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PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
Si n^ ,^ m ∈ Z
y a^ ,^ b ∈ R^ se cumplen las siguientes propiedades para la potenciación:
Ejemplos: Resolver: Profesores : HENRY MARTINEZ JOSE VICENTE POLENTINO ORTIZ Producto de potencias de la misma base Potencia de una potencia Potencia de un producto Potencia de un cociente Cociente de potencias e igual base si , si , Exponente negativo Exponente cero (0) Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva. Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa. Potencia de una expresión algebraica es la misma expresión o el resultado de tomarla como factor dos o más veces. Potencia de monomios: Se efectúa atendiendo las propiedades de la potenciación. POTENCIACION ALGEBRAICA Para n ∈ Z
y a ∈ R^ , el producto de n^ veces a^ lo denotamos por a n y lo llamamos potencia n-ésima de a^. a n = a ⏟× a ×. ... .× a n -veces
- (^3 ab 2 ) 3 = 3 3 a 3 ( (^) b 2 ) 3 = (^) ( (^3) ab^2 ) 3 = 27 a 3 b 6 2. (−^5 x 3
y
4 ) 2 = (^ −^5 ) 2 ( (^) x 3 ) 2 ( (^) y 4 ) 2 = 25 x 6 y 8
(−^
a 3 b 4 ) 5 = (^) (−
3 ) 5 ( a 3 ) 5 ( b 4 ) 5 = (^) − 32 243 a^15 b^20
(
2 x
3 y
(^2) ) 4 = (− 2 x )
( (^3) y 2 )
= 16 x 4
81 y
8 CUADRADO DE LA SUMA O LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES CUBO DE LA SUMA O LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
( a + b )
2 = a 2
( a − b )
2 = a 2 − 2 ab + b 2
( a + b )
3 = a 3
( a − b )
3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 ab 2 − b 3 Ejercicios Resolver: a. (−^3 a 2 b 3 ) 2 b. (^3 a 6 − 5 a 2 b 4 ) 2 c. (^4 a 2 ) 2 d. (−^
a 2 b 4 ) 5 e. (^ a 5
a 6 − 4 a 2 9 b (^5) ) 2 g. (^4 a 3
- 5 a 2 b 2 ) 3 h. ( 2 x^3 5 y
10 y^4 3 ) 3 EL BINOMIO DE NEWTON Se utiliza para elevar un binomio a una potencia entera y positiva. Al observar los siguientes desarrollos: Se tiene lo siguiente: Profesores : HENRY MARTINEZ JOSE VICENTE POLENTINO ORTIZ El desarrollo tiene un término más que el exponente del binomio. Si el exponente es dos tenemos tres términos en el desarrollo, si el exponente es tres tenemos cuatro términos. El exponente de a en el primer término del desarrollo es igual al exponente del binomio y en cada término posterior disminuye en uno. El exponente de b en el segundo término del binomio es uno y en cada término posterior aumenta en uno. El coeficiente del primer término del desarrollo es uno y el coeficiente del segundo término es igual al exponente del binomio. El coeficiente de cualquier término se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de a en dicho término y dividiendo este producto por el exponente de b en ese mismo término más uno. El último término es b elevado al exponente del binomio. Si el signo del segundo término es negativo, los signos en el desarrollo se alternan +, -, +…
Si n^ ,^ m ∈ Z
y a^ ,^ b ∈ R^ se cumplen las siguientes propiedades para la radicación:
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES Ejemplos: Simplificar:
- 2 √^81 a 6 b 4 = (^2) √ 3 4 a 6 b 4 = (^2) √ 3 4 × (^) √ a 6 ×√ b 4 = 2 × 3 2
× a
3
× b
2
= 18 a
3
b
2
- mn^ 3 √^128 m (^2) n (^10) = mn 3 √ 2 7 m 2 n 10 mn 3 √ 2 6 × 2 × 3 √ m 2 × 3 √ n 9
× n = 2
2 mn × 3 √^2 × 3 √ m 2 × n 3 3 √ n = 4 mn 4^3 √ 2 m 2
n
- √^8 w 2 t 4 + 16 wt 4 = √^8 wt^ 4 ( w + 2 ) = (^) √ 2 2 × 2 wt 4 ( w + 2 ) = t 2 √^2 w^ (^ w +^2 )
- 4 √^25 p 2 q 4 = 4 √^5 2 p 2 q 4 = q 4 √^5 2 p 2 = q (^) √ 5 p Ejercicios Simplificar : a. √^18 b. 2 a^ √^44 a 3
b
7
c
9 c. √^9 a +^18 b^ d. √^9 a 3
− 36 a
2
+ 36 a e.
4 √^9 f. 15 √ m 10 n 15 x 20 g. 2 √^75 x 4 y 5 h. 1 7 √ 49 x 3 y 7 i. 4 3 √^250 a 3 b 8 j. 3 2 4 √^32 mn 8 k. 15 √^27 x 3 y 6 l. √^3 x 2
− 12 x + 12 m.
6 √ 9 a 2 x 2 Profesores : HENRY MARTINEZ JOSE VICENTE POLENTINO ORTIZ Raíz de una expresión algebraica es toda expresión algebraica que elevada a una potencia reproduce la expresión dada. Para simplificar radicales se aplican las propiedades de la radicación. Los siguientes ejemplos indican el proceso a seguir. Raíz de un producto Raíz de una raíz Raíz de una potencia n √ ab = n √ a × n √ b^ m √ n √ a = m × n √ a^ n √ a m =(^ n √ a ) m Raíz de un cociente Exponente fraccionario^ Propiedad invariante n √ a b = n
√ a
n
√ b
; (^ b ≠ 0 )^ √ nam = a m n n √ a m (^) = kn √ a km o n √ a m = n k √ a m k k ≠ 0
INTRODUCCIÓN DE CANTIDADES BAJO EL SIGNO RADICAL Ejemplo: Introducir los coeficientes en los radicales: 4 x^ 3 √^2 x 2 =
√(^4 x^ ) 3 ( 2 x 2 ) =
√^64 x 3 ( 2 x 2 ) = 3 √ 128 x 5 Ejercicios Introducir los coeficientes en los radicales: a.^2 √ a^ b.^3 a 2 3 √ a 2 b (^) c. ( 1 − a ) √ 1 + a 1 − a (^) d.^2 vt 2 √^3 v 2 e. ( x − 1 ) √ x − 2 x − 1 RADICALES SEMEJANTES Ejemplos: Simplificar:
- 3 √^2 +^5 √^2 −^9 √^2 =^ (^3 +^5 −^9 )^ √^2 =^ −√^2
- 2 3
3 4
1 2 √ 7 = (^) ( 2 3
3 4
1 2 )
√^7 =^
5 12
Ejercicios Simplificar: a. 7 √^2 −^15 √^2 b. 9 √^9 −^11 √^3 c. 7 3
1 2 3
3 4 3
d. 3 a^ √^5 − b^ √^5 +(^2 b −^3 a^ )√^5 e. 3 x^ √^ y^ +(^ a − x^ )√^ y −^2 x^ √^ y^ f. x^ 3 √ a 2 −( a − 2 x ) 3 √ a 2 +( 2 a − 3 x ) 3 √ a 2 OPERACIONES CON RADICALES
- Suma y resta de radicales: Profesores : HENRY MARTINEZ JOSE VICENTE POLENTINO ORTIZ Esta operación es inversa a la simplificación de radicales. Para introducir el coeficiente de un radical bajo el signo radical se eleva dicha cantidad a la potencia que indique el índice del radical. Son los radicales del mismo índice que tienen igual cantidad subradical. Se reducen como términos semejantes que son, hallando la suma algebraica de los coeficientes y poniendo esta suma como coeficiente de la parte radical común. Se simplifican los radicales dados (si es posible) Se reducen los radicales semejantes.
1.^2 √^3 ×^3 √^10 =^ (^2 ×^3 )^ √^3 ×^10 =^6 √^30 2. ( a 2 √^2 x^ )(−^ 1 a √^6 x 2 ) = − a 2 ( 1 a ) √(^2 x )(^6 x 2 )= − a (^) √ 12 x 3 = a (^) √ 2 2 ⋅ 3 x 2 ⋅ x = 2 ax (^) √ 3 x 3. 3 2 3 √ 2 x 2 (−^ 4 3 √ 3 x 5 )=^ −( 3 2 )(^ 4 3 ) ( 3 ⋅ 2 ) √( 2 x 2 ) 2 (^2 ⋅^3 ) √( 3 x 5 ) 3 = − 2 6 √^4 x 4 6 √^27 x 15 = − 2 6 √^108 x 19 =
− 2 x
3 6 √^108 x Ejercicios Realice las siguientes multiplicaciones: a. −^2 √^12 ×^5 √^6 b. 4 5 3 √^9 ¿^10 3 √^15 c. (^ √ x 2 y )( (^2) √ xy 2 )(− (^3) √ xy ) (^) d. √ m ¿ 3 √^2 m 2 e. ( 2 3 3 √ 4 t^ 2 ) ( (^3) 5 √^16 t^ 4 p ) Efectúe los siguientes productos como producto de polinomios: a. (^ √^2 −√^3 )×√^2 b. (^ √^2 +√^3 +√^5 )(√^2 −√^3 )^ c. ( (^) √ a + x −√ a − x )( (^) √ a + x − (^2) √ a − x )
- División de radicales : Ejemplos:
- − (^12) √ 8 (^4) √ 2
= −^12
(^4) √ 8 2 = − (^3) √ 4 = (^) − (^6) 2. 2 3 3 √^18 m (^2) n ¿ 1 2 3
√^2 mn =
( 2 3 ÷ 1 2 ) 3 √ 18 m 2 n ÷ 2 mn = 4 3 3
√^9 m
Profesores : HENRY MARTINEZ JOSE VICENTE POLENTINO ORTIZ a. Cuando tienen igual índice: Se dividen los coeficientes. Se dividen las cantidades subradicales colocando este último cociente bajo el signo radical común. Se simplifica el resultado. b. Cuando tienen diferente índice: Se transforman los radicales en radicales del mismo índice utilizando la propiedad invariante. El índice común es el m. c. m. de los índices. Se realiza el cociente como se indicó en el caso anterior.
3 √^8 d 3
x
4 √^4 d 2
12 √(^2 3 d 3 x ) 4 12 √(^2 2 d 2 ) 3 = 12 √^2 12
d
12
x
4 12 √^2 6
d
6
12 √^2 (^6) d (^6) x (^4) = 6 √^2 (^3) d (^3) x (^2) = 6 √^8 d (^3) x 2 Ejercicios Efectuar: a. 2 √^3 m ÷(−^10 √ m^ )^ b. √^75 a 2 b 3 ¿ (^5) √ 3 ab (^) c.
√^2 w ÷^
6 √^16 w 4 d. (− 6 √^18 p 3 q 4 r 5 )÷(− 4 √^3 p 2 q 2 r 3 )
- Potenciación de radicales : Ejemplo: (^2 √^2 x 3 ) 3 = 2 3 √(^2 x 3 ) 3 = (^8) √ 2 3 x 9 = (^8) √ 2 2 ⋅ 2 ⋅ x 8 ⋅ x = 8 ⋅ 2 x 4 √^2 x =^16 x 4 √^2 x Ejercicios Elevar a la potencia indicada: a. (^3 √^5 )
b. ( 3 √ 2 x 2 ) 3 c. (^2 √ t +^1 )
d. (− 3 3 √ 6 m 2 n ) 4 e. (^2 √^3 −√^2 )
f. ( (^) √ m + 1 +√ m − 1 )
- Radicación de radicales : Ejemplos: Efectuar:
- √^ 3 √^8 a 6 = ( 2 ⋅ 3 ) √^2 (^3) a (^6) = 6 √^2 (^3) a (^6) = a (^) √^623 = (^) a √^2 2. √^2 √^9 x^ =^ √√^2 2 ⋅ 3 2 ⋅ x = 4 √^2 (^2) ⋅ 32 ⋅ x = 4 √ 36 x Ejercicios Profesores : HENRY MARTINEZ JOSE VICENTE POLENTINO ORTIZ Para elevar un radical a una potencia: Se eleva el coeficiente del radical a la potencia indicada. Se eleva la cantidad subradical a la potencia indicada. Se simplifica el radical, si es posible. Para extraer la raíz a un radical se multiplican los índices de los radicales. Se simplifica el radical resultante, si es posible.
(^20) √ 2 2
- (^15) √ 6 − (^24) √ 6 − (^18) √ 3 2 ( (^4) √ 2 ) 2 −( 3 √ 3 ) 2 Se realizan los productos. 20 ( 2 )+ 15 √ 6 − 24 √ 6 − 18 ( 3 ) 16 ( 2 )− 9 ( 3 ) (^) Se simplifican los radicales. − 14 − (^9) √ 6 5 = − 14 + (^9) √ 6 (^5) Se reducen términos semejantes. Ejercicios Racionalizar el denominador en : a. 3 −√ 2 1 +√ (^2) b. √^5 +^ √^2 7 + (^2) √ (^10) c. √ x^ +^2 +√^2 √ x^ +^2 −√^2 d. (^9) √ 3 − (^3) √ 2 6 −√ (^6) e. √ m +^ √ n (^2) √ m +√ n Ejemplo: Resolver la ecuación: √^3 t −^5 +√^3 t −^14 =^9 Solución: √^3 t −^5 =^9 −√^3 t −^14 Se aísla un radical. (^ √^3 t −^5 )
=( 9 −√ 3 t − 14 ) 2 Se elevan al cuadrado los dos miembros de la ecuación. 3 t −^5 =^81 −^18 √^3 t −^14 +^3 t −^14 Se realizan las operaciones. 18 √^3 t −^14 =^81 +^3 t −^14 −^3 t −^5 Se aísla el radical. 18 √^3 t^ −^14 =^62 Se reducen términos semejantes. √^3 t^ −^14 =^4 Se divide por 18 los dos miembros de la ecuación. (^ √^3 t −^14 ) 2 = 4 2 Se elevan al cuadrado los dos miembros de la ecuación. 3 t^ −^14 =^16 Se resuelve la ecuación de primer grado. t =^10 Ejercicios Resolver las siguientes ecuaciones: a. √ k 2 − 2 k + 1 = 9 − k (^) b. √ 5 t − 1 + 3 =√ 5 t + (^26) c. √ 18 u − 8 −√ 2 u − 4 − (^2) √ 2 u + 1 = 0 Profesores : HENRY MARTINEZ JOSE VICENTE POLENTINO ORTIZ ECUACIONES CON RADICALES El siguiente ejemplo muestra el proceso a seguir para resolver ecuaciones que presentan radicales y que se reducen a ecuaciones de primer grado con una incógnita.
d. √ h^ +√ h +^5 =
√ h (^) e. √ s −^2 √ s +^2
(^2) √ s − 5 (^2) √ s − (^1) f.
√ w +^8 =√ w + 8 −√ w Ejercicios
- Determinar si los pasos realizados en cada desarrollo son correctos o no. Si son incorrectos, presentar la respuesta acertada. a. x − 1 − y − 1 x −^2 − y −^2 = x 2 − y 2 x − y = x + y b.
( z − a +^1 )
2
( − z − a −^1 )
3 =^ z −^2 a +^2 − z^3 a −^3 =− z −^5 a +^5 c. ((−^3 ) 4 ) 2 =(− 3 ) 12
= 531441 d. (
0
4 = 1 +
e. (^3 x ×^2 y^ )
2 = 81 x 2 y 2 f. (^ √^2 ) 2 ×(−√ 2 ) 3 = 2 ×(− 2 √ 2 )=− 4 √ 2
- Efectuar las operaciones indicadas y simplificar: a.
n − 1 ( 2 n + 1 )
n − 1 )
1
1 − n ÷( 2
1
n )
n^2 − 1 b.
( 1 − x
− 1
2 −(^ x − 2 ) 1 2
+(^ x
− 3
0 c.
a m m + n a n
m )^
m m + n
÷( a
nm
( m − n ) )
1 m
- El tipo de movimiento que realiza un péndulo es un ejemplo de movimiento armónico simple (m. a. s.). Un péndulo simple se define como una partícula de masa m^ suspendida de un punto O^ por una cuerda de longitud L^ y masa despreciable. El período de oscilación ( P^ = tiempo que transcurre en ir y volver) equivale a P = 2 π
L
g )
1 2 , donde L^ es la longitud de la cuerda y g = 9. 8 m s^2 es la aceleración de la gravedad. Si una partícula se mueve con m. a. s. y período 2 segundos, ¿cuál debe ser la longitud de la cuerda?
- Si una persona en una zona urbana se enferma de gripe, el número de personas contagiadas en t^ días será aproximadamente de: N = 10000 e t et^ + (^10000) ( e = 2. 718281 .. .≈ 2. (^72) número de EULER). a. ¿Cuántas personas se habrán contagiado después de
(^3) de día si empezaron con gripe 3 personas? b. Si empezó una persona con gripe, ¿cuántas estarán enfermas después de 4 días?
- En cada triángulo calcular el perímetro y el área. Profesores : HENRY MARTINEZ JOSE VICENTE POLENTINO ORTIZ
CAMARGO URIBE, Leonor; GARCÍA DE GARCÍA, Gloria; LEGUIZAMON DE BERNAL, Cecilia; SAMPER CAICEDO, Carmen; SERRANO DE PLAZAS, Nelly. Alfa 7. Serie de Matemáticas para la Educación Básica Secundaria y Media Vocacional. Grupo Editorial Norma Educativa. 1999. Santa Fé de Bogotá. VILLEGAS r, Mauricio; MELO R, Clara Ester. Matemática 2000. Segunda Edición. Editorial Voluntad 1991. Santafé de Bogotá. Colombia. TORRES, María Eugenia. Pensamiento Matemático. Editorial Libros y Libros S. A. 2002. Santafé de Bogotá. Colombia. PADILLA, Lidice Soraya. Aventura Matemática. Editorial Norma. 1998. Santafé de Bogotá. Colombia. BRAVO LEÓN, Ana Gabriela; Desafíos Matemáticas; Bogotá; Editorial Norma, 2001 BARRAZA BURGOS, William Enrique; Estrategias Matemáticas ; Bogotá; Educar Editores, 2003. BALDOR, Aurelio, Algebra Elemental, Cultural Colombiana, Ltda., 1973 PADILLA, Chasing Soraya, Desafíos , Grupo Editorial Norma, 2001 TORRES, María Eugenia, Pensamiento Matemático , Bogotá, D. C. Editorial Libros & Libros S. A. 2002 Profesores : HENRY MARTINEZ JOSE VICENTE POLENTINO ORTIZ
