Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
El proceso de descomposición de polinomios en términos de complexos, incluyendo conceptos como conjuntos numéricos, raíces, operaciones y pasos entre formas binomias, trigonométricas y exponenciales polar. Se presentan ejemplos para ilustrar el proceso.
Tipo: Diapositivas
1 / 23
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Outline
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Outline
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Els reals. Axioma del suprem
Naturals N = { 0 , 1 , 2 , 3 ,.. .}
Enters Z = {... , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,.. .}
Racionals Q = {
m
n
, m, n ∈ Z, n 6 = 0}.
Reals R = Q ∪ I.
Expressats amb decimals,
infinit amb algun per´ıode.
Complexos C = {a + bi, a, b ∈ R, i =
− 1 } (i se’n diu unitat imagin`aria).
Outline
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Els reals. Axioma del suprem
Axioma del suprem per a R
Tot conjunt ∅ 6 = A ⊂ R fitat superiorment t´e suprem,
´es a dir, existeix α ∈ R, tal que α =sup(A)
Axioma de l’´ınfim per a R
Tot conjunt ∅ 6 = A ⊂ R fitat inferiorment t´e ´ınfim,
´es a dir, existeix β ∈ R, tal que β =´ınf(A)
Exemple. Sigui A = [− 2 , 1] ∪ (3, 7) ⊂ R. Trobeu el conjunt de cotes superiors i
inferiors, aix´ı com el suprem, ´ınfim, m`axim i m´ınim, en cas d’existir.
S
I
S = {x ∈ R : x ≥ 7 }
I
= {x ∈ R : x ≤ − 2 }
∅ 6 = A ⊂ R fitat
sup(A)=7 ∈/ A =⇒6 ∃ m`ax(A)
´ınf(A)=-2 ∈ A =⇒ m´ın(A)=-
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Argument
Pas entre formes
Arrels
Forma bin`omica z =a + bi
on a, b ∈ R i i =
− 1 ´es la unitat imagin`aria.
∀k ∈ N,
i
4 k = 1
i
4 k+ = i
i
4 k+ = − 1
i
4 k+ = −i
m = 4k + r =⇒ i
m = i
r .
Representaci´o: cada z ∈ C, es pot representar com a un punt en el pla complex:
Re(z)=a part real
Im(z)=b part imagin`aria
a = |z| cos θ
b = |z| sin θ
eix real
eix imaginari
|z| =
a
2
2 m`odul
tan θ =
b
a
L’argument principal de z ´es l’´unic θ, ∈ (−π, π] tal que a = |z| cos θ, b = |z| sin θ.
L’argument ´es arg(z)=qualsevol dels elements del conjunt {θ + 2kπ, ∀k ∈ Z}
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Argument
Pas entre formes
Arrels
Bin`omica z = a + bi Exponencial z = |z|e
θi
z 1
= a 1
i z 2
= a 2
i z 1
= |z 1
|e
θ 1 i z 2
= |z 2
|e
θ 2 i
z 1
z 1 · z 2 a 1 a 2 − b 1 b 2
(θ 1 +θ 2 )i
z 1
z 2
z 1 z 2
z 2 z 2
on z 2 = a 2 − b 2 i
|z 1 |
|z 2 |
e
(θ 1
−θ 2
)i
z 2 z 2 = a
2
2
2
2
= |z 2
2
z
n (a + bi)
n |z|
n e
nθi
n
z – {
n
|z|e
θ+2kπ
n
i
k = 0, 1 , · · · , n − 1 }
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Argument
Pas entre formes
Arrels
L’argument principal de z ´es l’´unic θ ∈ (−π, π] t.q. a = |z| cos θ, b = |z| sin θ.
I aleshores, l’argument ´es:
arg(z)= qualsevol dels elements del conjunt {θ + 2kπ, ∀k ∈ Z}
Alguns exemples senzills:
Imaginaris purs: z = b i, b ∈ R
a = 0 =⇒
θ = π/ 2 si b > 0
θ = −π/ 2 si b < 0
Reals purs: z = a ∈ R
b = 0 =⇒
θ = 0 si a > 0
θ = π si a < 0
z = − 3 i = 3e
0 i
z = − 3 i = 3e
π
2
i
z = − 3 i = 3e
πi
z = − 3 i = 3e
3 π
2
i = 3e
−π
2
i
p
p/
3p/
z= 0
z=3i
z= -3i
z= -
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Argument
Pas entre formes
Arrels
2p- p/
p+ p/
p-p/
p/ p/ p/
α∈ Q 2 α∈ Q 3 α∈ Q 4
cos(π −
π
6
) = – cos(
π
6
) cos(π +
π
3
) = – cos(
π
3
) cos(2π −
π
6
) = cos(
π
6
sin(π −
π
6
) = sin(
π
6
) sin(π +
π
3
) = – sin(
π
3
) sin(2π −
π
6
) = – sin(
π
6
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Argument
Pas entre formes
Arrels
Sigui z = a + bi amb a 6 = 0 i b 6 = 0.
Com trobar arg(z) =θ?
Busquem la relaci´o de θ amb l’angle α∈ Q 1 tal que: tan α = |b|/|a|
a > 0 , b > 0 =⇒ arg(z) = α ∈ Q 1
a < 0 , b > 0 =⇒ arg(z) = π − α ∈ Q 2
a < 0 , b < 0 =⇒ arg(z) = π + α ∈ Q 3
arg(z) = (π + α) − 2 π = α − π
a > 0 , b < 0 =⇒ arg(z) = 2π − α ∈ Q 4
arg(z) = (2π − α) − 2 π = −α
Hem donat l’argument en l’interval [0, 2 π) i en el cas de no ser el principal, tamb´e
hem trobat aquest ´ultim que recordeu est`a en (−π, π].
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Argument
Pas entre formes
Arrels
Pas de bin`omica a exponencial o polar
M`odul: |z| =
a
2
2
Argument θ: tan θ =
b
a Exemple 1.
z = −1 +
3 i =⇒ |z| =
2
2 = 2
a = − 1 < 0 , b =
3 > 0 =⇒ θ ∈ Q 2
tan α =
|
√
3 |
|− 1 |
=⇒ α = π/ 3 ,
p - p/3=
p/
2p/
z= -1+ 3 i
=⇒ θ = π −
π
3
=⇒ z = 2 2 π
3
≡ 2 e
i
2 π
3
En aquest cas, l’argument 2 π/ 3 ´es el principal (−π < θ ≤ π).
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Argument
Pas entre formes
Arrels
Pas de bin`omica a exponencial o polar
M`odul: |z| =
a
2
2
Argument θ: tan θ =
b
a Exemple 2.
z = − 1 −
3 i =⇒ |z| =
2
2 = 2
a = − 1 < 0 , b = −
3 < 0 =⇒ θ ∈ Q 3
tan α =
|−
√
3 |
|− 1 |
=⇒ α = π/ 3 ,
p + p/
p/
-2p/
z= -1- 3 i
=⇒ θ = π +
π
3
=⇒ z = 2 4 π
3
≡ 2 e
i
4 π
3
Expressat amb l’argument principal θ ∈ (−π, π], z = 2 4 π
3
− 2 π
−
2 π
3
≡ 2 e
−i
2 π
3 .
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Argument
Pas entre formes
Arrels
Pas d’exponencial o polar a bin`omica a = |z| cos θ, b = |z| sin θ
p - p/3=
p/
2p/
Exemple 1.
z = 2e
2 π
3
i
= 2 cos(
2 π
) + 2 sin(
2 π
)i =
= −2 cos(
π
) + 2 sin(
π
)i = −1 +
3 i
4p/
p/
p+p/3=
Exemple 2.
z = 2e
4 π
3
i = 2 cos(
4 π
) + 2 sin(
4 π
)i =
= −2 cos(
π
) − 2 sin(
π
)i = − 1 −
3 i
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Argument
Pas entre formes
Arrels
Pas d’exponencial o polar a bin`omica a = |z| cos θ, b = |z| sin θ
-p/
p/
Exemple 3.
z = 2 −π
3
= 2 cos(
−π
) + 2 sin(
−π
)i =
= 2 cos(
π
) − 2 sin(
π
)i = 1 −
3 i
-p/
p/ 6
6
11p/ 6
Exemple 4.
z = 2 11 π
6
= 2 cos(
11 π
) + 2 sin(
11 π
)i =
= 2 cos(
π
) − 2 sin(
π
)i =
3 − i
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Argument
Pas entre formes
Arrels
Arrels
n
z =
n
|z|e
θi = {
n
|z| e
θ+2kπ
n
i , k = 0, · · · , n − 1 } =
n
|z| e
(
θ
n
2 kπ
n
)i
, k = 0, · · · , n − 1 }
Observa que:
Tot nombre complex t´e n arrels n-`esimes
La difer`encia d’angles entre dues arrels consecutives ´es de
2 π
n
Arrels quadrades n = 2
Exemple.
3 i =
2 e
−
2 π
3
2 e
(
−
2 π
3
2
2 kπ
2
)i
, k = 0, 1 } =
2 e
−π
3
i
,
2 e
(
−π
3
+π)i
}
-p/
2p/
+p
complexos oposats z 2
= −z 1
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Argument
Pas entre formes
Arrels
Arrels
n
z =
n
|z|e
θi = {
n
|z| e
θ+2kπ
n
i
, k = 0, · · · , n − 1 } =
n
|z| e
(
θ
n
2 kπ
n
)i , k = 0, · · · , n − 1 }
Arrels c´ubiques n = 3
Exemple.
3
3
27 e
3
27 e
(
0
3
2 kπ
3
)i , k = 0, 1 , 2 } =
= { 3 e
0 i , 3 e
2 π
3
i , 3 e
4 π
3
i }
2p/
4p/
+2p/
