indeterminació del sistema d’equacions)
(3) Tota base està formada per: n – r solucions l.i.
(3’) Una forma sistemàtica de trobar-ne és:
- seleccionem n – r variables independents (p. ex.: les que no corresponen a columnes pivot)
- els hi assignem successivament valors ( 1 , 0 ,, 0 ),( 0 , 1 , 0 ,), ...
(3) En E = 5 , sigui:
F =
x^5 :
1 2 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
x x x x
x x x x x
x x x x x
És a dir, F = Nuc A , amb:
Per tant:
rang A = 2 dim F = 5 - 2 = 3
(3’) Una base estarà formada per 3 solucions l.i.:
variables dependents: x 1 , x 3 variables independents: x 2 , x 4 , x 5
el sistema inicial és equivalent a
3
1 2 4 5 x
x x x x
Assignem valors l.i. a les variables independents, i els que resultin en cada cas per a les dependents:
2 4 5 1 3
2 4 5 1 3
2 4 5 1 3
x x x x x
x x x x x
x x x x x
Per tant, una base és:
3
2
1
u
u
u
(4) En E M 2 ( R ), considerem F el subconjunt de les matrius simètriques:
Prenent
d
c
b
a
c d
a b b c c d
a b F A
= Nuc^ A
Per tant, F és un subespai vectorial de E , amb:
- dim F = dim E – rang A = 4 – 1 = 3
- base: 3 matrius simètriques l.i.
per exemple: (^)
(4’) Considerem ara G E , G matrius simètriques, amb traça nul·la .
De manera anàloga al cas anterior tindrem:
' (^) d
c
b
a
c d
a b a d
b c c d
a b G
A
= Nuc A’
- dim G = dim E – rang A’ = 4 – 2 = 2
- base: (^)
(4’’) Observeu que G F , però la base (4) no és adaptada a G.
Una base de F adaptada a G seria: (^)
(5) En E R 3 t , considerem F P ( t ) E : P ( 1 ) P ( 2 ) 0 .
Procedint com abans:
a b c d
a b c d F a bt ct dt
- dim F = dim E - rang (^)
- base: t ( t 1 )( t 2 ),( t 1 )( t 2 ) o també: ( t 1 )( t 2 )( t ),( t 1 )( t 2 )( t )
Obs. – Més en general, un subconjunt F E és un subespai vectorial si ve determinat per “condicions lineals homogènies”. Així:
E ( x 1 ,, xb ) b
és un espai vectorial sobre K (= o ℂ ) i F està format per les solucions del sistema d’equacions determinades per la llei de conservació:
(LCF’) en cada nus: (^) xi 0
on el sumatori afecta a les branques incidents en el nus corresponent, amb signe positiu per les que hi arriben i negatiu per les que en surten. Així, per la xarxa anterior:
4 5 6
2 3 6
1 2 5
1 3 4
x x x
x x x
x x x
x x x
és a dir, F = Nuc A , amb
A
En general, F serà de la forma
F x E : Ax 0 KerA A M nxb ( )
Per tant, segons hem vist, F serà un subespai vectorial amb
dim F b rangA
(2’) El sistema és homogeni degut al supòsit que no hi ha intercanvis amb l’exterior. Altrament, aquests intercanvis apareixerien al segon terme de LCF’, de manera que els termes independents representarien les entrades/sortides externes en cada nus.
(3) És fàcil veure que la suma de les files de A és sempre nul·la, de manera que podem prescindir d’una de les equacions i rangA n.
De fet es pot demostrar (vegeu (5.2)) que
rangA n 1
i per tant, segons (1)
dim F b ( n 1 ) m
(4) Finalment, una base de F la formen les “circulacions unitàries de malla”: per cada malla, s’hi considera un flux circular unitari, essent nul en les altres branques. Per exemple, en la xarxa que venim considerant:
3
2
1
u
u
u
És clar que aquestes configuracions de flux compleixen la llei de conservació LCF i per tant pertanyen a F.
Essent el seu nombre igual a la dimensió de F , és suficient raonar que són l.i., la qual cosa podem fer empíricament: si una seva combinació lineal és nul·la, es evident que els coeficients de les malles perifèriques han de ser 0; d’altra banda és igualment obvi que els coeficients de malles adjacents han de ser iguals, per tal que sigui nul·la la circulació per la branca que les separa; en definitiva, tots els coeficients de la combinació lineal ha de ser 0.
(4’) Les coordenades ( y 1 (^) ,, ym ) en aquesta base són els “fluxos de malla” (= flux
circular constant en la malla corresponent, nul en la resta), la superposició dels quals dona la configuració total.
Observem que, per una configuració verificant LCF (és a dir, pertanyent a F ), el flux en cada branca pot expressar-se fàcilment com combinació lineal d’aquests fluxos de malla. Per exemple, en el cas considerat
3 3
2 2
1 1
x y
x y
x y
6 2 3
5 1 2
4 1 3
x y y
x y y
x y y
(5) Anàlisi de circuits elèctrics: lleis de Ohm i de Kirchoff.
Podem emprar aquesta base per continuar l’estudi del flux de la xarxa: restriccions addicionals, aportacions externes, etc. Il·lustrem-ho per al cas de corrents elèctrics.
(5.1) En l’anàlisi de circuits elèctrics en règim permanent es consideren en principi 2b incògnites: el corrent i la caiguda de tensió en cada branca. Tanmateix, la llei de Ohm (proporcionalitat entre aquestes dues magnituds en cada branca; la raó s’anomena “resistència” o “impedància” de la branca, segons es tracti respectivament de corrents continus o alterns, i representa el consum), permet considerar només els corrents.
(1) Amb aquesta notació, podem re-escriure la condició de “generadors”:
v 1 (^) , , v s generen E v (^) 1 ,, vs E
(1’) En particular, tot subespai pot presentar-se per generadors:
( u 1 (^) , , ud ) base de F F u 1 ,, ud
(2) Si A Mm n ( K ), com justificarem més endavant, direm imatge de A al subespai
generat per les seves columnes:
Im A columnes deA Km
(2’) Així, amb aquesta notació:
Ax = b és un sistema compatible b Im A
Exemple –
(1) En E = 3 , per als vectors des la figura:
1 3 4 1 2 3 4 3
1 2 1 2 3 , , , , ,
v v v v v v v R
v v v v v
(2) En E Mn ( R ), les matrius
1 2
n
D D D
generen el subespai:
D (^) 1 ,, Dn matrius diagonals
(3) En E R 2 t , per als polinomis de la figura resulta:
P P P E
P P Pt E P
P Pt E P P
1 2 3
1 2
1
Aplicació – Estats assolibles en un sistema de control
Considerem un sistema discret de control lineal en n^ (= el conjunt dels estats x ), amb m controls externs u 1 (^) , , um :
x ( k 1 ) Ax ( k ) Bu ( k ); A Mn , B Mn m
on k = 0, 1, ... , indica els successius passos (= períodes de temps, iteracions, vèrtex, ...). Per cada pas k , x ( k ) n^ és el valor de l’estat i u ( k ) m^ el control aplicat.
(1) L’equació del sistema determina l’estat en k +1 a partir de l’estat x(k) i el control u(k) en el pas anterior. Per tant, ens permet calcular l’estat actual si coneixem l’estat inicial i els successius controls aplicats fins ara; en general, tota la trajectòria (o successió) d’estats, si coneixem l’estat inicial i tota la seqüència de controls.
(1’) Per exemple, considerem
A b x 0
Amb controls constants u ( k ) 1 , tindrem:
1
k x x x xk
Amb controls u ( k ) 2 k ^1 :
k^ k x x x xk
En general:
u u x
u x x
2
1 2 1 x k
x k k^ u k u uk uk
(1’’) Notem que, qualssevol que siguin els controls u ( k ) aplicats, només apareixen
punts de la forma ( x 1 , 0 ). Qualssevol d’aquests poden assolir-se amb diversos controls. Per exemple:
en 1 pas ( k = 1): si u ( 0 ) x 1 en 2 passos ( k = 2): si 2 u ( 0 ) u ( 1 ) x 1
on K ( A , B ) s’anomena la matriu de controlabilitat. És a dir, si escrivim B ( b 1 ,, bm ):
F b 1 , , bm , Ab 1 ,, Abm ,, An ^1 b 1 ,, An ^1 bm
(3’) En particular, un sistema es diu controlable si tot estat és assolible (des de 0, en algun pas, amb algun control). Segons acabem de veure:
sistema controlable rangK ( A , B ) n
(3’’) Aquests resultats (3) i (3’) es generalitzen a sistemes continus, constituint teoremes clau de la Teoria de Control Lineal.
(4) Si només disposem del primer control u 1 (^) ( k ), és a dir, si u 2 (^) ( k ) um ( k ) 0 ,
aleshores el conjunt de punts assolibles es redueix a:
F 1 punts assolibles des de 0, amb només el control u 1 ( k ) =
b 1 , Ab 1 , A^2 b 1 , , An^ ^1 b 1 Im K ( A , b 1 )
i anàlogament per un control j -èsim qualsevol o per diversos controls no nuls.
(4’) Detallant pas a pas:
0 F j ( 0 ) Fj ( 1 ) Fj ( n ) Fj ( n 1 ) Fj n
i anàlogament per diversos controls no nuls.
Prop. – Donats v 1 (^) , , vs E :
(1) F v 1 , , vs E és un subespai vectorial.
(2) La seva dimensió és el nombre màxim de vectors l.i.:
dim F rang ( v 1 vs ).
(2’) Recordem que si coneixem una base de E aquest rang r pot calcular-se pivotant la matriu dels vectors:
(2”) En particular:
dim Im A rangA.
(3) Aleshores, una base de F és formada pels vectors corresponents a les columnes pivot (o més en general, una de cada esglaó, que no hi tingui un 0).
(3’) Altres bases poden obtenir-se a partir de les de (3) per pivot de columnes.
(4) La pertinença a F d’un vector v E queda caracteritzada per:
v v 1 , , vs rang ( v 1 ,, vs , v ) rang ( v 1 ,, vs )
(5) Més en general, en les condicions de (2’), les equacions de F poden determinar-se afegint en el pivot (2’) una columna de variables x (^) 1 , , xn , i igualant a 0 les expressions que resultin per sota de la fila r.
Exemples –
(1) Considerem, per
F v 1 , v 2 , v 3 ; v 1 ( 1 , 0 , 0 ), v 2 ( 1 , 1 , 1 ), v 3 ( 4 , 2 , )
1 2 3
v v v
(1.1) Si 2 , és dim F 3 i per tant F ^3. Si 2 :dim F 2
(1.2) Si 2 , una base de F és formada per les columnes pivot: ( v 1 , v 2 ).
També podem prendre: ( v 1 , v 3 )
Aplicació.- Controlabilitat de sistemes.
Recordem que un sistema es diu controlable si tot estat és assolible. Abans hem descrit el conjunt d’estats assolibles com Im K ( A,B ), o bé l’anàleg amb només les columnes de B corresponents als controls actius. Podem, doncs, aplicar la proposició anterior.
(1) Considerem el sistema discret de control:
x ( k 1 ) Ax ( k ) Bu ( k ), A B
(1.1) Amb les notacions anteriors:
K A B
dim F = rang K(A,B) = 3
Per tant F ^3. És a dir, el sistema és controlable.
(1.2) Si detallem pas a pas:
dim F ( 1 ) 2 , dim F ( 2 ) 3
Per tant, tot estat és assolible des de x 0 (^) 0 en només 2 passos.
(2) Amb només el control u 1 (^) ( k ):
(2.1) El sistema no és controlable amb només u 1 ja que:
dim 2 0 0 0
K Ab F
(2.2) Una base de F 1 és:
O també:
Segons (3’), podem simplificar-les:
(2.3) Aplicant (4) i (5) de la proposició anterior:
El punt 0 , 1 , 2 no és de F 1 ja que:
Més en general, podem obtenir les equacions de F 1 :
Per tant: F 1 x z 0
Observem que, en efecte, el punt 0 , 1 , 2 no verifica aquesta equació, però sí els vectors de les bases trobades abans.
(3) Anàlogament, amb només el control u (^) 2 ( t )obtindríem:
0 1 2 8
2 Im
F y z
Obs. –
(1) De la definició resulta:
v 1 (^) , , vs és el menor subespai que conté els vectors v 1 (^) , , vs.
(1’) Es generalitza fàcilment a subconjunts V E , no necessàriament finits, considerant les combinacions lineals finites (!) dels seus vectors:
V 1 v 1 s vs ; s N , vi V , i K
