Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Este documento explica perfectamente la materia de calculo de 1 año de carrera, MUY RECOMENDABLE!
Tipo: Apuntes
1 / 24
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Outline
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Outline
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Els reals. Axioma del suprem
Naturals N = { 0 , 1 , 2 , 3 ,.. .}
Enters Z = {... , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,.. .}
Racionals Q = {
m
n
, m, n ∈ Z, n 6 = 0}.
Reals R = Q ∪ I.
Expressats amb decimals,
infinit amb algun per´ıode.
Complexos C = {a + bi, a, b ∈ R, i =
− 1 } (i se’n diu unitat imagin`aria).
Outline
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Els reals. Axioma del suprem
Axioma del suprem per a R
Tot conjunt ∅ 6 = A ⊂ R fitat superiorment t´e suprem,
´es a dir, existeix α ∈ R, tal que α =sup(A)
Axioma de l’´ınfim per a R
Tot conjunt ∅ 6 = A ⊂ R fitat inferiorment t´e ´ınfim,
´es a dir, existeix β ∈ R, tal que β =´ınf(A)
Exemple. Sigui A = [− 2 , 1] ∪ (3, 7) ⊂ R. Trobeu el conjunt de cotes superiors i
inferiors, aix´ı com el suprem, ´ınfim, m`axim i m´ınim, en cas d’existir.
S
I
S = {x ∈ R : x ≥ 7 }
I
= {x ∈ R : x ≤ − 2 }
∅ 6 = A ⊂ R fitat
sup(A)=7 ∈/ A =⇒6 ∃ m`ax(A)
´ınf(A)=-2 ∈ A =⇒ m´ın(A)=-
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Argument
Pas entre formes
Arrels
Forma bin`omica z =a + bi
on a, b ∈ R i i =
− 1 ´es la unitat imagin`aria.
∀k ∈ N,
i
4 k = 1
i
4 k+ = i
i
4 k+ = − 1
i
4 k+ = −i
m = 4k + r =⇒ i
m = i
r .
Exemple: i
2021 = i
4 ·505+ = (i
4 )
505 · i = 1
505 · i = i
Donat z = a + bi,
El conjugat de z ´es: z = a − bi
Observa que z ∈ R ⇐⇒ z = z
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Argument
Pas entre formes
Arrels
Formes d’expressi´o.
z = a + b i
= |z| cos θ + |z| sin θi
= |z|(cos θ + sin θi) = |z|e
θi
= |z| θ
binomica trigonometrica exponencial polar
La forma exponencial prov´e de la f´ormula de Euler.
F´ormula de Euler. e
θi = cos θ + i sin θ ∀θ ∈ R
Com a conseq¨u`encia,
F´ormula de Moivre. (cos θ + i sin θ)
k = cos(kθ) + i sin(kθ) k ∈ Z
Prenent z = cos θ + sin θi = e
θi =⇒ z
k = e
kθi = cos(kθ) + i sin(kθ)
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Argument
Pas entre formes
Arrels
Bin`omica z = a + bi Exponencial z = |z|e
θi
z 1
= a 1
i z 2
= a 2
i z 1
= |z 1
|e
θ 1 i z 2
= |z 2
|e
θ 2 i
z 1
z 1 · z 2 a 1 a 2 − b 1 b 2
(θ 1 +θ 2 )i
z 1
z 2
z 1 z 2
z 2 z 2
on z 2 = a 2 − b 2 i
|z 1 |
|z 2 |
e
(θ 1
−θ 2
)i
z 2 z 2 = a
2
2
2
2
= |z 2
2
z
n (a + bi)
n |z|
n e
nθi
n
z – {
n
|z|e
θ+2kπ
n
i
k = 0, 1 , · · · , n − 1 }
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Argument
Pas entre formes
Arrels
Raons trigonom`etriques dels angles principals al Q1:
π
6
π
4
π
3
π
2
sin 0
1
2
√
2
2
√
3
2
cos 1
√
3
2
√
2
2
1
2
tan 0
1 √
3
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Argument
Pas entre formes
Arrels
2p- p/
p+ p/
p-p/
p/ p/ p/
α∈ Q 2 α∈ Q 3 α∈ Q 4
cos(π −
π
6
) = – cos(
π
6
) cos(π +
π
3
) = – cos(
π
3
) cos(2π −
π
6
) = cos(
π
6
sin(π −
π
6
) = sin(
π
6
) sin(π +
π
3
) = – sin(
π
3
) sin(2π −
π
6
) = – sin(
π
6
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Argument
Pas entre formes
Arrels
Forma binomica z =a + b i Forma trigonometrica z =|z| cos θ + |z| sin θ i
eix real
eix imaginari
Bin`omica−→Exponencial o polar:
M`odul: |z| =
a
2
2
Argument θ: tan θ =
b
a
principal: −π < θ ≤ π
Forma exponencial z =|z|e
θi Polar z = |z| θ
Exponencial o polar−→Bin`omica a = |z| cos θ, b = |z| sin θ
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Argument
Pas entre formes
Arrels
Pas de bin`omica a exponencial o polar
M`odul: |z| =
a
2
2
Argument θ: tan θ =
b
a Exemple 1.
z = −1 +
3 i =⇒ |z| =
2
2 = 2
a = − 1 < 0 , b =
3 > 0 =⇒ θ ∈ Q 2
tan α =
|
√
3 |
|− 1 |
=⇒ α = π/ 3 ,
p - p/3=
p/
2p/
z= -1+ 3 i
=⇒ θ = π −
π
3
=⇒ z = 2 2 π
3
≡ 2 e
i
2 π
3
En aquest cas, l’argument 2 π/ 3 ´es el principal (−π < θ ≤ π).
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Argument
Pas entre formes
Arrels
Pas de bin`omica a exponencial o polar
M`odul: |z| =
a
2
2
Argument θ: tan θ =
b
a Exemple 3.
z =
3 − i =⇒ |z| =
2
2 = 2
a =
3 > 0 , b = − 1 < 0 =⇒ θ ∈ Q 4
tan α =
|− 1 |
|
√
3 |
=⇒ α = π/ 6 ,
-p/
p/ 6
6
11p/ 6 z= 3-i
=⇒ θ = 2π −
π
6
=⇒ z = 2 11 π
6
≡ 2 e
i
11 π
6
Expressat amb l’argument principal θ ∈ (−π, π], z = 2 11 π
6
− 2 π
−
π
6
≡ 2 e
−i
π
6
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Argument
Pas entre formes
Arrels
Pas d’exponencial o polar a bin`omica a = |z| cos θ, b = |z| sin θ
p - p/3=
p/
2p/
Exemple 1.
z = 2e
2 π
3
i
= 2 cos(
2 π
) + 2 sin(
2 π
)i =
= −2 cos(
π
) + 2 sin(
π
)i = −1 +
3 i
4p/
p/
p+p/3=
Exemple 2.
z = 2e
4 π
3
i = 2 cos(
4 π
) + 2 sin(
4 π
)i =
= −2 cos(
π
) − 2 sin(
π
)i = − 1 −
3 i
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Argument
Pas entre formes
Arrels
Pas d’exponencial o polar a bin`omica a = |z| cos θ, b = |z| sin θ
Si l’angle ´es m´es gran que 2 π aleshores el redu¨ım a la primera volta.
Exemple.
z = e
59
π
6
i
= e
8 πi
e
11
6
πi
= e
11
6
πi
= e
(
11
6
π− 2 π)i
= e
−
π
6
i
=
π
2 π =
2 π =
2 π +
2 π = 8π +
π
= cos(
−π
) + sin(
−π
)i = cos(
π
) − sin(
π
)i =
i
Conjunts num`erics. Els nombres reals
Conjunts num`erics. Els complexos
Descomposici´o de polinomis
Argument
Pas entre formes
Arrels
Arrels
n
z =
n
|z|e
θi = {
n
|z| e
θ+2kπ
n
i , k = 0, · · · , n − 1 } =
n
|z| e
(
θ
n
2 kπ
n
)i
, k = 0, · · · , n − 1 }
Observa que:
Tot nombre complex t´e n arrels n-`esimes
La difer`encia d’angles entre dues arrels consecutives ´es de
2 π
n
Arrels quadrades n = 2
Exemple.
3 i =
2 e
−
2 π
3
2 e
(
−
2 π
3
2
2 kπ
2
)i
, k = 0, 1 } =
2 e
−π
3
i
,
2 e
(
−π
3
+π)i
}
-p/
2p/
+p
complexos oposats z 2
= −z 1
