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T3: INTERVALO DE CONFIANZA
1. Intervalo de confianza para el estadístico proporción: Distribución normal
Quiero conocer algo de la población que desconozco, en este caso la proporción de algo. Al azar selecciono una muestra y a partir del estadístico estimo cual es el verdadero valor de la población. La muestra no siempre será óptima a causa del azar y representatividad.
Cómo minimizar estos problemas del azar: contra más muestra mejor
- ¿Cómo conocer el valor verdadero de la población?
Estimación puntual: no la utiliza nadie porque depende de mucho de la representatividad de la muestra para aproximarse. Estimación por intervalo: se calcula un límite inferior (li = π^ - e) y uno superior (l (^) s = π^ + e). Estos límites son valores razonables donde puede estar el verdadero valor de la muestra. Si en lugar de estimación puntual, hacemos por intervalo, influye más el valor de la población. La puntual es más precisa pero es más probable que ese verdadero valor lo tenga el de intervalo. Es equilibrio entre precisión i información.
- Caso de la población infinita (¿N?):
L (^) i = p - Zα/2 x ( )
L (^) s = p + Zα/2 x ( )
En el intervalo de confianza para proporción, la condición de aplicación (n x Li ≥ 5 ; n x (1-Li ≥ 5) ; n x Ls ≥ 5 ; n x (1-Ls ≥ 5) no sé puede calcular a priori, solo a posteriormente ya que se necesitan los limites inferiores y superiores. En este caso (intervalo de confianza) 1-α no es una probabilidad, sino el nivel de confianza.
Población ¿ ?
Al azar (^) Muestra π^
estimar
Cuanto mayor sea el valor de este, más ancho será el intervalo de confianza. No es una probabilidad de contener el verdadero parámetro, sino un nivel de confianza porque depende del nivel de bondad de la estimación de la muestra.
- Caso población finita (N): los conceptos son los mismos pero solo cambia un aspecto de cálculo:
L (^) i = p - Zα/2 x ( ) x
L (^) s = p + Zα/2 x ( ) x
Ejemplo:
Prob (π € (0,04 ; 0,16) ≈ 0,
- Población finita:
- El límite inferior será: X¯ - τ (^) v, α/2 x (^) x
- El límite superior será: X¯ + τ (^) v, α/2 x x
- Se conoce la desviación estándar pero no la distribución (es un caso no real):
- El límite inferior será: X¯ - τ (^) v, α/2 x
- El límite superior será: X¯ + τ (^) v, α/2 x
- La distribución de t- student es útil para muestras pequeñas, pero en muestras razonablemente grandes (v=30) ya es igual que la normal, por lo que se puede utilizar la fórmula de la normal. Ejemplo:
Se cambia la S por Sigma. Ya que la S lo que pretende es estimar Sigma.
Prob (π € (45,4 ; 54,6)) ≈ 0,
3. Intervalo de confianza para el estadístico variancia: Ji-cuadrado
Si la variable aleatoria se distribuye normalmente en la población: Fórmula: ν = n-1 se corresponde con la distribución Ji-cuadrado (X 2 ν) Esta distribución no es simétrica por lo que el intervalo de confianza tampoco estará centrado. Para n ≥ 100: Fórmula: Esta muestra al ser mayor de 100, la distribución será igual a la normal, por lo que no hará falta utilizarla, con la normal ya estaría bien.
- Estimar una media conocer una muestra (n):
Poblaciones infinitas o finitas con reposición:
Poblaciones finitas:
En caso de que sea decimal, siempre se coge el entero superior. Para asegurarse de que se cumplen los criterios, siempre se coge una unidad más. Ej: 1006,3 1007. Se debe verificar que la muestra sea mayor de 100.
