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Tipo: Apuntes
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Gestión Aeronáutica: Estadística Teórica Facultad Ciencias Económicas y Empresariales Departamento de Economía Aplicada Profesor: Santiago de la Fuente Fernández
Gestión Aeronáutica: Estadística Teórica Facultad Ciencias Económicas y Empresariales Departamento de Economía Aplicada Profesor: Santiago de la Fuente Fernández
En el mundo real hay fenómenos regidos por leyes determinadas, es decir, bajo condicionadas dadas. El resultado es previsible, salvo quizás por errores de medida; estos fenómenos denominan fenómenos deterministas , un ejemplo de ellos puede ser la caída de un objeto desde determinada altura.
Frente a estos fenómenos existen otros muchos que no siguen unas leyes determinadas. Un fenómeno o experimento se dice aleatorio si puede dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser posible decir con certeza los resultados del mismo.
Los fenómenos aleatorios aparecen en muchas disciplinas científicas. Por ejemplo, en Mercadotecnia interesan las cantidades de cierta mercancía vendidas en días sucesivos; en Física se detecta la presencia de ruidos térmicos en un circuito eléctrico; en Control de Calidad interesa el número de ítems defectuosos producidos por cierta máquina; en Medicina el número de pacientes curados por cierto fármaco, etc.
Al describir un experimento aleatorio es esencial especificar qué aspecto del resultado interesa observar, es decir, cuál es el criterio para considerar dos resultados como diferentes. Esta especificación se logra mediante el espacio muestral.
ESPACIO MUESTRAL.- Dado un experimento aleatorio, el conjunto cuyos elementos son los posibles resultados diferentes (que se desean considerar diferentes) del mismo, se conoce como espacio muestral asociado al experimento aleatorio, se denota por .
Se presentan diversos tipos de espacios muestrales:
a) En el lanzamiento de un dado se puede tomar como espacio muestral:
b) En el experimento aleatorio que describe el número de automóviles que cruzan un
Atendiendo al número de resultados posibles de un experimento aleatorio se pueden establecer los siguientes tipos de espacios muestrales:
a) Espacios muestrales finitos: Son aquellos que tienen un número finito de elementos, como puede ser la tirada de un dado.
b) Espacios muestrales infinitos numerables: Son aquellos en los que tiene un número infinito de elementos y puede ponerse en correspondencia biunívoca con los números naturales, como pude ser el número de automóviles que pasan por el puente de peaje.
c) Espacios muestrales infinitos no numerables: Son aquellos en los que tiene un número infinito de elementos y no puede ponerse en correspondencia con los números
PROPIEDADES DE LA UNIÓN e INTERSECCIÓN DE SUCESOS:
Conmutativas
Asociativas
Distributivas
Elemento neutro
para la unión : A A para la intersección : A A
ÁLGEBRA DE BOOLE: Sea M un conjunto cualquiera, la clase de sus subconjuntos que verifica las condiciones de contener a M, estabilidad para las operaciones de unión y complementación de subconjuntos de M , recibe el nombre de álgebra de Boole.
Sea C(M) una clase de subconjuntos de M, se dice que C(M) es un álgebra de Boole
si verifica:
a) M C(M) b) Si A, B C(M) A B C(M) c) Si A C(M) A C(M)
Sea el conjunto que es el espacio muestral y una clase formada por los sucesos que son subconjuntos de , verificando:
a) C( ), ya que Ω es un suceso, el suceso seguro
b) Si A, B C( ) A B C( ) es otro suceso
c) Si A C( ) A C( ) es otro suceso
La clase formada por los sucesos de un experimento aleatorio tiene estructura de álgebra de Boole, a ésta se la llama álgebra de Boole de sucesos y se denota por
En el caso de que el espacio muestral sea infinito (numerable o no numerable), se considera una estructura más amplia, que es la σ - álgebra de sucesos, y en la que la
diferencia esencial con el álgebra de sucesos es que la unión infinita numerable de sucesos es otro suceso.
Es decir, la clase de sucesos es un σ - álgebra sí
a)
b) Si A A
c) (^) (^) i (^) i i i 1
Si A A
A la terna ( , , P) se le llama espacio probabilístico asociado a un experimento
aleatorio.
Una variable aleatoria es una función definida sobre el espacio muestral (conjunto
de resultados de un experimento aleatorio) que toma valores en el cuerpo de los números reales , es decir:
: ( )
Una variable aleatoria puede ser discreta o continua según sea el rango de esta función.
En términos matemáticos con rigor, dado un espacio probabilístico ( , , P) asociado a
un experimento aleatorio, una función : es una variable aleatoria si x
FRECUENCIA DE UN SUCESO: El objetivo es definir sobre el álgebra de Boole de sucesos una función que indique una medida de la certeza o incertidumbre en la
ocurrencia de los sucesos del experimento aleatorio.
Dado un suceso A , esto es, un suceso perteneciente al álgebra de sucesos de un
experimento aleatorio, la frecuencia absoluta del suceso A en una serie de n repeticiones similares del experimento, se denota por n .A
La frecuencia relativa del suceso A es la frecuencia absoluta dividida por el número de veces que se realiza el experimento, denotándose por fA :
A A A
0 f 1 n f f 1 n f 0
para cualquier suceso suceso seguro suceso imposible
Si dos sucesos A y B son incompatibles, A B , siendo n (^) Ala frecuencia absoluta de A
y nB la frecuencia absoluta de B, se tiene que la frecuencia absoluta de A Bes
nA (^) B nA nB, teniendo: A B A B A B A B A B
n n n n n f f f n n n n
Es decir, fA (^) B fA fB si A B
PROBABILIDAD: Dado un experimento aleatorio, con espacio muestral y álgebra de sucesos asociada , la probabilidad se define como una aplicación del álgebra de
P(A B) P(A) P(B) A, B con A B
Consecuencias de los Axiomas:
A^ A
f 1 f
INDEPENDENCIA: Los sucesos A, B son independientes sí P(B / A) P(B)
Es decir,
La expresión P(A B) P(A). P(B)se toma como definición de independencia.
Para tres sucesos A, B, C la definición analítica es que sean independientes dos a
dos y luego los tres juntos, esto es, que se verifiquen las relaciones:
P(A B) P(A). P(B) P(A C) P(A). P(C) P(B C) P(B). P(C)
P(A B C) P(A). P(B). P(C)
siguientes:
n i 1 i i j
A A i j i, j 1, 2, , n
Esto es, la unión de todos ellos es el suceso seguro y son incompatibles dos a dos.
Un conjunto de sucesos con estas dos propiedades recibe el nombre de sistema completo de sucesos.
que P(A )i 0 i. El Teorema de la Probabilidad Total establece que:
n i i i 1
En efecto, B B siendo
n i i 1
n n i i i 1 i 1
n n n i i i i 1 i 1 i 1
Como (^) i i i i i i
P(B / A ) P(B A ) P(A ). P(B / A ) i P(A )
n n i i i i 1 i 1
P(B) P B A P(A ). P(B / A ) i
TEOREMA DE BAYES: Con las mismas condiciones que el teorema de la probabilidad total, se desea conocer la probabilidad de que habiendo ocurrido el suceso B la causa que lo produzca sea el suceso A j , es decir, se desea calcular P(A / B)j
El teorema de Bayes establece que (^) j (^) n j^ j
i i i 1
En efecto,
j j
y (^) j j j j j j
se tiene, (^) j j^ j^ j^ n j^ j
i i i 1
Combinaciones de m elementos tomados de n en n: Es el conjunto de todas las disposiciones que se pueden formar tomando n elementos entre los m , con la condición que dos disposiciones serán distintas sí y sólo sí están formadas por elementos distintos, es decir, no se tiene en cuenta el orden de los elementos en la disposición.
m, n
m (^) m! C n n!. (m n)!
donde m! m. (m 1). . 3. 2. 1
Variaciones de m elementos tomados de n en n: Es el conjunto de todas las disposiciones que se pueden formar tomando n elementos de entre los m elementos, con la condición de que dos disposiciones serán distintas si están formadas por elementos distintos o si los elementos están dispuestos en orden distinto dentro de la disposición, esto es, se tiene en cuenta el orden de los elementos en la disposición.
V m, n m. (m 1). (m 2). . (m n 1)
Permutaciones de m elementos: Es un caso particular de las variaciones, son variaciones de m elementos tomados de m en m.
P m Vm, m m! m. (m 1). (m 2). . 3. 2.
Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n: Es el conjunto de todas las disposiciones distintas que se pueden formar tomando n elementos entre los m elementos, en los que eventualmente pueden aparecer elementos repetidos, con la condición de que dos disposiciones serán distintas si tienen distintos elementos o están situados en distintos lugares, esto es, se tiene en cuenta el orden de los elementos en las disposiciones.
n n Vm m
Gestión Aeronáutica: Estadística Teórica Facultad Ciencias Económicas y Empresariales Departamento de Economía Aplicada Profesor: Santiago de la Fuente Fernández
1T. Demostrar que si los sucesos A y B son independientes, entonces sus complementarios también son independientes.
Solución:
Como A y B son independientes P(A B) P(A). P(B)
P(A B) P(A B) 1 P(A B) 1 P(A) P(B) P(A B) 1 P(A) P(B) P(A B) 1 P(A) P(B) P(A). P(B) 1 P(A). 1 P(B) P(A). P(B)
2T. Sean A, B y C son tres sucesos tales que A B
¿ P (A B) / C P(A / C) P(B / C)?
Solución:
P (A B) C P (A C) (B C P(A C) P(B C) P(A B C) P (A B) / C P(C) P(C) P(C)
3T. Sean los sucesos A y B tales que P(A) 1/ 3 y P(B/ A) 1/ 3. Determinar si se
cumple:
a) A y B son independientes b) A B
c) A B
d) P(A / B) 2 / 3
Solución:
a)
Para reflejar la imagen, sea el experimento aleatorio consistente en extraer una bola de una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. El espacio muestral (^) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .
Sean los sucesos A 1, 2, 3 y B 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
P(A B) P(A). P(B) dado que x
A y B no son independientes.
b)
c) A B observando los sucesos A y B
d)
A 4, 5, 6, 7, 8, 9, B 1, 2 , A B
4T. Sean los sucesos A y B, demostrar si son ciertas las igualdades:
a) P(A / B) P(A / B)
b) P(A / B) P(A / B) 1
c) P(A / B) P(A / B) 1
Solución:
a) Se define el espacio muestral 1, 2, 3, 4, 5, 6 , pudiendo pensar que cada suceso
elemental i-ésimo se corresponde con la cara que se obtiene al lanzar un dado.
Sean los sucesos A 1, 2 y B 3, 4
A B A (^) 3, 4, 5, 6 B (^) 1, 2, 5, 6 A B (^) 5, 6 A B 1, 2
b)
c)
5T. Demostrar que dos sucesos A y B compatibles no tienen por qué ser dependientes.
Solución:
Sea el lanzamiento de un dado con espacio muestral 1, 2, 3, 4, 5, 6 y los sucesos
A 1, 2 y B 2, 4, 6 .
y
Los sucesos A y B son compatibles A B ^2 y, sin embargo, son independientes:
x
y si fueran incompatibles P(A B) P( ) 0
P(A B) P(A). P(B) P(A / B) P(B)
8. Sean los sucesos A y B tales que P(A B) , P(A) 0,8, P(B) 0,5.
Calcular P(A B), P(A B), P(A B)y P(A B)
Solución:
Adviértase que como P(A B) se tiene:
9. Sean dos sucesos A y B: P(A) 0,5, P(B) 0,3y P(A B) 0,1. Calcular la
probabilidad de que ocurra exactamente uno de los sucesos.
Solución:
Siendo P(A B)
10. Sean dos sucesos A y B, donde P(A B) 0 , P(A B) 0,5 y P(A) 0,4.
Se pide P(B) y P(A B)
Solución:
11. Sean los sucesos A, B y C tales que P(A) 0,2 P(B) 0,4 P(C) 0,
P(A B) 0,1y (A B) C . Calcular las siguientes probabilidades:
Solución:
x
No son independientes.
14. Un banco ha estimado, por experiencias anteriores, que la probabilidad de que una persona falle en los pagos de un préstamo personal es de 0,3. También ha estimado que el 40% de los préstamos no pagados a tiempo se han hecho para financiar viajes de vacaciones y el 60% de los préstamos pagados a tiempo se han hecho para financiar viajes de vacaciones. Se solicita:
a) Probabilidad de que un préstamo que se haga para financiar viaje de vacaciones no se pague a tiempo.
b) Probabilidad de que si el préstamo se hace para propósitos distintos a viajes de vacaciones sea pagado a tiempo.
Solución:
Sean los sucesos:
A = "préstamo personal pagado a tiempo" B = "financiar viaje vacaciones"
a) x x x
b)
x x x
15. En una cadena de televisión se hizo una encuesta a 2500 personas para saber la audiencia de un debate y de una película que se emitieron en horas distintas: 2100 personas vieron la película, 1500 vieron el debate y 350 no vieron ninguno de los dos programas. Eligiendo al azar a uno de los encuestados, se desea saber:
a) Probabilidad de que viera la película y el debate.
b) Probabilidad de que viera la película, sabiendo que vio el debate.
c) Habiendo visto la película, probabilidad de que viera el debate.
Solución:
Sean los sucesos: P = "ver la película" , D = "ver el debate"
Organizando los datos en una tabla de doble entrada:
a)
b)
c)
16. Un psicólogo de una compañía aérea, por experiencias anteriores, conoce que el 90% de los tripulantes de cabina (TCP) que inician un determinado tratamiento técnico terminan con éxito. La proporción de TCPs con entrenamiento y con experiencia previa es del 10% de entre los que completaron con éxito su entrenamiento y del 25% de entre aquellos que no terminaron con éxito su entrenamiento. Se desea saber:
a) Probabilidad de que un TCP con experiencia previa supere el entrenamiento con éxito.
b) ¿La experiencia previa influye en el éxito del entrenamiento?.
Solución:
Sean los sucesos:
S = "supera el entrenamiento con éxito" E = "tiene experiencia previa"
a)
x x x
b)
La experiencia previa influye desfavorablemente en el éxito del tratamiento.
18. Un banco revisa su política de tarjetas de crédito, con el objetivo de cancelar algunas de ellas. En el pasado, el 5% de los clientes con tarjeta ha pasado a ser moroso, esto es ha dejado de pagar sin que el banco pudiera recuperar la deuda. Además, el banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente normal se atrase en un pago es de 0.2. La probabilidad de que un cliente moroso se atrase en un pago es 1.
a) Qué probabilidad hay de que el cliente se atrase en un pago mensual
b) Si un cliente se atrasa en un pago mensual, calcular la probabilidad de que el cliente acabe convirtiéndose en moroso.
c) Al banco le gustaría cancelar la línea de crédito de un cliente si la probabilidad de que éste acabe convirtiéndose en moroso es mayor de 0.25. De acuerdo con los resultados anteriores, ¿debe cancelar una línea si un cliente se atrasa en un pago?. ¿Por qué?
Solución:
a)
Sean los sucesos:
M = "El cliente es moroso"
A = "El cliente se retrasa en un pago mensual"
P(A) 0,05 X 1 0,95 X0,2 0,
b)
c) La probabilidad de que un cliente que se atrasa en un pago acabe convirtiéndose en moroso es 0,208, que es menor que la probabilidad 0,25 exigida por el banco. En consecuencia, no debería de cancelarse la cuenta de un cliente que se atrase en un pago.
19. En una Facultad el 80% de los alumnos tienen ordenador de sobremesa, el 50% tiene ordenador portátil y el 10% no tiene ordenador. Se pide:
a) Probabilidad de que un alumno tenga ambos tipos de ordenador.
b) Sabiendo que un alumno tiene ordenador de sobremesa, obtener la probabilidad de que tenga portátil.
c) Sabiendo que un alumno tiene portátil, obtener la probabilidad de que tenga ordenador de sobremesa.
d) Determinar si ambos sucesos son independientes.
Solución:
a) Sean los sucesos:
A = Un alumno tiene ordenador de sobremesa B = Un alumno tiene ordenador portátil
b) P(A B) P(A) P(B) P(A B) 0,9 0,8 0,5 P(A B) P(A B) 0,
c)
d) Dos sucesos A y B son independientes P(A B) P(A) P(B)x
P(A B) 0,4 0,8 X 0,5 P(A) xP(B) A y B son independientes
21. Tres tiradores hacen una descarga simultánea. Las probabilidades de hacer blanco son, respectivamente, 0,6 , 0,5 y 0,4. Calcular las probabilidades de los sucesos:
a) Algún tirador hace blanco.
b) Exactamente dos tiradores hacen blanco.
c) El tercer tirador hace blanco, sabiendo que dos primeros lo han hecho.
Solución:
a) Sean los tiradores A, B y C
Se resuelve por el suceso contrario, que no haga blanco ningún tirador:
b) Exactamente dos tiradores hacen blanco
P ^ ^ A B C ^ A B C ^ A B C P A^ B C ^ P A^ B C P A^ B C
0,6 X 0,5 X 0,6 0,6 X 0,5 X 0,4 0,4 X 0,5 X0,4 0,
c) Sea el suceso D = "los dos primeros tiradores hacen blanco" D ^ A B ^ ^ A B
P(C D) P ^ A B C ^ ^ A B C^ 0,6 X 0,5 X 0,4 0,4 X 0,5 X0,4 P C/ D) 0, P(D) P(D) 0,
