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Dpto. Matemática Aplicada I
Curvas y superficies
- Funciones de varias variables
De nición
Se denomina conjunto Rn^ al producto cartesiano
n ︷ ︸︸ ︷ R × R × · · · R, cuyos sus elementos son nuplas de la forma x = (x 1 , x 2 ,... , xn), con xj ∈ R, donde j = 1, 2 ,... , n.
De nición Se llama función real o campo escalar de n variables reales f : D ⊆ Rn^ → R a toda correspon- dencia
f: D ⊆ Rn^ → R ~x → y = f (~x)
tal que ∀x = (x 1 , x 2 ,... , xn) ∈ D, existe uno y sólo un y ∈ R veri cando que y = f (x 1 , x 2 ,... , xn). El subconjunto D ⊆ Rn^ se denomina dominio de la función.
De nición Se llama función vectorial o campo vectorial de n variables reales f : D ⊆ Rn^ → Rm^ a toda correspondencia
f: D ⊆ Rn^ → Rm ~x → ~y = f (~x)
tal que ∀x = (x 1 , x 2 ,... , xn) ∈ D, existe uno y sólo un vector y = (y 1 , y 2 ,... , ym) ∈ Rm^ veri cando que (y 1 , y 2 ,... , ym) = f (x 1 , x 2 ,... , xn). El subconjunto D ⊆ Rn^ se denomina dominio de la función.
De nición Diremos que la ecuación F (x 1 , x 2 ,... , xk,... , xn) = 0 de ne, en un dominio D ⊆ R−^1 , a la variable xk como función implícita de (x 1 , x 2 ,... , xk− 1 , xk+1,... , xn) si para cualquier elemento (x 1 , x 2 ,... , xk− 1 , xk+1,... , xn) perteneciente a D existe^1 una función xk = g(x 1 , x 2 ,... , xk− 1 , xk+1,... , xn) que veri ca F (x 1 , x 2 ,... , g(x 1 , x 2 ,... , xk− 1 , xk
Límites y continuidad
De nición En R^2 se llama entorno de un punto (a, b) de radio δ, y se representa por Eδ (a, b), al conjunto de puntos (x, y) que distan del anterior menos que δ:
Eδ (a, b) =
(x, y) ∈ R^2
(x − a)^2 + (y − b)^2 < δ
De nición Dada una función real de dos variables, f : D ⊆ R^2 → R, se dice que su límite doble es el número real L, y se denota por l´ım (x,y)→(a,b)
f (x, y) = L, cuando para cualquier número real ε > 0 , arbitrariamente
pequeño, existe un entorno Eδ (a, b) tal que si (x, y) ∈ Eδ (a, b) − {(a, b)} entonces |f (x, y) − L| < ε.
(^1) En el tema de diferenciación de funciones de varias variables estudiaremos las condiciones bajo las cuales existe esta función implícita
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De nición El límite de una función real de dos variables f (x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b) según una tra- yectoria y = ϕ(x) (que pasa por el punto (a, b)) se de ne como:
l´ım (x,y)−→(a,b) y=ϕ(x)
f (x, y) = l´ım x→a f (x, ϕ(x))
Teorema Si existe el límite doble de una función de dos variables en un punto y vale L, entonces existe el límite según cualquier trayectoria que pase por dicho punto y también vale L.
Teorema Propiedades de los límites dobles Los límites de funciones de dos variables tienen las mismas propiedades con respecto a las sumas, diferencias, productos, cocientes y composición de funciones que los de funciones de una sola variable.
De nición Se dice que una función f : D ⊆ R^2 → R es continua en un punto (a, b) perteneciente a su dominio cuando se veri ca:
l´ım (x,y)→(a,b)
f (x, y) = f (a, b)
Teorema Propiedades de las funciones continuas
Las funciones continuas de dos variables tienen las mismas propiedades con respecto a las sumas, diferencias, productos, cocientes y composición, que las funciones continuas de una sola variable.
Si una función f (x, y) es continua en (a, b), también es continua en cada una de las variables, es decir, considerando la y como constante, es continua en x, y considerando la x como constante, es continua en y.
- Representaciones grá cas
Consideramos en este apartado algunos casos particulares de funciones tanto escalares como vectoriales y analizamos sus representaciones grá cas, las cuales nos van a acompañar durante todo el curso.
3.1. Curvas en el plano
De nición Dada una función vectorial
f^ ~: I ⊆ R −→ R^2 t ∈ I 7 −→ f~ (t) = (x(t), y(t))
siendo x′(t) e y′(t) funciones continuas en el intervalo I ⊆ R, se llama curva en el plano al lugar geomé-
trico de los puntos P (x, y) del plano que satisfacen las ecuaciones
x = x(t) y = y(t) , denominadas ecuaciones
paramétricas de dicha curva.
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De nición Dada la función f : D ⊆ R^2 → R y una constante c ∈ R, se llama curva de nivel c de la super cie z = f (x, y) al conjunto Γc de nido por:
Γc =
(x, y) ∈ D
f (x, y) = c
que resulta al cortar dicha super cie por el plano z = c, paralelo al plano OXY. Curvas de nivel de f (x, y) = x^2 + 2y^2 para c = 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9
De nición Dada la función f : D ⊆ R^3 → R y una constante c ∈ R, se llama super cie de nivel c al conjunto Γc de nido por
Γc =
(x, y, z) ∈ D
f (x, y, z) = c
De nición Se llama ecuación implícita F (x, y, z) = 0 de una super cie a la ecuación que se obtiene al eliminar (si es posible) los parámetros u y v de sus ecuaciones paramétricas.
De nición
Dada la super cie S de ecuaciones paramétricas
x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v)
, se llaman curvas paramétricas
del punto P (u 0 , v 0 ) de ella a las curvas que se obtienen al sustituir, respectivamente, u = u 0 o v = v 0 en dichas ecuaciones paramétricas.
- Super cies regladas
De nición Se llama super cie reglada a toda super cie que está generada por una recta que se mueve siguiendo una determinada ley. Dadas las curvas C(u) y β(u), la super cie S(u, v) = C(u) + vβ(u) se llama super cie reglada generada por la curva β(u) y de directriz la curva C(u). Para cada valor u 0 , la curva r(v) = C(u 0 ) + vβ(u 0 ) es una recta contenida en la super cie reglada S, que recibe el nombre de recta generatriz.
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De nición Se llama super cie cónica a aquella super cie reglada cuyas generatrices se obtienen uniendo un punto de la curva directriz con un punto jo, llamado vértice.
De nición Se llama super cie cilíndrica a aquella super cie reglada cuyas generatrices son paralelas entre sí (es decir, la curva β(u) es constante).
De nición Se llama super cie conoide a aquella super cie reglada cuyas generatrices pasan por un punto de la curva directriz, se apoyan en una recta, llamada eje, y son paralelas a un plano, llamado plano director.
Si el eje es perpendicular al plano director, el conoide se denomina conoide recto.
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Problema 4.
La super cie de una montaña se describe mediante la grá ca de una función f (x, y) tal que sus curvas de nivel son de la forma:
Supongamos que un ciclista piensa escalar dicha montaña partiendo de C hasta alcanzar A pasando por el punto B. ¾Cuáles de las siguientes a rmaciones son verdaderas?
(a) Como d(A, B) > d(B, C) entonces la pendiente o inclinación media en el segundo tramo de la ascensión (de B a A) es mayor que la del primer tramo (de C a B); es decir, el ciclista debe efectuar un mayor esfuerzo para ir de B a A que para desplazarse de C a B. (b) Como en el primer tramo de la escalada se asciende más rápidamente que en el segundo, el ciclista realizará un mayor esfuerzo en el primer tramo. (c) El ciclista realiza un mayor esfuerzo en el segundo tramo porque el punto A está situado a más altura, 2000 m., que el punto B, que está a 1800 m.
Problema 5.
Dada la super cie cuyas ecuaciones paramétricas son S:
x = 4 sen λ cos μ y = 2 sen λ sen μ z = cos λ
, hallar:
(a) Su ecuación implícita. Solución: x^2 + 4y^2 + 16z^2 − 16 = 0 (b) El lugar geométrico de los puntos sobre la super cie en los que μ = π/ 2 − λ. Comprobar que la curva obtenida pertenece a la super cie de ecuación x^2 + 4y^2 + 16z^2 = 16.
Solución: C:
x = 4 sen^2 λ y = sen(2λ) z = cos λ
Problema 6.
Determinar la ecuación cartesiana de la super cie cónica de directriz C:
x = t + 1 y = t^2 + 2t + 2 z = t
y
vértice V (0, 0 , 0). Solución: 2 x^2 + z^2 − xy − 2 xz + yz = 0
Problema 7.
Hallar la ecuación cartesiana de la super cie cónica de vértice V (0, 1 , 1) y directriz la curva C:
x = t y = t z = t^2 + 1
Solución: zx − zy + z − x + y − 1 − x^2 = 0
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Problema 8.
Hallar la ecuación de la super cie cónica de vértice{ V (0, 0 , 2) y directriz la curva de ecuaciones z = x^2 + x + 2 y = z
Solución: 4 x^2 + 2xy − 2 xz + 4x − 2 yz + 4y + 2z^2 − 8 z + 8 = 0
Problema 9.
Hallar las ecuaciones paramétricas e implícita de la super cie cónica cuyo vértice es el punto de intersección de la recta
x = y y = z con el plano x + y + z = 3 y cuya directriz es la parábola { y = x^2 z = 0
Solución: Paramétricas: (x = 1 + λ(t − 1), y = 1 + λ(t^2 − 1), z = 1 − λ) Implícita: x^2 + yz − 2 xz − y + z = 0 (Examen de junio, curso 20122013)
Problema 10.
Hallar la ecuación implícita de la super cie cónica de vértice el origen de coordenadas y directriz
la circunferencia de ecuación C:
x = 2 sen t y = 2 cos t z = 2 Solución: z^2 = x^2 + y^2 (Examen de septiembre, curso 20122013)
Problema 11.
En el plano OXY se tiene el punto V (1, 1 , 0) y la recta t:
y − 1 = 0 z = 0 que son el vértice y el eje de una parábola que pasa por Q(2, 2 , 0).
(a) Hallar la ecuación de esta parábola y dibujarla. Solución: C:
{ (y − 1)^2 = x − 1 z = 0 (b) Obtener la ecuación de un cilindro que teniendo por directriz dicha parábola sus generatrices sean paralelas a la recta x = y = z. Solución: y^2 + z^2 − 2 yz − 2 y + 3z − x + 2 = 0
Problema 12.
Hallar la ecuación de un cilindro de directriz la curva C:
x = t y = t^2 z = t^3
y generatrices paralelas a la
recta r:
x = z − 1 y = z − 3. Solución: x^3 − y^3 − 3 x^2 y + 3xy^2 + 2y^2 + z^2 − 3 yz + xz − xy = 0
Problema 13.
(a) Obtener la ecuación de la super cie cilíndrica de generatrices paralelas al vector V = (0, 1 , 1)
y directriz C:
x = sen t y = 2 cos t z = 0
Solución: 4 x^2 + y^2 + z^2 − 2 yz − 4 = 0
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(b) Calcular la ecuación cartesiana de la super cie cónica de vértice V (1, 1 , 1) y directriz la curva
de ecuación C:
x = 3 sen t y = 2 cos t z = 0
Solución: 4 x^2 + 9y^2 − 23 z^2 − 8 xz − 18 yz + 72z − 36 = 0
Problema 18.
Dada la curva de ecuación C:
x = 1 + 2 cos t y = 2 + 2 sen t z = 0
(a) Hallar la ecuación implícita de la curva y dibujarla.
Solución:
{ (x − 1)^2 + (y − 2)^2 = 4 z = 0 (b) Calcular la ecuación de la super cie cónica de vértice V (1, 2 , 3) y directriz la curva C. Solución: 9(x − 1)^2 + 9(y − 2)^2 = 4(z − 3)^2 (c) Obtener la ecuación implícita de la super cie cilíndrica que tiene por directriz dicha curva C y cuyas generatrices son paralelas a la recta x = y = z. Solución: x^2 − 2 xz − 2 x + 2z^2 + 6z + 1 + y^2 − 2 yz − 4 y = 0
Problema 19.
(a) Comprobar que la curva C:
x = 1 + t y = 2 − t z = t
es plana.
(b) Calcular la ecuación de la super cie cilíndrica que tiene por directriz la curva de ecuación
x = sen t y = cos t z = sen t cos t
y cuyas generatrices son paralelas a la recta r:
x = z y = 1
Solución: y^4 − 2 y^3 + z^2 − 2 xz + x^2 + 2y − 1 = 0
Problema 20.
(a) Hallar la ecuación de la super cie cónica de vértice V (0, 1 , 1) y directriz la curva de ecuación C:
(y − 1)^2 = 2(x + 2) z = 2
Solución: y^2 − 4 z^2 + 2x − 2 y + 8z − 2 xz − 3 = 0
(b) Calcular la ecuación de la super cie cilíndrica de directriz C :
(y − 1)^2 = 2(x + 2) z = 0 cuyas generatrices son paralelas al vector v = (0, 1 , 1). Solución: y^2 − 2 yz − 2 y + z^2 + 2z − 3 − 2 x = 0
Problema 21.
Hallar la ecuación del conoide recto de eje e:
x = 0 z = 2 y directriz C:
x^2 + y^2 − 2 x = 0 z = 0
Solución: 4 x^2 + 4xz − 8 x + y^2 z^2 − 4 y^2 z + 4y^2 = 0
Problema 22.
Hallar la ecuación de un conoide recto engendrado por las rectas que se apoyan en el eje OX, son paralelas al plano x = 0 y se apoyan en la circunferencia C:
x^2 + y^2 = 4 z = 2
Solución: x^2 z^2 + 4y^2 − 4 z^2 = 0
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Problema 23.
Hallar las ecuaciones de las siguientes super cies regladas:
(a) Conoide formado por las rectas que cortan al eje OZ y a la curva C:
y^2 + z^2 = 1 x = 1 y son paralelas al plano z = 0. Solución: y^2 = x^2 − x^2 z^2 (b) Conoide formado por rectas paralelas al plano OXY , de eje OZ y directriz la curva C :
x = cos t y = sen t z = t
Solución: y = x tg z
(c) Conoide recto de eje
y = 0 z = 0 y directriz la curva
y = 1 z = sen x. Solución: z = y sen x
Problema 24.
Calcular la ecuación de la super cie de revolución engendrada por:
(a) la recta r:
2 y − z = 0 x = 0 al girar alrededor del eje e:
x = 0 y = 0
Solución: 4 x^2 + 4y^2 − z^2 = 0
(b) la curva C:
y = z^2 x = 0 al girar alrededor de la recta r:
x = 0 z = 0
Solución: y = x^2 + z^2
Problema 25.
Dadas las rectas e:
x = t y = t z = t
y r:
x = 0 y = 0 , hallar la ecuación de la super cie que se obtiene
girando e alrededor de r. Solución: (x + y)^2 + (y − x)^2 = 4z^2
Problema 26.
(a) Hallar la ecuación de la super cie cónica de vértice P (1, 0 , 0) y directriz C:
z = y^2 x = 0
Solución: y^2 + xz − z = 0 (b) Hallar la ecuación de la super cie de revolución que se obtiene al girar la curva C respecto al eje OY. Solución: y^4 = x^2 + z^2
Problema 27.
Hallar las ecuaciones de las siguientes super cies:
(a) Super cie cilíndrica cuyas generatrices son paralelas a la recta r:
x + y = 0 x = z y se apoyan
en la circunferencia C:
x = cos t y = 0 z = sen t
Solución: x = cos t + λ, y = −λ, z = sen t + λ
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Problema 30.
Consideramos la super cie que viene dada por la función√ f : D ⊆ R^2 → R de nida por z = f (x, y) = 3 x^2 − y^2.
(a) El dominio de la función z = f (x, y) es el conjunto de puntos que aparece sombreado en la gura:
Los puntos situados sobre las pará- bolas p 1 : y = 3x^2 y p 2 : y = − 3 x^2 sí forman parte del dominio.
Los√ puntos situados sobre y = 3 x^2 sí forman parte del dominio.
Los puntos situados sobre las rectas r 1 : y =
3 x y r 2 : y = −
3 x sí forman parte del dominio.
Los puntos situados sobre las rectas r 1 : y =
3 x y r 2 : y = −
3 x sí forman parte del dominio.
(b) Las curvas de nivel de la super cie z = f (x, y) son las representadas en la gura:
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Problema 31.
Consideramos la función f : D ⊆ R^3 → R, dada por la expresión f (x, y, z) = ln(16 − 4 x^2 − 4 y^2 −z^2 ).
(a) El dominio D de f es:
El conjunto formado por los puntos en el interior del elipsoide represen- tado.
El conjunto formado por los puntos del elipsoide representado y los de su interior.
El conjunto formado por los puntos de la elipse representada y los de su interior.
Todo el espacio R^3.
(b) Sobre las super cies de nivel de f (x, y, z):
No es posible de nir super cies de nivel para funciones reales de tres variables reales.
Son elipses de la forma x^2 a^2
y^2 b^2
Son elipsoides de la forma
x^2 a^2
y^2 b^2
z^2 c^2
Ninguna de las anteriores.
Problema 32.
Sea H el helicoide de ecuaciones paramétricas H:
x = α cos β y = α sen β z = 8β
, donde α ∈ [0, 5] y β ∈ [− 3 π, 3 π].
(a) ¾Cuál de los siguientes puntos pertenece a la super cie?
√ (^2) / 2 , √ (^2) / 2 , 2 π). (1, 0 , 4 π).
(− 2 , 0 , 8 π). Ninguno de los puntos dados.
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(b) C está representada en:
Problema 34.
Se considera la curva C que viene dada por las ecuaciones implícitas
x = z^3 − z + 2 y = z
(a) La ecuación de la super cie reglada cuyas generatrices pasan por el punto (0,0,3) y se apoyan en C viene dada por:
{ x = (z − 3)^3 − (z − 3) + 2 y = z − 3 z^3 − z − xy + 5 = 0
x = u(v^3 − v + 2) y = u v z = 3 + u(v − 3)
Ninguna de las anteriores.
(b) La ecuación de la super cie reglada cuyas generatrices se apoyan en C y son paralelas a la recta
2 x − y − z − 3 = 0 y + z + 1 = 0 viene dada por:
y^3 + z^3 + 3y^2 z + 3yz^2 − 8 x − 4 y − 4 z + 16 = 0
x = u(v^3 − v + 2) y = 1 + u v { z^ =^ −1 +^ u v z^3 − x − z + 2 = 0 2 x − 2 z − 3 = 0 Ninguna de las anteriores.
Problema 35.
Se considera la curva C que viene dada por las ecuaciones implícitas
x^2 + y^2 − 4 y = 0 z = 0
(a) La ecuación del conoide recto de eje
y = 0 z = 1 y directriz la curva C viene dada por:
x^2 y^2 − 2 x^2 y + x^2 + z^2 + 4yz − 4 z = 0 x^2 z + yz^2 x^2 + y^2 + 4yz − 4 y = 0
x^2 z^2 − 2 x^2 z + x^2 + y^2 + 4yz − 4 y = 0 Ninguna de las anteriores.
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(b) La ecuación de la super cie reglada cuyas generatrices siguen la dirección del vector v = (1, 1 , −1) y se apoyan en C viene dada por:
x^2 + y^2 + 2z^2 + 2xz + 2yz − 4 y − 4 z = 0 x^2 + 2y^2 + z^2 − 2 xz + 2yz − 4 y − 4 z = 0 y^2 + 2z^2 − xy + 2xz + 2yz − 4 y − 4 z = 0 Ninguna de las anteriores.
Problema 36.
Sea el eje OX el eje de giro de las dos super cies siguientes.
(a) La ecuación de la super cie que se obtiene al girar la curva
x = t y = t z = t^2
, viene dada por:
y^4 + x^2 − y^2 + z^2 = 0 x^4 + x^2 − y^2 + z^2 x^2 − y^2 + z^2 = 0 Ninguna de las anteriores.
(b) La ecuación de la super cie que se obtiene al girar la recta
x − 3 y = 0 z = 0 viene dada por:
x^2 − 9 y^2 − 9 z^2 = 1 x^2 − 9 y^2 − 9 z^2 = 0 x^2 + 9y^2 + 9z^2 = 1 Ninguna de las anteriores.
Problema 37.
Dados los siguientes objetos geométricos, pon un ejemplo de función cuya grá ca corresponda a dichos objetos:
Curva en el plano en forma paramétrica. Curva en el espacio en forma paramétrica. Super cie en forma paramétrica. Curva en el espacio en forma implícita. Curva en el plano en forma implícita. Super cie en forma implícita. Super cie en forma explícita. Curva en el plano en forma explícita.
