Superficies, Apuntes de Matemáticas

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Repaso

Superficies. Conceptos generales

Dpto. Matem´atica Aplicada I

E.T.S. de Arquitectura

Universidad de Sevilla

1 CONCEPTOS GENERALES 2

REPASO: Superficies: Conceptos generales

1. Conceptos generales

Definici´on 1.1 Una superficie es el lugar geom´etrico de los puntos del plano que satis-

facen una ecuaci´on del tipo F (x, y, z) = 0. A dicha identidad se le llama ecuaci´on impl´ıcita

de la superficie.

Definici´on 1.2 Se definen las ecuaciones param´etricas de una superficie como

{x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)}, con u ∈ [a, b], v ∈ [c, d]. Por su parte, a la

expresi´on

r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) se le conoce como ecuaci´on vectorial de la

superficie. Se dice que la superficie as´ı definida es regular si las funciones x(u, v), y(u, v),

z(u, v) son continuas y derivables parcialmente hasta el cuarto orden.

N´otese que para cada par de valores, u = u 0 , v = v 0 , obtenemos un punto de la super-

ficie,

r (u 0 , v 0 ) = (x(u 0 , v 0 ), y(u 0 , v 0 ), z(u 0 , v 0 )) = (x 0 , y 0 , z 0 ). Al par (u 0 , v 0 ) se le llama

coordenadas curvil´ıneas del punto (x 0 , y 0 , z 0

Observaci´on 1.3 Una curva sobre la superficie se puede determinar por cualquiera de

los siguientes procedimientos:

(a) Cuando fijamos uno de los par´ametros y dejamos variable el otro:

Fijado u = u 0 =⇒

r (^) u 0 (v) = (x(u 0 , v), y(u 0 , v), z(u 0 , v))

Fijado v = v 0

r v 0 (u) = (x(u, v 0 ), y(u, v 0 ), z(u, v 0

A dichas curvas se les conocen con el nombre de curvas coordenadas o l´ıneas coor-

denadas.

(b) Cuando expresamos los par´ametros u y v como funciones de un tercer par´ametro t,

u = u(t), v = v(t), de modo que obtenemos:

r (t) = (x (u(t), v(t)) , y (u(t), v(t)) , z (u(t), v(t))) = (x

∗ (t), y

∗ (t), z

∗ (t))

0

(1.b) Ecuaci´on impl´ıcita del plano tangente a S por P. Como los vectores

r u (u 0 , v 0 ) y

r v (u 0 , v 0 ) son independientes y est´an contenidos en el plano

tangente, entonces el vector

r u (u 0 , v 0

r v (u 0 , v 0 ) es perpendicular a di-

cho plano. Por otra parte, dado un punto cualquiera Q = (x, y, z) del plano,

el vector

P Q = (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) est´a contenido en ´el y, por tanto,

P Q · (

r u (u 0 , v 0

r v (u 0 , v 0 )) = 0. Luego, la ecuaci´on impl´ıcita del plano tan-

gente a S por el punto P viene dada por

P Q,

r u (u 0 , v 0

r v (u 0 , v 0

x − x 0 y − y 0 z − z 0

x

′

u

y

′

u

z

′

u

x

′

v

y

′

v

z

′

v

(2) Plano tangente a una superficie dada en param´etricas. Sea S una superficie

de ecuaci´on F (x, y, z) = 0 y consideremos un punto cualquiera P = (x 0 , y 0 , z 0 ) de

S. El vector

∇F (x 0 , y 0 , z 0

F

′

x

(x 0 , y 0 , z 0

), F

′

y

(x 0 , y 0 , z 0

), F

′

z

(x 0 , y 0 , z 0

es perpendicular al plano tangente. Por otra parte, dado un punto cualquiera

Q = (x, y, z) del plano tangente, el vector

P Q = (x−x 0 , y −y 0 , z −z 0 ) est´a contenido

en dicho plano y, por tanto,

P Q ·

∇F (x 0 , y 0 , z 0 ) = 0, es decir,

F

′

x

(x 0 , y 0 , z 0 )(x − x 0

) + F

′

y

(x 0 , y 0 , z 0 )(y − y 0

) + F

′

z

(x 0 , y 0 , z 0 )(z − z 0

Definici´on 1.5 Consideremos una superficie regular S de ecuaci´on vectorial

r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Se define la recta normal a S por uno de sus pun-

tos, P , como la recta que pasa por P y tiene vector director

r (^) u ∧

r (^) v.

2. Superficies regladas

Definici´on 2.1 Un superficie reglada es aquella formada por rectas, llamadas generatri-

ces, que se apoyan en una curva, llamada directriz, y que cumplen una condici´on adicional,

llamada “condici´on de reglada”.

0

Dependiendo de la condici´on de reglada, distinguimos varios tipos:

(a) Superficie cil´ındrica. Las generatrices se apoyan en la curva directriz y son parale-

las a una direcci´on fija del espacio.

(b) Superficie c´onica (cono). Las generatrices se apoyan en la curva directriz y pasan

todas por un punto fijo, llamado v´ertice.

(c) Superficie conoide. Las generatrices se apoyan en la curva directriz y en una recta,

llamada eje, y son paralelas a un plano. Cuando el eje y el plano son perpendiculares,

se dice que el conoide es recto.

(d) Superficie desarrollable tangencial. Por cada punto de la directriz pasa una de

las generatrices, cuya direcci´on es la de la recta tangente a la propia curva directriz

por ese punto.

2.1. M´etodos de obtenci´on de las ecuaciones de una superficie

reglada

• Superficie cil´ındrica. Sea Γ una curva definida por las ecuaciones impl´ıcitas

Γ ≡ {F (x, y, x) = 0, G(x, y, z) = 0}, y denotemos por

e = (a, b, c) a un vector fijo

en el espacio.

(a) Ecuaciones param´etricas del cilindro de directriz la curva Γ y generatrices paralelas

al vector

e.

Para encontrar tales ecuaciones, procedemos a parametrizar una recta (generatriz)

gen´erica de la superficie. Pasos:

o ) Parametrizar la directriz Γ:

r (t) = (x(t), y(t), z(t)).

0

(b) Ecuaci´on impl´ıcita del cilindro de directriz la curva Γ y generatrices paralelas al

vector

e.

Procedemos del siguiente modo:

o ) Sea P = (x 0 , y 0 , z 0 ) un punto cualquiera del cilindro. Por ese punto pasa una

de las generatrices del cilindro.

o ) La generatriz que pasa por P tiene vector director

e , por lo que sus ecuaciones

param´etricas son

x = x 0

• λ a

y = y 0

• λ b

z = z 0

• λ c

o ) Por ´ultimo, dicha generatriz se apoya en alg´un punto de la curva directriz.

As´ı que imponemos que el punto (x 0 +λ a, y 0 +λ b, z 0 +λ c) cumpla las ecuaciones

de la directriz {F (x, y, x) = 0, G(x, y, z) = 0}. Obtenemos as´ı un sistema de dos

ecuaciones. Despejando λ de una de ellas y sustituyendo en la otra, obtenemos

la ecuaci´on impl´ıcita del cilindro.

Ejemplo 2.3 Hallar la ecuaci´on impl´ıcita del cilindro de generatrices paralelas a la recta

{x + y = 0, x = z} y directriz la curva {x

2 − z

2 = 1, 2 y + z = 0}.

Resoluci´on. Calculamos el vector director de la recta. Como dicha recta viene dada me-

diante la intersecci´on de los planos π 1 : x + y = 0 y π 2 : x − z = 0, su vector director

v

debe ser perpendicular a los vectores normales de ambos planos, que son

n 1 = (1, 1 , 0) y

n 2 = (1, 0 , −1). La ´unica direcci´on en <

3 perpendicular a

n 1 y

n 2 al mismo tiempo es

n 1

n 2

i

j

k

Sea P = (x 0 , y 0 , z 0 ) un punto gen´erico del cilindro. Por ese punto pasa una de las rectas del

cilindro, que tiene vector director

v = (− 1 , 1 , −1), por lo que sus ecuaciones param´etricas

0

son

x = x 0 − λ

y = y 0

• λ

z = z 0 − λ

Esa recta se apoya en alg´un punto de la directriz. As´ı que imponemos que el punto

(x 0 − λ, y 0 + λ, z 0 − λ) verifique las ecuaciones {x

2 − z

2 = 1, 2 y + z = 0}. Obtenemos el

sistema 

(x 0 − λ)

2 − (z 0 − λ)

2 = 1

2(y 0

• λ) + z 0 − λ = 0

Despejando λ de la segunda ecuaci´on y sustituyendo en la primera, obtenemos la ecuaci´on

impl´ıcita del cilindro

(x 0

• 2y 0
• z 0

2

• (z 0
• 2y 0
• z 0

2 = 1 ⇐⇒ (x + 2y + z)

2

• 4(y + z)

2 = 1

Figura 2: Recta, directriz y cilindro del Ejemplo 2.3.

• Superficie c´onica. Sea Γ una curva definida por las ecuaciones impl´ıcitas

Γ ≡ {F (x, y, x) = 0, G(x, y, z) = 0}, y denotemos por V = (a, b, c) a un punto fijo

en el espacio.

(a) Ecuaciones param´etricas del cono de v´ertice V y directriz la curva Γ.

Como para todos los casos de superficies regladas, encontrar las ecuaciones param´etri-

cas de dicha superficie equivale a parametrizar una recta (generatriz) gen´erica de

ella. Pasos:

0

(cos t − 0 , sen t − 0 , cos

2 t − 1). Por tanto, basta parametrizar la generatriz gen´erica

para obtener las ecuaciones del cono:

x = 0 + λ cos t

y = 0 + λ sen t

z = 1 + λ (cos

2 t − 1)

, con t ∈ [0, 2 π], λ ∈ <

(b) Ecuaci´on impl´ıcita del cono de v´ertice V y directriz la curva Γ.

Procedemos del siguiente modo:

o ) Sea P = (x 0 , y 0 , z 0 ) un punto cualquiera del cono. Por ese punto pasa una de

las generatrices del cono que, a su vez, tambi´en pasa por el v´ertice V.

o ) La generatriz que pasa por P y por V tiene vector director

V P = (x 0 − a, y 0 − b, z 0 − c), por lo que sus ecuaciones param´etricas son

x = a + λ (x 0 − a)

y = b + λ (y 0 − b)

z = c + λ (z 0 − c)

o ) Por ´ultimo, dicha generatriz se apoya en alg´un punto de la curva directriz.

As´ı que (a + λ (x 0 − a), b + λ (y 0 − b), c + λ (z 0 − c)) debe cumplir las ecuaciones

de la directriz {F (x, y, x) = 0, G(x, y, z) = 0}. Obtenemos as´ı un sistema

de dos ecuaciones. Despejando λ de una de ellas y sustituyendo en la otra,

obtenemos la ecuaci´on impl´ıcita del cono.

Ejemplo 2.5 Hallar la ecuaci´on impl´ıcita del cono de v´ertice el origen de coordenadas y

directriz la curva {x

2

• y

2

• z

2 = 1, x + y = 1}.

Resoluci´on. Sea P = (x 0 , y 0 , z 0 ) un punto gen´erico del cono. Por dicho punto, pasa una

generatriz del cono que, a su vez, pasa tambi´en por el punto V = (0, 0 , 0). As´ı que el vector

0

director de dicha generatriz ser´a

V P = (x 0 − 0 , y 0 − 0 , z 0 −0). Con el punto V = (0, 0 , 0) y el

vector director

V P = (x 0 , y 0 , z 0 ) construimos las ecuaciones param´etricas de la generatriz

que pasa por P :

x = 0 + λ x 0

y = 0 + λ y 0

z = 0 + λ z 0

Esa recta tambi´en se apoya en alg´un punto de la directriz. As´ı que imponemos que el

punto (λ x 0 , λ y 0 , λ z 0 ) verifique las ecuaciones {x

2

• y

2

• z

2 = 1, x + y = 1}. Obtenemos

el sistema (^) 

λ

2 (x

2

0

• y

2

0

• z

2

0

λ (x 0 + y 0 ) = 1

Despejando λ de la segunda ecuaci´on y sustituyendo en la primera, obtenemos la ecuaci´on

impl´ıcita del cono

x

2

0

• y

2

0

• z

2

0

(x 0

• y 0

2

= 1 ⇐⇒ x

2

• y

2

• z

2 = (x + y)

2

Figura 4: V´ertice, directriz y cono del Ejemplo 2.5.

• Superficie conoide. Sean Γ una curva definida por las ecuaciones impl´ıcitas

Γ ≡ {F (x, y, x) = 0, G(x, y, z) = 0}, E una recta y π un plano.

(a) Ecuaciones param´etricas de la superficie conoide de eje E y directriz Γ, cuyas rectas

son paralelas al plano π.

0

Cada generatriz de conoide une un punto P = (0, 0 , u) del eje con otro punto

Q = (1, cos t, sen t) de la directriz. Por tanto, su vector director es

P Q = (1 − 0 , cos t − 0 , sen t − u). Como las generatrices son paralelas al plano

OXY , el vector normal a dicho plano,

n = (0, 0 , 1) es perpendicular al vector

P Q. As´ı que

P Q ·

n = 0 ⇐⇒ u = sen t. Por tanto, cada generatriz es una recta que

pasa por un punto P = (0, 0 , sen t) y tiene vector director

P Q = (1, cos t, 0). Basta

parametrizar la generatriz gen´erica para obtener las ecuaciones del conoide:

x = 0 + λ

y = 0 + λ cos t

z = sen t

, con t ∈ [0, 2 π], λ ∈ <

Figura 5: Eje, plano, directriz y conoide del Ejemplo 2.6.

(b) Ecuaci´on impl´ıcita del conoide de eje E y directriz Γ, cuyas generatrices son parale-

las al plano π.

Procedemos del siguiente modo:

o ) Parametrizar el eje E:

r (u) = (x(u), y(u), z(u)).

o ) Sea P = (x 0 , y 0 , z 0 ) un punto cualquiera del conoide. Por ese punto pasa

una de las generatrices del conoide que, a su vez, se apoya en un punto

Q = (x(u), y(u), z(u)) del eje. Por tanto, su vector director ser´a

0

P Q = (x(u) − x 0 , y(u) − y 0 , z(u) − z 0 ). Como las generatrices han de ser parale-

las al plano π, debe cumplirse de nuevo la ecuaci´on (1), es decir,

P Q ·

n = 0.

De dicha ecuaci´on despejamos el valor de u como funci´on de x 0 , y 0 y z 0 , es

decir, u = h(x 0 , y 0 , z 0 ). As´ı, el vector

P Q = (x (h(x 0 , y 0 , z 0 )) − x 0 , y (h(x 0 , y 0 , z 0 )) − y 0 , z (h(x 0 , y 0 , z 0 )) − z 0

s´olo depende de x 0 , y 0 y z 0

. Lo denotamos por

P Q = (x

∗

0

, y

∗

0

, z

∗

0

o ) La generatriz que pasa por P y por Q y tiene vector director

P Q, viene dada

por las ecuaciones

x = x 0 + λx

∗

0

y = y 0

• λy

∗

0

z = z 0

• λz

∗

0

o ) Por ´ultimo, dicha generatriz se apoya en alg´un punto de la curva directriz.

As´ı que imponemos que el punto (x 0

• λx

∗

0

, y 0

• λy

∗

0

, z 0

• λz

∗

0

) cumpla las

ecuaciones de la directriz {F (x, y, x) = 0, G(x, y, z) = 0}. Obtenemos as´ı un

sistema de dos ecuaciones. Despejando λ de una de ellas y sustituyendo en la

otra, obtenemos la ecuaci´on impl´ıcita del conoide.

Ejemplo 2.7 Hallar la ecuaci´on impl´ıcita del conoide recto de eje OZ y directriz la curva

{x

2

• y

2 = z

2 , x

2

• y

2 = 2x}.

Resoluci´on. Al igual que en el ejemplo anterior, el eje y el plano son perpendiculares, por

ser el conoide recto. Luego, las generatrices son paralelas al plano OXY. Sea

Q = (x 0 , y 0 , z 0 ) un punto gen´erico del conoide. Por dicho punto, pasa una generatriz

del conoide que, a su vez, pasa tambi´en por otro punto P = (0, 0 , u) de eje OZ. As´ı que el

vector director de dicha generatriz ser´a

P Q = (x 0 − 0 , y 0 − 0 , z 0 −u). Como la generatriz es

paralela al plano OXY , el vector normal de dicho plano,

n = (0, 0 , 1) y el vector

P Q han

de ser perpendiculares, esto es,

P Q·

n = 0 ⇐⇒ u = z 0

. Parametrizamos la generatriz que

0

por dicho punto. Empezamos parametrizando la curva directriz:

x = cos t

y = cos

2 t

z = sen t

, t ∈ [0, 2 π]

El vector tangente a dicha curva por un punto P = (cos t, cos

2 t, sen t) gen´erico de ella viene

dado por

r

′ (t) = (− sen t, −2 cos t sen t, cos t). Por tanto, parametrizando la generatriz

obtenemos las ecuaciones param´etricas de la superficie desarrollable tangencial:

x = cos t − λ sen t

y = cos

2 t − 2 λ cos t sen t

z = sen t + λ cos t

, t ∈ [0, 2 π], λ ∈ <

Figura 7: Directriz y superficie desarrollable tangencial del Ejemplo 2.8.

2.2. Otras superficies regladas

Tal y como se refleja en la Definici´on 2.1, las superficies regladas est´an formadas

por rectas que se apoyan en una curva directriz y que cumplen una condici´on de reglada.

Sin embargo, las condiciones de reglada citadas en los casos (a), (b), (c) y (d) anteriores no

son las ´unicas posibles. Veamos algunos otros ejemplos de superficies regladas conocidas.

0

• Hiperboloide de una hoja. Vamos a ver dos formas diferentes de construir esta

superficie como reglada.

o ) Es la superficie reglada de directriz la circunferencia {x

2

• y

2 = 1, z = 0} y cuyas

generatrices tienen la direcci´on

v =

t +

n , siendo

t el vector tangente unitario a la

directriz en cada punto y

n = (0, 0 , 1) un vector fijo.

Resoluci´on. Parametrizamos la directriz

x = cos u

y = sen u

z = 0

, u ∈ [0, 2 π]

cuyo vector tangente unitario en cada punto es

t (u) = (− sen u, cos u, 0). As´ı que cada

generatriz pasa por un punto P = (cos u, sen u, 0) y tiene vector director

v =

t (u) +

n = (− sen u, cos u, 0) + (0, 0 , 1) = (− sen u, cos u, 1). La parametrizaci´on de

dicha generatriz gen´erica nos conduce a las ecuaciones param´etricas de la superficie:

x = cos u − v sen u

y = sen u + v cos u

z = 0 + v

, u ∈ [0, 2 π], v ∈ <

Para obtener la ecuaci´on impl´ıcita, obs´ervese que x

2

• y

2 = 1 + v

2 = 1 + z

2 , de donde

obtenemos la ecuaci´on x

2

• y

2 − z

2 = 1, que se corresponde con el Hiperboloide de una

hoja. ⊗

o ) Es la superficie reglada generada por rectas que se apoyan en las rectas

R 1 : {z = x, y = − 1 }, R 2 : {z = y, x = 1} y R 3 : {z = −x, y = 1}.

Resoluci´on. Parametrizamos las rectas R 1 y R 2

R

1

x = u

y = − 1

z = u

, R

2

x = 1

y = t

z = t

0

Sustituyendo en (2), obtenemos finalmente las ecuaciones param´etricas de la superficie:

x = u + λ(1 − u)

y = −1 + λ

2 u

u + 1

z = u − λ

u

2

• 1

u + 1

Se puede comprobar que se satisface la ecuaci´on impl´ıcita x

2 +y

2 −z

2 = 1, que corresponde

al Hiperboloide de una hoja. ⊗

• Paraboloide hiperb´olico. Vamos a ver dos formas diferentes de construir esta super-

ficie como reglada.

o ) Dados los puntos A = (1, 0 , 1), B = (0, 1 , −1), C = (− 1 , 0 , 1) y

D = (0, − 1 , −1), es la superficie reglada cuyas generatrices cortan a los segmentos AB y

CD y son paralelas al plano de vector normal

BC ∧

AD.

Resoluci´on. Parametrizamos los dos segmentos:

AB :

x = 1 − μ

y = μ

z = 1 − 2 μ

, CD :

x = −1 + δ

y = −δ

z = 1 − 2 δ

Cada generatriz pasa por un punto P = (1 − μ, μ, 1 − 2 μ) del segmento AB y un punto

Q = (−1 + δ, −δ, 1 − 2 δ) del segmento CD. Por tanto, su vector director es

P Q = (−2 + μ + δ, −μ − δ, 2 μ − 2 δ). Necesitamos encontrar la relaci´on entre μ y δ. Para

ello, imponemos que el vector

P Q sea paralelo al plano de vector normal

BC ∧

AD, de

donde se deduce que

P Q ·

BC ∧

AD

Como

BC = (− 1 , − 1 , 2) y

AD = (− 1 , − 1 , −2), entonces

−2 + μ + δ −μ − δ 2 μ − 2 δ

= 0 ⇐⇒ δ = 1 − μ

0

En consecuencia, la generatriz pasa por los puntos P = (1 − μ, μ, 1 − 2 μ) y

Q = (−μ, μ − 1 , 2 μ − 1) y tiene vector director

P Q = (− 1 , − 1 , 4 μ − 2). Por tanto, para-

metrizamos la generatriz gen´erica y obtenemos as´ı las ecuaciones param´etricas de la su-

perficie: 

x = 1 − μ − λ

y = μ − λ

z = 1 − 2 μ + λ (4μ − 2)

, μ ∈ [0, 1] λ ∈ [0, 1]

Obs´ervese que x + y = 1 − 2 λ, mientras que x − y = 1 − 2 μ, por lo que

x

2 − y

2 = (x + y)(x − y) = (1 − 2 λ)(1 − 2 μ) = 1 − 2 μ − 2 λ + 4λμ = z

As´ı pues, la superficie tiene ecuaci´on impl´ıcita z = x

2 − y

2 y, por tanto, se trata de un

Paraboloide hiperb´olico. ⊗

o ) Es la superficie reglada generada por rectas que se apoyan en la recta

R : {x = t, y = t, z = 0} y tienen direcci´on (1, − 1 , 4 t).

Resoluci´on. Cada generatriz pasa por un punto P = (t, t, 0) y tiene vector director

v (t) = (1, − 1 , 4 t). As´ı que parametrizando la generatriz gen´erica obtenemos las ecua-

ciones param´etricas de la superficie:

x = t + λ

y = t − λ

z = 4 tλ

Obs´ervese que x

2 − y

2 = (t + λ)

2 − (t − λ)

2 = 4tλ = z, por lo que deducimos la ecuaci´on

impl´ıcita z = x

2 − y

2 , que corresponde al paraboloide hiperb´olico. ⊗

Ejemplo 2.9 Hallar las ecuaciones param´etricas e impl´ıcita de la superficie reglada de

directriz la circunferencia {x

2

• y

2 = 1, z = 0} y cuyas generatrices se apoyan en las

rectas R 1 : {x = 0, z = 1} y R 2 : {y = 0, z = − 1 }.

0