¡Descarga Tabla Matematica - Apuntes - Matematicas y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
−−ÍNDICE−−
- Trigonometría
- Razones trigonométricas
- Coordenadas trigonométricas de un punto del plano
- Consecuencias de esta fórmula
- Razones exactas de ángulos
- Otras fórmulas
- Aplicaciones de la trigonometría
- Teorema del coseno
- Teorema del seno
- Números complejos
- Operaciones con números complejos
- Geometría plana
- Rectas
- Formas de una recta
- Tipos de rectas
- Coordenadas del punto medio
- Distancia de un punto a una recta
- Ecuación de una bisectriz
- Cónicas
- Circunferencia
- Elipse
- Parábola
- Hipérbola
- y límites Funciones, dominios de funciones
- Resolver una inecuación
- Obtención de los dominios según el tipo de funciones
- Límites de una función
- Derivada
- Derivadas
- Gráficas de una función polinómica
- Cocientes de polinomios
- Gráficas exponenciales
- Gráficas con valor absoluto
- Integrales
- Fórmulas para integrar
- Otras fórmulas para integrar
- Aplicaciones de las integrales
Estadística 17
1.−TRIGONOMETRÍA
Ángulo: parte del plano comprendido entre dos rectas que se cortan.
Grado: una de las 360 partes en las que se divide un ángulo completo.
Radián: ángulo comprendido entre dos radios, de manera que el arco mida igual que el radio.
1.1Razones trigonométricas
−Son las distintas proporciones que se establecen entre los lados de un triángulo rectángulo:
a = hipotenusa
b = opuesto de B o contiguo de C c = opuesto de C o contiguo de B
−Las razones se definen para un ángulo agudo:
- b / a = senB = cosC
- c / a = cosB = senC
- b / c = tgB = cotgC
- a / b = cosecB = secC
- a / c = secB = cosecC
- c / b = cotgB = tgC
1.2Coordenadas trigonométricas de un punto del plano
Coordenadas cartesianas: están en función de las medidas de los ejes de coordenadas.
Coordenadas trigonométricas: están en función de la distancia del punto de origen m, siendo el ángulo que va medido desde el eje Ox positivo hasta m.
- A m2 = x2 + y2 m = "x2 + y
- A sen = y / m y = m. sen
- A cos = x / m x = m. cos
1.3Consecuencias de esta fórmula
1ª Consecuencia
m2 = x2 + y
m2 = (m. cos )2 + (m. sen )2 Por Pitágoras se verifica esto: por las coordenadas trigonométricas sustituyo x e y.
m2 = m2. cos + m2. sen Divido por m
2
Razones del ángulo doble Razones del ángulo mitad Sen2 = sen ( + ) = 2sen. cos Sen ( /2) = + − "1 − cos / 2 Cos2 = cos ( + ) = cos2 − sen2 Cos ( /2) = + − "1 + cos / 2 Tg2 = tg ( + ) = 2tg / 1−tg2 Tg( /2) = + − "(1−cos / 1 + cos ) Razones que transforman el producto en sumas Sen ( + ) + Sen ( − ) = 2sen. cos SenA + senB = 2 sen (A + B /2). cos (A − B / 2) Cos ( + ) + Cos ( − ) = 2cos. cos CosA + cosB = 2 cos (A + B /2). cos (A − B / 2) Razones que transforman el producto en resta SenA − senB = 2 cos (A + B /2). sen (A − B / 2) CosA − cosB = −2 sen (A + B /2). sen (A − B / 2)
2.−APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA
2.1Teorema del coseno
C j b
h a
A c B
N m M
A a2 = b2 + c2 − 2bcosA A b2 = a2 + c2 − 2accosB A c2 = a2 + b2 − 2abcosC
2.2 Teorema del seno
C C
b / senB = a / senA c / senC = b / senB
3.−NÚMEROS COMPLEJOS
Número imaginario: es la raíz de un índice par de un número negativo
Unidad imaginaria: raíz de menos uno y todo número imaginario que se pone en función de i.
Número complejo: suma de un número real y otro imaginario.
3.1 Operaciones con números complejos
Suma: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d). I
Producto: se puede hacer de dos formas:
- Forma binómica: como si fueran binomios
- Forma polar: se multiplican los módulos y se suman los argumentos.
m−> módulo
−> argumento
m. m' ' = m. m' + '
División:
- Forma binómica: se multiplica y divide por el conjugado del denominador.
- Forma polar: se dividen los módulos y se restan los argumentos.
Potencia:
♦Forma binómica: se aplica el binomio de Newton. ♦ Forma polar: se eleva el módulo y se multiplica el argumento.
Binomio de Newton: (a + b)2= (20). a2 + (21). a. b + (22). b
Triángulo de Tartaglia: Las sumas de las filas 1) da el cuadrado de los números de la diagonal 2).
- 1 1 1 1)
1.−GEOMETRÍA PLANA
Plano: conjunto de puntos determinados por un par de coordenadas.
Vector: segmento orientado
−Cualquier par de puntos del plano determina un vector, pero para trabajar con él hay que desplazarlo al origen: AB = (a,b) = B −A = extremos−origen
1.1Operaciones con vectores
Suma:
u = (a , b) Uu + v = (a + c , b + d) V = (c , d)
Producto: nº. u = nº. (a , b) = (nº. a , nº. b)
Combinación lineal: operación que combina sumas y productos, el resultado es otro vector.
2.2Tipos de rectas
Paralelas: son las que tienen la misma dirección, por tanto, la misma pendiente y el mismo vector. Dos rectas son paralelas si en su forma general, los coeficientes x e y son proporcionales:
Ax + By + C = 0
A / A' = B / B' " C / C'
A'x + B'y + C' = 0
Perpendiculares: si una recta tiene como dirección u = (a , b), su perpendicular tiene como dirección u = (−b , a) o (b , −a). Y las pendientes también están relacionadas:
- La pendiente de u = b / a = m
- La pendiente de u = a / −b = −1 / m
2.3Coordenadas del punto−medio
Punto medio: [{(x1 + x2) / 2} , {(y1 + y2) / 2}]
*Aplicaciones de esta fórmula
Cálculo de la recta mediatriz: es la recta perpendicular en el punto medio. Primero se calcula el punto medio, el vector, la perpendicular del vector y por último la forma general de la recta.
Cálculo del simétrico: se define B como simétrico de A respecto de una recta si el segmento AB es perpendicular a una recta y esta pasa por el punto medio.
Cálculo de la recta altura: se calcula hallando el vector del lado opuesto, del que no queremos hallar la altura, luego la perpendicular y luego le forma general de la recta.
Cálculo de la mediana: primero se calcula el punto medio del lado opuesto, luego el vector entre el lado por donde pasa la mediana y el punto hallado anteriormente y por último la forma general de la recta.
2.4Distancia de un punto a una recta
Es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada por el punto comprendido entre este y aquella. Su fórmula es: (P , r) = Ax1 + By1 + C / "(A2 + B2)
2.5Ecuación de una bisectriz
Ecuación: d(p , r) = d(p , s)
(Ax + By + C) / "(A2 + B2 ) = + − (A'x + B'y + C') / "(A'2 + B'2 )
3.−LUGARES GEOMÉTRICOS DE PUNTOS − CÓNICAS
Lugar geométrico: es el conjunto de puntos del plano que cumplen una cierta condición geométrica, el resultado puede ser una recta o una curva. Las curvas son las cónicas y son:
- Circunferencia
- Elipse
- Parábola
3.1Circunferencia
Es el lugar geométrico de puntos cuya distancia a un punto fijo, el centro, es constante e igual al radio.
Su ecuación es: x2 + y2 −2ax −2by + a2 + b2 − r2 = 0
*Posición de una recta respecto de una circunferencia
Dd ( c , recta) Resolviendo el sistema Tipo de recta Dd > r No tiene solución Recta exterior, no corta Dd = r Una solución, un punto de corte Recta tangente Dd < r Dos soluciones, dos puntos de corte Recta secante
3.2Elipse
Es el lugar geométrico de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
Su ecuación es: d(P , F) + d(P , F') = cte −> "[(x − a)2 + (y − b)2] + "[(x − c)2 + (y − d)2] = cte
3.3Parábola
Es el conjunto de puntos que dista lo mismo de una recta llamada directriz que de un punto llamado foco.
Su ecuación es: d(P , F) = d(P , directriz)−> "[(x − a)2 + (y − b)2]
3.4Hipérbola
Es el lugar geométrico de puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. EL resultado son los curvas simétricas entre sí, y simétricas a la línea que unen los focos.
Su ecuación es: d(P , F) − d(P , F') = cte −> "[(x − a)2 + (y − b)2] − "[(x − c)2 + (y − d)2] = cte
4.−FUNCIONES. DOMINIOS DE FUNCIONES Y LÍMITES
Función: es una correspondencia entre dos conjuntos de números, de manera que si los números son reales se dice que la función es de variable real.
Dominio de una función: es el conjunto de variables que tiene imagen.
4.1Resolver una inecuación
Primero se resuelve la ecuación. Con los valores obtenidos se separan intervalos. Y se observa que intervalos hacen positiva a la inecuación.
4.2Obtención de los dominios según el tipo de funciones
Función polinómica: su dominio es el conjunto , todos los elementos tienen imagen, por tanto, también tienen gráfica.
En una función continua en un punto a, que a y los valores de a pertenezcan al dominio. El objetivo es trazar en el punto f(a) una recta tg.
Función derivada: es la expresión con variable x, que representa a la derivada en cualquier punto, es decir, la pendiente delas rectas tg a la curva en todos los puntos. f'(x)= lim
1.−DERIVADAS
La función derivada representa a todas las pendientes de las rectas tangentes.
1.1Fórmulas para derivar
Y = xn Y' = nxn− Y = K(constante) Y' = 0 Y = f(x) + g(x) Y' = f '(x) + g ' (x) Y = k. f(x) Y' = k. f (x) Y = f(x). g(x) Y' = f (x). g(x) + f (x). g ' (x) Y = f(x) / g(x) Y' = [f (x). g(x) − f(x). g (x)] / 2 Y = f [g(x)] Y' = f [g(x)]. g (x) Y = lnx Y' = 1 / x Y = lnf(x) Y' = [1 / f(x)]. f (x) Y = lgx Y' = [1 / x]. lge Y = lg f(x) Y' = [1 / f(x)]. lge. f (x) Y = n"x = x 1 / n Y' = 1 / [n. n"x n− Y = n"f(x) Y' = f (x) / [n. n f (x)f(x) n−1] Y = senx Y' = cosx Y = senf(x) Y' = cosf(x). f (x) Y = cos x Y' = − senx Y = cosf(x) Y' = − senf(x). f ' (x) Y = tgx Y' = sec2x Y = tgf(x) Y' = −sec2 f(x). f ' (x) Y = cotgx Y' = − cosec2 x Y = cotgf(x) Y' = − cosec2 f(x). f (x) Y = secx Y' = senx. sec2 x Y = secf(x) Y' = senf(x). sec2 f(x). f ' (x) Y = cosecx Y' = − cos x. cosec2 x Y = cosecf(x) Y' = − cosf(x). cosec2 f (x). f (x) Y = ex Y' = ex Y = ef (x) Y' = ef (x). f' (x) Y = ax Y' = ax. lna Y = a f (x) Y' = a f (x). lna. f (x) Y = arcsenx Y' = 1 / ["1−x2] Y = arcsenf(x) Y' = [1 / ["1−f(x)2] ]. f (x) Y = arctgx Y' = 1 / x2 + 1 Y = arctgf(x) Y' = [1 / [f(x)] ]. f (x)
2.−Gráfica de una función polinómica
función polinómica: es una gráfica continua para todos los números reales, porque todos los números tienen imagen, la gráfica es una línea curva seguida. En todo polinomio, para hacer la gráfica hay que estudiar:
- cortes con los ejes
- intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos máximos y mínimos
- intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión
- simetrías
- recorrido de la gráfica
- cotas
2.1Cocientes de polinomios
El dominio es , menos los que anulan al denominador.
Para hallar la asíntota vertical se calcula el límite que tiende a 1 de la función. Y para calcular la vertical se haya el límite que tiende a infinito de la función.
Para calcular la asíntota oblicua: y = ax + b
Aa = lim f(x) / x
Bb = lim [f(x) − ax]
2.2Gráficas exponenciales
Son aquellas gráficas que tienen por base un número y en el exponente una función de variable x. El dominio es siempre el dominio del exponente.
2.3Gráficas con valor absoluto
Hay dos tipos:
Cuando todo está entre barras: primero se hace sin barras, y toda la parte de curva que queda debajo del eje de abscisas pasa simétricamente encima.
Cuando solo está entre barra una parte: primero se quitan las barras sustituyendo las barras por un paréntesis, si lo que está dentro de las barras es positivo se sustituye por su opuesto y viceversa. Luego se representa por separado las dos funciones y se toma la parte que corresponde a cada intervalo.
1.−INTEGRALES
Integrar: es la operación contraria a derivar. A integrar también se le llama obtener la primitiva. Se representa con ".
1.1Fórmulas para integrar
" xn dx [Xn+1 / n +1 ] + C " f(x) n. f ` (x) dx [F(x) n+1 / n + 1] + C " [f(x). g(x)] dx "f(x) dx + "g(x) dx + C "[f(x). a] Aa. "f(x) dx + C
11
"a0 f(x) dx − "ba g(x) dx
*Aplicación a los volúmenes
Se supone una curva continua y un intervalo limitado por x = a y x = b. La fórmula para calcular el volumen sería: V = "ba [f(x)]2 dx
*Áreas hacia el eje de ordenadas
*Volúmenes hacia el eje de ordenadas
1.−ESTADÍSTICA
Estadística: es la parte de las matemáticas que estudia los resultados de un muestreo realizado sobre un colectivo.
Variable: hecho que se somete a estudio. (Xi)Puede ser:
- V. discreta: aquella que corresponde a un número finito de datos aislados entre sí.
- V. continua: cuando recorre cualquier valor de un intervalo.
Frecuencia absoluta: número de veces que se repite la variable N es el total de encuestados. (Ni)
Frecuencia relativa: cociente entre la frecuencia absoluta y el total de frecuencia absoluta. En las discretas, la frecuencia relativa, su sumatorio, debe dar 1. En las continuas, la frecuencia de densidad es: "ba f(x) dx = 1, siendo a y b el intervalo que recorre la variable. [Fi(x)]
Media aritmética:
- En la discreta: x = Xi +Ni / N
- En la continua: x = "ba x. f(x) dx
Varianza: es un parámetro que indica lo que se desvían los datos de la media aritmética. Se calcula con la diferencia de los datos elevada al cuadrado. Por tanto, es más preciso el parámetro de la desviación típica que se halla con la raíz cuadrada de la varianza. Es la media aritmética de las desviaciones al cuadrado.
- En la discreta: V = (Xi − X)2. f(x)
- En la continua: V = "ba (X − )2. f(x)
- Desviación típica: "Varianza
a
b
c
A
B C x y m h a c B A b b a h B A c
