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Tabla de primitivas
Una primitiva de una función es otra función tal que 0 =
Linealidad
R
R
R
R
R
para toda función y todo escalar
Primitivas de tipo inmediato
Potencia
R
R
[()]^0 () = [^ ()]
+ +1 +^ Logaritmo
R 1
^ = log^ ||^ +^ ^
R 0 ()
() ^ = log^ |()|^ +^ Exponencial
R
= ^ +
R
()^0 () = ()^ +
Trigonométricas (^) R cos = sin +
R
R cos[^ ()]^0 ()^ = sin[()] +^ sin = − cos +
R
R sin[()]^0 ()^ =^ −^ cos[()] +^ 1 cos^2 ^ = tan^ ^ +^ ^
R 0 ()
R cos^2 [^ ()]^ ^ = tan[()] +^ 1 sin^2 ^ =^ −^ cot^ ^ +^ ^
R 0 ()
sin^2 [ ()] ^ =^ −^ cot[^ ()] +^ Hiperbólicas (^) R cosh = sinh +
R
R cosh[^ ()]^0 ()^ = sinh[^ ()] +^ sinh = cosh +
R
sinh[()]^0 () = cosh[ ()] + Arco-argumento (^) R √^1 1 −^2 ^ = arcsin^ ^ +^ ^
R √ 0 ()
R 1 −[()]^2 ^ = arcsin[^ ()] +^ 1+^1 ^2 ^ = arctan^ ^ +^ ^ R^ 1+[^0 (())]^2 ^ = arctan[^ ()] +^ R (^) √ 1 1+^2 ^ = arg sinh^ ^ +^ ^
R 0 ()
√1+[ ()] 2 = arg sinh[()] + R (^) √ 1 ^2 − 1 ^ = arg cosh^ ^ +^ ^
R √ 0 ()
[ ()]^2 − 1 ^ = arg cosh[()] +^ Nota: En todos los casos se supone que es una función derivable. En el primer apartado además se supone que es un número real distinto de − 1. Ejemplos:
R
3 ^6 = 3 77 +
R 5
^3 ^ = 5^
R
−^3 = 5 −− 22 + = − 25 2 +
R
R
(^12) = − 9
(^32) 32 +^ ^ =^ −^6
^3 +
R
R
(^14) = 53 (3−5)
(^14) + (^14) +1 +^ ^ =^53
54 +^ ^ =^434
p (3 − 5)^5 + 5
R
^2 (^3 − 4)^5 = 13
R
3 ^2 (^3 − 4)^5 = 13 (^3 − 6 4)^6 + = (^318 −4) 6 +
R 8 2
4 ^3 +5 ^ =^
8 12
R 12 2
4 ^3 +5 ^ =^
2 3 log^ |^4 ^3 + 5|^ +^ 7
R (^) arcsin√ (^4) 1 −^2 ^ =^
R
(arcsin )^4 · √ 11 − 2 = arcsin 5 5 + 8
R (^) log ^ =^
log^2 2 +^ 9
R
5 sin ^2 = (^52)
R
2 sin ^2 = −^52 cos ^2 + 10 ( 6 = 0)
R
7 cos() sin^4 () = (^7)
R
cos() sin^4 () = (^7) ^ sin^55 ( )+ = (^57) sin^5 () + 11
R
10 sin 5 cos 5 = 2
R
(sin 5)^1 · 5 cos 5 = 2sin^22 5 + = sin^2 5 + 12
R (^) cos 3 2 −^1 sin3 3 2 −^1 ^ =^
2 3
R
[sin 3 2 − 1 ]−^3 32 cos 3 2 − 1 = 23 [sin^
3 2 − 1 ]−^2 − 2 +^ ^ =^ −^
1 3 sin2 3 2 −^1 +^ 13
R √ 3
cos^4 5 sin 5 = −^15
R
−5 sin 5(cos 5)
(^43) = −^15 (cos 5)
(^43) + (^43) +1 +^ ^ =^ −^15 (cos 5)
(^73) 73 +^ ^ =^ −^3533
cos^7 5 + 14
R
6 tan 7 = 6
R (^) sin 7 cos 7 ^ =^ −
6 7
R (^) −7 sin 7 cos 7 ^ =^ −
6 7 log^ |cos 7|^ +^ 15
R
4 sinh 6^2 = 124
R
12 sinh 6^2 = 13 cosh 6^2 + 16
R
cosh 3 · sinh^20 3 = (^13)
R
3 cosh 3 · (sinh 3)^20 = sinh 6321 3 +
R
^3 −^2 = 13
R
3 ^3 −^2 = 13 ^3 −^2 ^ +
R
^3 −^2 = −^12
R
− 2 ^3 −^2 = −^12 ^3 −^2 ^ +
R
(2 − 3 + 5 − + ^2 − 4 ^2 + 6^3 ^5 ) = 2 − 32 ^2 + 5 − 12 ^2 + 13 ^3 − 4 ^2 + 32 ^4 ^5 +
R
(2 − 3 + 5 − + ^2 − 4 ^2 + 6^3 ^5 ) = 2 − 3 + 52 ^2 − 12 ^2 + ^2 − 43 ^3 + ^3 ^6 +
R
sin(2 − 5 ) = (^12)
R
2 sin(2 − 5 ) = −^12 cos(2 − 5 ) + 22
R
sin(2 − 5 ) = −^15
R
−5 sin(2 − 5 ) = 15 cos(2 − 5 ) +
23
R
cos(3) = (^31)
R
3 cos(3) = (^31) sin(3) + 24
R
^3 ^ =^
^2 2 ^3 +^ 25
R
^3 ^ =^
R
−^3 = −− 22 + = − 2 2 +
R 2
2 −^3 ^ =^ −
1 3
R − 3 2
2 −^3 ^ =^ −
1 3 log^ |^2 ^ −^ ^3 |^ +^
Ajuste de cuadrados
En algunas integrales, como las que se reducen al tipo arcoseno y arcotangente, conviene ajustar la expresión cuadrática adecuadamente. Algunos casos en los que puede ser útil esta trans- formación son en integrales de los siguiente tipos:
R (^1) √ ^2 + +
R 1
^2 + +
con 6 = 0. Nota: Para utilizar este método en el segundo tipo de integral debe ocurrir que el polinomio no tenga raíces reales (tendrá 2 raíces complejas conjugadas).
En conclusión obtenemos los valores de los 3 coeficientes y los 2 signos
^2 + +^52 = ( +^12 )^2 +^94 =^94 + ( +^12 )^2
y por tanto
2 ^2 + 2 + 5 = 2(^2 + +^5 2
) = 2[^9
+ ( +^1
)^2 ]
Ejemplo i (obtener la diferencia de cuadrados):
112 − 48 − 4 ^2 = 4(28 − 12 − ^2 )
28 − 12 − ^2 = − ( + )^2 = − ^2 − 2 − ^2
(el signo negativo que lleva delante el cuadrado del binomio ( + ) se debe al signo del coeficiente de ^2 del polinomio 28 − 12 − ^2 ). Así, si identificamos los términos del mismo grado tendremos que
− 12 = − 2 28 = − ^2
Entonces vamos deduciendo las siguientes igualdades
= 6 28 = − 36 = 64
En conclusión obtenemos los valores de los 2 coeficientes
28 − 12 − ^2 = 64 − ( + 6)^2
Tipo logaritmo+arcotangente Son similares de las que se reducen al tipo arcotangente pero con un factor en el numerador. Esto da lugar a un sumando cuya integral es de tipo logarítmico (que se suma al de tipo arcotangente).
j)
R 5 − 4
1+^2 ^ =^
R 5
1+^2 ^ +^
R − 4
1+^2 ^ =^
5 2
R 2
1+^2 ^ −^4
R 1
1+^2 ^ =^
5 2 log^ |1 +^
(^2) | − 4 arctan +
k)
R 7 − 28
1+(2−5)^2 ^ =^
7 8
R 8 − 32
1+(2−5)^2 ^ =^
7 8
R 8 − 20 − 12
1+(2−5)^2 ^ =^
7 8
R 8 − 20
1+(2−5)^2 ^ +^
7 8
R − 12
1+(2−5)^2 ^ =
R 8 − 20
1+4^2 − 20 +25 ^ −^
21 4
R 2
1+(2−5)^2 ^ =^
7 8 log^ |1 + (2^ −^ 5)^2 |^ −^
21 4 arctan(2^ −^ 5) +^
l)
R 3 +
^2 +6+34 ^ =^
3 2
R 2 + 23
^2 +6+34 ^ =^
3 2
R 2 +6−6+ 23
^2 +6+34 ^ =^
3 2
R 2 +
^2 +6+34 ^ +^
3 2
R −6+ 23
^2 +6+34 ^ =
= 32 log |^2 + 6 + 34| + (^32)
R − 163
25+(+3)^2 ^ =^
3 2 log^ |^2 + 6^ + 34|^ −^8
R 1
25[1+( +3 5 )^2 ] ^ =
= 32 log |^2 + 6 + 34| − (^85)
R 15
1+( +3 5 )^2 ^ =^
3 2 log^ |
5 arctan(
+ 5 ) +^
m)
R +
^2 +^2 ^ =^
1 2
R 2 +2
^2 +^2 ^ =^
1 2
R 2
^2 +^2 ^ +^
R
^2 +^2 ^ =^
1 2
R 2
^2 +^2 ^ +^
R 1
1+( )^2 ^ =
= 12 log |^2 + ^2 | + arctan +
Nota: En el caso logaritmo+arcotangente, y por consiguiente, en el caso arcotangente (por ser un caso particular) es necesario que el polinomio de grado 2 que aparece en el denominador sea irreducible, o lo que es lo mismo, que tenga raíces complejas.
Método de integración por partes
Z
Z
Nota: Esta fórmula puede ser de utilidad cuando en el integrando nos aparece un producto de dos funciones ( y ^0 ), de modo que la integral que resulta de multiplicar una primitiva de una de ellas (de ^0 ) por la derivada de la otra (de ) es más sencilla de calcular. Por ejemplo cuando es un polinomio y ^0 es cos o sin ; o cuando es un logaritmo, un arco o un argumento, y ^0 es un polinomio. En la fórmula anterior hacemos la identificación = () = ^0 ()
Ejemplos:
A) En la integral
R
poniendo = = = =
R
se obtiene
R
= ^ −
R
= ^ − ^ + = ( − 1) +
B) En la integral
R
log poniendo^ = log = = =
R
se obtiene
R
log = log · 22 −
R 2
2
=^
^2 2 log^ ^ −^
R
2 ^ =^
^2 2 log^ ^ −^
^2 4 +^ C) En la integral
R
arctan poniendo = arctan = = (^) 1+ 2 =
R
se obtiene
R
arctan = arctan · −
R
· (^) 1+ 2 = arctan − (^12)
R 2
1+^2 ^ =^ ^ arctan^ ^ −^
1 2 log^ |1 +^
D) En la integral
R
^2 cos 3 poniendo = ^2 = cos 3 = 2 =
R
cos 3 = 13 sin 3 se obtiene
R
^2 cos 3 = 13 ^2 sin 3 −
R 1
3 sin 3^ ·^2 ^ =^
1 3 ^2 sin 3^ −^
2 3
R
sin 3 En esta última integral poniendo (^) = = sin 3 = =
R
sin 3 = −^13 cos se obtiene
R
sin 3 = · (−^13 cos 3) −
R
(−^13 cos 3) = −^13 cos + 19 sin 3 En conclusión se tiene que
R
^2 cos 3 = 13 ^2 sin 3 − (^23)
R
sin 3 = = 13 ^2 sin 3 − 23 (−^13 cos + 19 sin 3) + = 13 ^2 sin 3 + 29 cos 3 − 272 sin 3 +
Integrales definidas
He aquí algunos ejemplos sencillos de integrales definidas:
i
2 0
R
^3 = 13
2 0
R
3 ^3 = 13 [^3 ] 20 = 13 [^6 − 1]
ii
1 0
R
(4 − 5 ^4 ) = [2^2 − ^5 ] 10 = [(2 − 1) − 0] = 1
iii
2 0
R
cos 5 = (^15)
2 0
R
5 cos 5 = 15 [sin 5]
2 0 =^
1 5 [sin^
5 2 −^ sin 0] =^
1 5 [1^ −^ 0] =^
1 5
iv
− 2 − 1
R
+2 ^ = [^ log^ |^ + 2|]
− 2 − 1 = [^ log^ ^ −^ ^ log 1] =^ ^ −^ 0 =^
