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d’Estadística
Aplicada
1. DESIGUALDADES
1.- Demostrar las siguientes desigualdades:
a) Sea x ≥ 0 un número real. Demostrar que
x
b) Sea x un número real. Demostrar que
2 ≤
x
2.- Sea a ≥ 0 un número real. Demostrar que
( 2 n + 1 ) an^ ≤ 1 + a + a^2 +...+ a^2^ n
3.- Sea a , b , c ≥ 0. Demostrar que
ab ( a + b )+ bc ( b + c )+ ca ( c + a )≥ 6 abc
4.- Sean a,b,c los lados de un triángulo. Se designa su perímetro por P , es decir, P = a + b + c ,
y su área por A , A = p ( p − a )( p − b )( p − c ), donde p es el semiperímetro. Demostrar:
P^2 ≥ 12 3 A
5.- Demostrar las desigualdades siguientes:
a) Sea x , y , z ≥ 0. Demostrar que
x^2 + y^2 + z^2 ≥ xy + yz + zx
b) Sea a , b , c ≥ 0. Demostrar
a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 ≥ abc ( a + b + c ) 6.- Sea a , b , c ≥ 0. Demostrar que
( a + b )( b + c )( c + a )≥ 8 abc
d’Estadística
Aplicada
7.- Sea a , b , c ≥ 0. Demostrar que
( a^2^ b + b^2 c + c^2 a )( ab^2 + bc^2 + ca^2 )≥ 9 a^2 b^2 c^2
8.- Sean a,b,c los lados de un triángulo. Demostrar que:
( a + b − c )( b + c − a )( c + a − b )≤ abc
9.- Sea a , b , c , d ≥ 0. Si s = a + b + c + d. Demostrar que
( s − a )( s − b )( s − c )( s − d )≥ 81 abcd
10.- Si a , b , c ≥ 0 , demostrar que:
( a + b + c )( ab + bc + ca )≥ 9 abc
11.- Si a ,^^ b , c ≥^0 , demostrar que:
5 3 5
abc ≤ ⎛^ a + b + c
12.- Sea a , b , c ≥ 0 , demostrar que
a) (^ a^ + b + c )^6 ≥^432 ab^2 c^3
b) ( a + b + c ) 6 ≥ 144 abc ( ab 2 + bc^2 + ca^2 )
13.- Sea a > 0 i Sea p , q , r ∈ N. Demostrar que
p + q + r ≤ paq^ −^ r + qar − p + rap −^ q
14.- Sea a , b , c ≥ 0 números reales. Demostrar que
2 / 3 1 / 5 2 / 15 15
(^2) a + b + c ≥ a b c
15.- Sea a , b , c ≥ 0 i p , q , r números racionales positivos tales que p + q + r = 1. Demostrar que:
a) pa + qb + rc ≥ ap^ bqcr
b) a + b + c ≥ ap^ bqcr + aqbrcp + arbpcq
d’Estadística
Aplicada
29.- Sea a , b , c > 0. Demostrar
( ) ( ) (^) ⎟⎟ ⎠
+ + ⎛^ + +
2 2 2
a b c
a b c a b c
a b c
33.- Sea p , q , r ∈ N. Demostrar que
a) ( ) ( ) p q r p q r
p q r p q r p q r + + p q r
(^2) + 2 + (^2) ≥ + +
b) p^ + q + rppq^ qrr ≥ ( p + q + r ) 3
34.- Sea a , b , c > 0 , p , q , r ∈ N. Demostrar que
( ) ( ) ( ) ⎟ ⎠
⎟+ ⎛^ +
⎟+ ⎛^ +
c a
r b c
q a b
p
p q r p q r
pa b qb c rc a 1 1 1 1 1 1
36.- Sea a , b , c , p , q , r > 0 números reales. Demostrar que
a) ( ) ( p q r )^2 c
r b
q a
pa qb rc p ≥ + + ⎟ ⎠
+ + ⎛^ + +
b) ( ) (^) ⎟⎟ ⎠
pa qb rc qa rb pc ra pb qc
p q r a b c
37.- Sean a , b , c , p , q , r > 0 números reales. Demostrar que
a) ( ) ( )^2
2 2 2 a b c p q r c
r b
q a
p (^) + + ≥ + + ⎟
b) ( 2 2 2 ) ( ) 3 ( )^2
a b c p q r a b c p q r ⎟ + + ≥ + + ⎠
+ + ⎛^ + +
38.- Sean p , q , r > 0 números reales. Demostrar que
a) ( ) ( p q r )^2 r
p q
r p
pq qr rp q ≥ + + ⎟⎟⎠
+ + ⎛^ + +
b) Dar una demostración alternativa de la desigualdad anterior si p , q , r ∈ N
d’Estadística
Aplicada
c) Sean p , q , r > 0 números reales. Demostrar que
( ) pq qr rp
p q r p q
r r p
q q r
p
2 2
39.- Utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz per resolver el problema 5 b).
40.- Sea a 1 ,..., an , b 1 ,..., bn números reales. Demostrar que
∑ ∑ ∑ = = =
n k
n k k k
n k k^ k k
b ab ka 1
2
1
2
2
1
41.- Sea a 1 ,..., an números reales. Demostrar que
∑ ∑ ∑ = = =
n
k
n
k k
n
k
k k
ka k
a 1 1 5
3 2
2
1
42.- Sea a 1 ,..., an , b 1 ,..., bn , c 1 ,..., cn números reales. Demostrar que
2
1
2 1
4 1
4
4
1 ⎟
∑ ∑ ∑ ∑ = = = =
n k k
n k k
n k k k
n k k^ k
abc a b c
43.- Sea a (^) 1 ,..., an , b 1 ,..., bn , c 1 ,..., cn números reales. Utilizar el resultado del problema anterior
para demostrar que
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = =
n
k k
n
k k
n
k k
n
k k
n
k k
n
k k k
n
k
ak bkc a a b b c c 1
2 1
4 1
2 1
4 1
2 1
4
6
1
48.- Demostrar las desigualdades siguientes:
a) Sea a , b , c ≥ 0 números reales. Demostrar que
( ) ( ) ( ) ( ) 10 5 5 5 5 5 5 52 5 5 53 abc a + b + c ≤ bc + c a + ab a + b + c
b) Dar una demostración alternativa del apartado anterior en caso que a , b , c ∈ N.
d’Estadística
Aplicada
a) ( ) ( ) ( ) r r r^2 r r r r / 3 r / 3 r / 33 a + b + c a − + b − + c − ≥ a + b + c
b) ( ) ( ) ⎟ ⎠
≥ + + ⎛^ + +
a b c
a b c a b c
a b c
3 3 3
3 3 3
57.- Sea a , b , c > 0. Demostrar que
( )^2 /^31 /^31 /^31 /^3
1 1 11 /^3
a b c a b c a b c
58.- Sea a , b , c ≥ 0 números reales. Demostrar que
ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( c + a ) ≤ 2 ( a 3 + b^3 + c^3 )
59.- Utilizar la desigualdad de Minkowski para a resolver el problema 24.
64.- Sea a 1 ,..., an > 0 i Sea (^) ∑
n k k
s a 1
. Demostrar las desigualdades siguientes:
a) (^) ∑
n
k (^) k s
n n (^) 1 a
c) 1
2
1 −
∑= − n
n s a
n s
k (^) k
b) (^) ∑ ∑ = = −
n k (^) k
n n (^) k 1 ak 1 s a
(^1) d) ∑ = −
n k (^) k
k n
n s a
a 1 1
68.- Sea a (^) j ≥ 0 , j = 1 ,..., n. Sea α i (^) > 0 , i = 1 ,..., k. Demostrar que,
∏ ∑ ∑ = = =
α ⎟⎟≤ ⎠
k ⎛
i
n
j
m j
n
j
i n aj^ n a 1 1 1
si (^) ∑
= α
k
i
m i 1
71.- Utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para resolver el problema 7.
72.- Utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para resolver el problema 10.
73.- Sea a , b , c > 0 números reales. Demostrar que
a) + ⋅ + ⋅ + ≥ 8 b
c a a
b c c
a b
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b) + + + + + ≥ 6 b
c a a
b c c
a b
c) ( ab bc ca ) 2 ( a b c )^2 b
c a a
b c c
a b ⎟ + + ≥ + + ⎠
d) Donar una demostración alternativa del apartado anterior en el caso de que a , b , c ∈ N.
75.- Demostrar:
a) Sea a , b , c > 0 i Sea p , q , r ≥ 0. Demostrar que
( pa q^ − r + qbr − p + rcp − q )( pa r − q + qbp − r + rcq − p ) ≥( p + q + r )^2
b) Demostrar el apartado anterior en el caso de que p , q , r ∈ N.
78.- Sea a , b , c > 0. Demostrar que
3 3 3
ab c
a b c a b c
79.- Sea a , b ≥ 0 i Sea r / 0 < r < 1 números reales. Demostrar que
( 1 + a ) ( r^ 1 + b )^1 −^ r^ ≥ 1 + arb^1 − r
95.- Sea a 1 , …, a (^) N una colección de N números reales no negativos. Sea aN+1, …, a (^) N+M otra colección de M números reales no negativos. Se calculan las medias aritméticas de ambas colecciones, y se calcula su semisuma.
a) El resultado obtenido es la media aritmética de los N+M números?
b) (Si la respuesta del apartado anterior es negativa) El resultado obtenido, ¿puede interpretarse como una media aritmética?
99.- Sea a , b , c , d ≥ 0. Demostrar que
( a + b + c )( a + b + d )( a + c + d )( b + c + d )≥ 81 abcd
101.- Sea a , b , c ≥ 0. Demostrar que
d’Estadística
Aplicada
Algunas soluciones o ayudas :
1.- Plantear una desigualdad entre la media aritmética y geométrica de 2 elementos.
2.- Ayuda: tener en cuenta que 2
0
=^ +
∑
ki k k i
3.- M (^) A ( a 2 b , ab^2 , b^2 c , bc^2 , c^2 a , ca^2 ) ≥ MG ( a 2 b , ab^2 , b^2 c , bc^2 , c^2 a , ca^2 ).
4.- Ayuda: Expresar la desigualdad en función de los lados del triángulo y reordenar los términos hasta obtener una desigualdad entre media aritmética y geométrica de 3 elementos.
5.- a) Ayuda: aplicar la desigualdad de Young. b) Varias opciones. Ayuda: Plantear una desigualdad de Cauchy-Schwarz.
6.- Producto de tres desigualdades entre media aritmética y geométrica o realizar el producto para encontrar una desigualdad del mismo tipo, pero con 6 elementos.
7.- Mismo planteamiento que el ejercicio anterior.
8.- Producto de tres desigualdades entre media aritmética y geométrica de 2 elementos (combinación lineal de los lados del triángulo).
9.- Ayuda: Sustituir s por su valor y pasar el factor 81 dividiendo al otro lado de la desigualdad.
10.- Aplicar la propiedad distributiva y plantear una media aritmética con los elementos obtenidos.
11.- Desigualdad entre las medias aritmética y geométrica de 5 términos. ¿Cuáles?
12.- a) Ayuda: recordar que, descomponiendo en factores primos, 432=2 4 ·3 3. b) Ayuda: utilizar el resultado del apartado anterior para plantear la suma de tres desigualdades distintas. Recordar que 3·144=432.
13.- Ayuda: (p+q+r) corresponde al número total de elementos de las medias implicadas.
14.- Desigualdad entre una media aritmética y una geométrica de 15 elementos, 10 de los cuales son ‘a’.
15.- a) Sugerencia: hacer las siguientes sustituciones:
= γ
=β
=α
D
r
D
q
D
p
de tal manera que α ,β ,γ, D ∈ N y, además: α+β+γ= D
b) Suma de las permutaciones cíclicas del apartado anterior.
19.- Ayuda: Producto de tres desigualdades MA-MG.
21.- a) Sugerencia: buscar una media aritmética y una media armónica. b) Aplicar la propiedad distributiva y operar.
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Aplicada
22.- Suma de tres desigualdades entre medias aritméticas y armónicas de 2 elementos.
23.- Plantear una media con cada uno de los seis sumandos.
24.- Ayuda: fijarse en que M (^) p ( x , b )≥ MA ( a , b ).
25.- Suma de tres desigualdades Mm ≥ Mn elevadas a n.
27.- Pasar el factor 25 dividiendo al otro lado de la desigualdad y considerar el producto a la derecha como una media geométrica al cuadrado.
28.- Ayuda: probar desigualdades de órdenes diversos.
29.- Combinación de medias aritmética, armónica y de orden 2 y -2.
33.- a) Desigualdad entre media aritmética y geométrica de p + q + r elementos. b) Desigualdad entre media geométrica y armónica de los elementos del apartado anterior.
34.- Los elementos de las medias implicadas (aritmética y armónica) corresponden a: a repetida p+r veces, b repetida p+q veces y c repetida q+r veces.
36.- a) Desigualdad de Cauchy-Schwarz. b) Suma de las desigualdades obtenidas a partir de las permutaciones cíclicas de los elementos del apartado anterior.
37.- a) Haciendo la raíz cuadrada, tenemos una desigualdad de Cauchy-Schwarz. b) Aplicar la misma idea que el apartado b) del ejercicio 36.
38.- a) Desigualdad de Cauchy-Schwarz. b) Desigualdad entre media aritmética y armónica de p+q+r elementos. c) Suma de dos desigualdades de Cauchy-Schwarz: (1) desigualdad del apartado a) y (2) una permutación cíclica de sus elementos.
39.- Desigualdad de Cauchy-Schwarz entre los vectores: u =(ab,bc,ca) v =(ca,ab,bc).
40.- Desigualdad de Cauchy-Schwarz.
41.- Desigualdad de Cauchy-Schwarz en la que cada elemento a (^) i está multiplicado por i.
42.- Pensar en dos desigualdades de Cauchy-Schwarz consecutivas.
43.- Demostrado el ejercicio anterior, cambiar el orden en qué aparecen a , b y c.
48.- a) Dividiendo por ( abc )^10 y haciendo la raíz quinta, tenemos una desigualdad de Holder. b) Desigualdad entre medias de orden -2 y 3.
49.- Producto de las desigualdades: M (^) 3 ( a , b , c )≤ M 5 ( a , b , c )y M (^) − 5 ( a , b , c )≤ M 5 ( a , b , c ).
50.- a) Desigualdad de Holder con los vectores: u =(a,b,c) v =(b 2 c 2 ,a 2 c 2 ,a 2 b 2 ). b) Suma de las tres permutaciones cíclicas de la desigualdad anterior. c) Plantear una desigualdad entre una media aritmética y una media de orden -2.
51.- Desigualdad de Holder con los vectores: u =(a,b,c) v =(b 3 ,c 3 ,a 3 ).
52.- Sugerencia: seguir la pauta del problema 51.
53.- Aplicar la desigualdad del problema 52.
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Aplicada
L^3
V ≤
