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Diferenciación de funciones de
varias variables
Introducción
En el tema anterior hemos aprendido a definir funciones y a obtener sus representa- ciones gráficas, ya sea en el plano o en el espacio. El objetivo de este tema es repasar algunas de las aplicaciones de la diferenciación de funciones de varias variables, ayudándonos de la potencia de Mathematica en el cálculo simbólico de derivadas parciales. Veremos así cómo resolver con la ayuda de Mathematica problemas de cálculo de planos tangentes, derivadas direccionales, diferenciales y derivación implícita, entre otros. Hay que tener en cuenta que Mathematica no dispone de ningún comando que calcule de forma directa las derivadas de una función definida de forma implícita por una ecuación en un entorno de un punto. Aunque dicho cálculo puede realizarse, el pro- ceso puede llegar a ser largo y tedioso. Por ese motivo, hemos creado un nuevo comando de Mathematica que calcule de forma automática dicha derivada, cuya defini- ción se muestra a continuación; dado que no es un comando del propio programa, habrá que copiar y pegar dichas líneas en un cuaderno de Mathematica y ejecutarlas antes de poder usarlo.
If@NameQ@"extVar"D, Attributes@extVarD = 8 <D; extVar@formula_D := Block@ 8 pat = _Symbol@___D@___D Subscript@_Symbol, __D@___D Subscript@_Symbol, _D Symbol, mivars<, mivars = Union@Cases@formula, pat, − 1 D; mivars = Delete@mivars, Position@mivars, DD; mivars = Delete@mivars, Position@mivars, πDD; Return@mivarsD; D Protect@extVarD; If@NameQ@"implicitDiff"D, Attributes@implicitDiffD = 8<D; implicitDiff@expr, vdep, vindep__D := Module@ 8 fvars, nvars, indvars, nder<, fvars = extVar@exprD; If@FreeQ@fvars, vdepD, Return@"La ecuación dada no contiene la variable" vdepDD;
indvars = 8 vindep<;
nder = Length@indvarsD; For@i = 1, i ≤ nder, i++,
If@FreeQ@fvars, indvars@@iDDD, Return@"La ecuación dada no contiene la variable" indvars@@iDDDDD; If@nder > 2,
Return@"Actualmente sólo está implementado hasta las derivadas segundas"DD;
nvars = Length@fvarsD − 1; If@nvars > 2,
Return@"Actualmente sólo está implementado hasta funciones de tres variables"DD;
If@nvars == 1, Block@8yx, yxx, ecua1, ecua2<, ecua1 = Dt@expr, indvars@@ 1 DDD; yx = Solve@ecua1 0, Dt@vdep, indvars@@ 1 DDDD@@1, 1, 2DD; If@nder 1, Return@yxD, Block@8<, ecua2 = Dt@ecua1, indvars@@ 2 DDD ê. Dt@vdep, indvars@@ 1 DDD → yx; yxx = Solve@ecua2 0, Dt@vdep, 8 indvars@@ 1 DD, 2<DD@@ 1, 1, 2DD; Return@Simplify@yxxDD; D; D; D, Block@8cte1, cte2, cte3, ecua1, ecua2, ecua3, z1, z2, z3<, cte1 = fvars; cte1 = Delete@cte1, Position@cte1, vdepDD; cte1 = Delete@cte1, Position@cte1, indvars@@ 1 DDDD; ecua1 = Dt@expr, indvars@@ 1 DD, Constants → cte1D; z1 = Solve@ecua1 0, Dt@vdep, indvars@@ 1 DD, Constants → cte1DD@@1, 1, 2DD; cte2 = fvars; cte2 = Delete@cte2, Position@cte2, vdepDD; cte2 = Extract@cte2, Position@cte2, indvars@@ 1 DDDD; ecua2 = Dt@expr, cte1, Constants → cte2D; z2 = Solve@ecua2 0, Dt@vdep, cte1@@ 1 DD, Constants → cte2DD@@1, 1, 2DD; If@nder 1, Return@z1D, Block@ 8 <, cte3 = fvars; cte3 = Delete@cte3, Position@cte3, vdepDD;
Ejemplo : Hallar todas las derivadas no nulas de la función f H x L = 2 x^3 + 8 x^2 - 2 x + 9 y evaluarlas en el punto x = 1.
H∗ Definimos primero la función de una variable ∗L f@x_D = 2 ∗ x^3 + 8 ∗ x^2 − 2 ∗ x + 9
9 − 2 x + 8 x^2 + 2 x^3
H∗ Calculamos la función derivada primera, que será una función de una variable ∗L H∗ Como no es nula, la evaluamos en x= 1 ∗L funa@x_D = D@f@xD, xD funa@ 1 D
− 2 + 16 x + 6 x^2
H∗ Calculamos la función derivada segunda, que será una función de una variable ∗L H∗ Como no es nula, la evaluamos en x= 1 ∗L fdos@x_D = D@f@xD, 8 x, 2<D fdos@ 1 D
16 + 12 x
H∗ Calculamos la función derivada tercera, que será una función de una variable ∗L H∗ Como no es nula, la evaluamos en x= 1 ∗L ftres@x_D = D@f@xD, 8 x, 3<D ftres@ 1 D
12
H∗ Calculamos la función derivada cuarta ∗L H∗ Como es nula, terminamos ∗L fcuatro@x_D = D@f@xD, 8 x, 4<D
Ejercicio 1 : La recta tangente a una curva y = f( x ) en un punto [a,f(a)] viene dada por y = f(a)+f ’ (a)·(x-a). Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = 8 x^3 + x^2 - 3 en
el punto x = 1.
Solución: y = 26x–
2.- D[f[x,y,...],var] :Calcula la derivada parcial respecto de la variable var ( x , y , ...) de la
función escalar de varias variables f(x,y,…). El resultado es una expresión analítica que se convertirá en una función usando la sintaxis adecuada.
Ejemplo :Hallar las derivadas parciales de f H x , y , z L = x^2 y - senH z L en el punto P(1,–1,p):
H∗ Definimos primero la función ∗L funcion@x_, y_, z_D = x^2 ∗ y − Sin@zD
x^2 y − Sin@zD
H∗ Calculamos ahora las tres funciones derivadas parciales, las cuales serán sendas funciones de tres variables ∗L funcionX@x_, y_, z_D = D@funcion@x, y, zD, xD funcionY@x_, y_, z_D = D@funcion@x, y, zD, yD funcionZ@x_, y_, z_D = D@funcion@x, y, zD, zD
2 x y
x^2
−Cos@zD
H∗ Calculamos la derivada segunda respecto de y dos veces ∗L fyy@x_, y_D = D@f@x, yD, y, yD
2 Log@xD x^2 y^3
H∗ Calculamos las derivadas segundas cruzadas ∗L H∗ Ambas son iguales por el teorema de Schwartz ∗L fxy@x_, y_D = D@f@x, yD, x, yD fyx@x_, y_D = D@f@x, yD, y, xD
x^3 y^2
2 Log@xD x^3 y^2
x^3 y^2
2 Log@xD x^3 y^2
Ejercicio 3 : Hallar las derivadas parciales segundas de f H x , y L = x^2 5 + y^2 + y^3 - 2 en
el punto P(1,2).
Solución: f ''xx H1, 2L = 6, f ''yy H1, 2L = 12.1852, f ''xy H1, 2L = 1.
4.- implicitDiff[F[x,y],vdep,vindep] : Dada la ecuación F( x , y ) = 0, que define de forma
implícita a la variable vdep ( x , y ) como función de una variable ( y , x ), calcula la derivada de vdep respecto de vindep. El resultado es una expresión analítica que se convertirá en una función usando la sintaxis adecuada. De forma análoga, es posible calcular derivadas de orden dos de la variable vdep mediante la sintaxis implicitDiff[F[x,y],vde- p,vindep,vindep] , pero no se pueden calcular derivadas de orden mayor que dos.
Ejemplo : La ecuación 3 x y = x^3 + y^3 define de forma implícita a y como función y = f( x )
en un entorno del punto P J 32 , 32 N. Hallar las derivadas de primer y segundo orden de
f( x ) en el punto P.
H∗ Definimos primero la ecuación del enunciado como una función de dos variables, pasando todos sus términos al lado izquierdo del signo de igualdad ∗L F@x_, y_D = 3 ∗ x ∗ y − x^3 − y^
−x^3 + 3 x y − y^3
H∗ Calculamos la derivada primera y'HxL, y la definimos como una función de dos variables ∗L yx@x_, y_D = implicitDiff@F@x, yD, y, xD
x^2 − y x − y^2
H∗ Finalmente evaluamos esta derivada en el punto PH 3 ê2,3ê 2 L ∗L yx@ 3 ê 2, 3 ê 2 D
H∗ Calculamos ahora la derivada segunda y''HxL, y la definimos como una función de dos variables ∗L yxx@x_, y_D = implicitDiff@F@x, yD, y, x, xD
2 x y I 1 + x^3 − 3 x y + y^3 M
Ix − y^2 M^3
H∗ Finalmente evaluamos esta derivada en el punto PH 3 ê2,3ê 2 L ∗L yxx@ 3 ê 2, 3 ê 2 D
Ejercicio 4 : La ecuación x^2 y + x y^2 = 12 define implícitamente a y como función y =
f( x ) en un entorno del punto P(1,3). Calcular las derivadas de primer y segundo orden de f( x ) en el punto P.
Solución: f ' H1, 3L = - 157 , f '' H1, 3L = (^936343)
5.- implicitDiff[F[x,y,z],vdep,vindep] : Dada la ecuación F( x , y, z) = 0, que define de
forma implícita a la variable vdep ( x , y, z) como función de dos variables ({ y , z }, { x , z }, { x , y }), calcula la derivada de vdep respecto de vindep. El resultado es una expresión analítica que se convertirá en una función usando la sintaxis adecuada. De forma análoga, es posible calcular derivadas de orden dos de la variable vdep mediante la sintaxis implicitDiff[F[x,y,z],vdep,vind1,vind2] , pero no se pueden calcular derivadas
H∗ Calculamos ahora las tres derivadas parciales segundas, y las definimos como funciones de tres variables ∗L zxx@x_, y_, z_D = implicitDiff@F@x, y, zD, z, x, xD zxy@x_, y_, z_D = implicitDiff@F@x, y, zD, z, x, yD zyy@x_, y_, z_D = implicitDiff@F@x, y, zD, z, y, yD
−I 2 I27 x^4 z + y z − 3 x^2 Iy − 9 z^2 M + x I3 y^2 − z − 18 y z^2 + 27 z^4 MMM í
Ix − y + 3 z^2 M^3
I−3 x^3 − x I3 y^2 + 2 zM + 3 x^2 Iy + 18 y^2 z + 3 z^2 M + y I3 y^2 + 2 z + 9 y z^2 MM í
Ix − y + 3 z^2 M^3
I6 x^2 y + x I−6 y^2 + 2 z + 36 y z^2 M − 2 y z I 1 + 27 y^3 + 27 y z − 27 z^3 MM í
Ix − y + 3 z^2 M^3
H∗ Evaluamos estas derivadas en el punto PH1,1,1L ∗L zxx@1, 1, 1D zxy@1, 1, 1D zyy@1, 1, 1D
Ejercicio 5 : La ecuación z^3 + 3 x^2 z = x y define de forma implícita a z como función z = f( x , y ) en un entorno del punto P(1,4,1). Calcular las derivadas parciales segundas de f( x , y ) en dicho punto.
Solución: z ''xx H1, 4, 1L = - 49 , z ''xy H1, 4, 1L = 181 , z ''yy H1, 4, 1L = - 361
Problemas resueltos
Mostramos en este apartado una colección de problemas del tema de Diferenciación de funciones de varias variables resueltos con la ayuda de Mathematica. Todos los problemas están explicados paso a paso para un mejor aprendizaje, y sirven de ejem- plo de cómo utilizar el programa Mathematica para resolver los problemas de la asignatura.
Problema 1
Dada la función f H x , y L = x y + y x^2 - 1 , comprobar que se verifica la ecuación
diferencial
∑ x
f H x , y L
∑ y
f H x , y L = x
∑ x
f H x , y L + y
∑ y
f H x , y L.
Borramos todas las variables y funciones definidas previamente, ignorando los men- sajes de advertencia que se muestran (los cuales se deben a que hemos definido un nuevo comando, implicitDiff , que no queremos borrar).
Clear@"Global`∗"D
Definimos primero la función dada:
f@x_, y_D = x ∗ y + y ∗ Sqrt@x^2 − 1 D
x y + − 1 + x^2 y
Calculamos las dos funciones derivadas parciales que aparecen en el enunciado, las cuales son a su vez funciones de dos variables ( x , y ):
fx@x_, y_D = D@f@x, yD, xD fy@x_, y_D = D@f@x, yD, yD
y +
x y
− 1 + x^2
x + − 1 + x^2
Finalmente, comprobamos que se verifica la ecuación diferencial del enunciado:
fx@x_, y_D = D@f@x, yD, xD fy@x_, y_D = D@f@x, yD, yD z0 = f@Pi ê 2, 2D fx0 = fx@Pi ê 2, 2D fy0 = fy@Pi ê 2, 2D
y Cos@xD
Sin@xD
Sustituimos estas derivadas parciales en la ecuación del plano tangente, y definimos éste como una función de dos variables.
pltg@x_, y_D = z0 + fx0 ∗ Hx − Pi ê 2 L + fy0 ∗ Hy − 2 L
y
Por lo tanto, el plano tangente pedido tiene por ecuación z = y. Para comprobar gráfica- mente este resultado, vamos a representar simutáneamente tanto la superficie como el plano tangente, empleando intervalos que estén centrados en el punto de tangencia.
Plot3D@ 8 f@x, yD, pltg@x, yD<, 8 x, Pi ê 2 − 1, Pi ê 2 + 1 <, 8 y, 1, 3<, PlotStyle → 8 Red, Blue<D
Problema 3
Calcular el plano tangente y la recta normal a la superficie de ecuaciones paramétri- cas x = u·sen(u)·cos(v), y = u·cos(u)·cos(v) y z = u·sen(v) en el punto P I u = p 2 , v = 0 M. Comprobar gráficamente los resultados.
Borramos todas las variables y funciones definidas previamente.
Clear@"Global`∗"D
Definimos primero las ecuaciones paramétricas de la superficie dada como funciones de dos variables:
xpar@u_, v_D = u ∗ Sin@uD ∗ Cos@vD ypar@u_, v_D = u ∗ Cos@uD ∗ Cos@vD zpar@u_, v_D = u ∗ Sin@vD
u Cos@vD Sin@uD
u Cos@uD Cos@vD
u Sin@vD
Aunque no es necesario, podemos representar gráficamente la superficie y visualizarla globalmente:
u0 = Pi ê 2 v0 = 0 x0 = xpar@u0, v0D y0 = ypar@u0, v0D z0 = zpar@u0, v0D
π 2 0 π 2 0 0
Dicho punto de tangencia es por tanto P I p 2 , 0, 0M. Calculamos ahora las derivadas
parciales de las ecuaciones paramétricas respecto de sus dos variables. Derivamos primero respecto de la variable u:
xparU@u_, v_D = D@xpar@u, vD, uD yparU@u_, v_D = D@ypar@u, vD, uD zparU@u_, v_D = D@zpar@u, vD, uD
u Cos@uD Cos@vD + Cos@vD Sin@uD
Cos@uD Cos@vD − u Cos@vD Sin@uD
Sin@vD
Derivamos ahora respecto de la variable v:
xparV@u_, v_D = D@xpar@u, vD, vD yparV@u_, v_D = D@ypar@u, vD, vD zparV@u_, v_D = D@zpar@u, vD, vD
−u Sin@uD Sin@vD
−u Cos@uD Sin@vD
u Cos@vD
Definimos ahora la matriz cuyo determinante proporciona la ecuación del plano tan- gente pedido:
A = 88 x − x0, y − y0, z − z0<, 8 xparU@u0, v0D, yparU@u0, v0D, zparU@u0, v0D<, 8 xparV@u0, v0D, yparV@u0, v0D, zparV@u0, v0D<<; MatrixForm@AD
− π 2 + x y z 1 − π 2 0 0 0 π 2
La ecuación del plano tangente pedido se obtiene al anular a cero el determinante de esta matriz; definimos entonces su ecuación implícita como una función de tres variables:
pltg@x_, y_, z_D = Det@AD Simplify@pltg@x, y, zDD
π
π^2 4
π x 2
− y
π Iπ^2 − 2 π x − 4 yM
Como la ecuación del plano tangente es pltg( x , y , z ) = 0, podemos simplificarla si la multiplicamos por 8 y la dividimos por p (aunque no es necesario hacerlo para resolver el problema):
pltg@x_, y_, z_D = Simplify@Det@AD ∗ 8 ê PiD
π^2 − 2 π x − 4 y
g1 = ParametricPlot3D@ 8 xpar@u, vD, ypar@u, vD, zpar@u, vD<, 8 u, Pi ê 2 − 1, Pi ê 2 + 1 <, 8 v, −1, 1<, PlotStyle → RedD; g2 = ContourPlot3D@pltg@x, y, zD 0, 8 x, Pi ê 2 − 1, Pi ê 2 + 1 <, 8 y, −1, 1<, 8 z, −1, 1<, ContourStyle → BlueD; g3 = ParametricPlot3D@ 8 xNormal@tD, yNormal@tD, zNormal@tD<, 8 t, − 1 ê 2, 1 ê 2 <, PlotStyle → GreenD; Show@g1, g2, g3, AxesLabel −> 8 "eje x", "eje y", "eje z"<D
Problema 4
Dada la superficie z = f H x , y L, definida de forma implícita por la ecuación F H x , y , z L = z^2 - x z + y^2 - 1 = 0, se pide:
a) Hallar las defivadas parciales de f ( x , y ) respecto de x y de y. b) Hallar la derivada direccional de f( x , y ) en el punto P(1,1,1) según la dirección de la recta y = x en sentido creciente de ésta. c) Obtener la dirección y el valor de la derivada direccional máxima en el punto P(1,1,1). d) Obtener el plano tangente a la superficie dada en el punto P(1,1,1). e) Calcular la derivada parcial segunda f xx '' en el punto P(1,1,1).
Borramos todas las variables y funciones definidas previamente.
Clear@"Global`∗"D
a) Definimos primero la función de tres variables que constituye la ecuación implícita de la superficie:
fSup@x_, y_, z_D = z^2 − x ∗ z + y^2 − 1
− 1 + y^2 − x z + z^2
Comprobamos que el punto P(1,1,1) pertenece a la superficie dada
fSup@1, 1, 1D
0
Podemos comprobar que la ecuación dada define efectivamente la función z = f( x , y ), calculando las derivadas parciales de la función fSup( x , y , z ):
fSupx@x_, y_, z_D = D@fSup@x, y, zD, xD fSupy@x_, y_, z_D = D@fSup@x, y, zD, yD fSupz@x_, y_, z_D = D@fSup@x, y, zD, zD
−z
2 y
−x + 2 z
Puesto que las tres funciones derivadas parciales son continuas en R^3 (pues son polinómicas), la función z = f( x , y ) está definida implicitamente en cualquier punto en el cual F ' z ∫ 0, es decir, siempre que x ∫ 2 z , como ocurre, por ejemplo, en el punto P(1,1,1).
Hallamos, aplicando derivación implícita, las dos derivadas primeras de la función z = f( x , y ), y las definimos como sendas funciones de tres variables:
zx@x_, y_, z_D = implicitDiff@fSup@x, y, zD, z, xD zy@x_, y_, z_D = implicitDiff@fSup@x, y, zD, z, yD
z −x + 2 z
2 y x − 2 z
b) Un vector director de la recta y = x es V = (1,1). Dividiendo por su módulo ( 2 ) para
que sea unitario, resulta que el vector de la derivada direccional será U = J 1 2
2
N. La
