¡Descarga taller 8 ejercicios Algebra y más Ejercicios en PDF de Álgebra solo en Docsity!
Ejemplos:
x
;
3 x
;
2 a
b
;
− 5 y
2
;
1
3
πww
5
3
;
A =
bh
;
v = v
0
− at
;
y = ax
2
+ bx + c
;
x
2
a
2
y
2
b
2
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Conjunto de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. (+, -, x, ÷).
Los términos de una expresión algebraica están separados por los signos de suma y resta. Si el término no posee parte
literal se denomina constante o término independiente.
Los términos constan de:
Coeficiente : es la parte numérica del término.
Parte literal: la letra o las letras que hay en el término.
Exponente: exponente de la letra o las letras.
Ejemplo:
Expresión algebraica. Posee 3 términos :
(Polinomio)
Es un código matemático que utiliza números, signos de operación, signos de agrupación y letras que representan
números o cantidades que toman valores en determinado conjunto numérico y que reciben el nombre de variables.
3 s
2
− 5 s + 7
3 s
2
− 5 s
7
Las expresiones algebraicas se clasifican en:
Monomio: Es un término en el cual la parte literal posee solo potencias enteras no negativas.
Las expresiones:
3 x
− 2
;
2 h
;
√
t
no son monomios
Polinomio: Es la suma indicada de monomios. Si el polinomio posee dos términos se denomina binomio , si posee tres
términos se denomina trinomio.
a
2
− b
2
;
2 x
2
x
;
5 m
3
2
n − 3 mn
2
− 7 n
3
Son polinomios
x
y
−
z
No es polinomio.
El grado relativo de un monomio respecto a una letra es el exponente de dicha letra en el monomio.
El grado absoluto de un monomio es la suma de los exponentes de la parte literal en dicho monomio.
El grado de un polinomio es igual al del término con mayor grado que se encuentre en el polinomio.
Determine los grados absolutos y relativos en cada uno de sus términos y en los polinomios de
los ejemplos.
LENGUAJE
En el término
3 s
2
:
El grado del término
3 s
2
es 2; de
− 5 s
es 1 y de
es 0 (podría escribirse
7 s
0
¿Por qué?)
Notas:
1. En álgebra no usamos el signo x para la multiplicación ya que se confunde con la
letra x. De tal manera que, un número seguido de una letra o una letra a
continuación de otra, indica multiplicación.
El término
3 s
2
señala que 3 se debe multiplicar por
s
2
2. Cuando el término solo tiene parte literal es porque su coeficiente es 1.
Ejercicios
- Si
n ∈ Z
escriba las siguientes expresiones verbales en lenguaje algebraico:
a. El número anterior a
n
. b. El siguiente de
n
.
c. El triple de
n
d. El doble de
n
aumentado en 5.
e. El doble de
n
disminuido en la tercera parte de
n
. f. El triple de la quinta parte de
n
disminuido en 3.
g. El número que excede a
n
en 10. h. El cuadrado de
n
aumentado en 7.
- Si
n ∈ Z
escriba mediante expresiones verbales las siguientes expresiones algebraicas:
a.
4 n
b.
2 n − 3
c.
( n + 1 )
2
d.
2 ( n − 1 )
e.
n
3
f.
3 n
2
− 2 n + 4
.
- Si
x , y ∈ R
escriba simbólicamente las siguientes expresiones:
a. La adición de los números. b. La diferencia de los números.
c. El producto de los números d. El triple producto de los números.
e. El cociente de los números. f. El cuadrado de la suma de los números.
g. La suma de los cuadrados de los números. h. La raíz cuadrada de la suma de los números
i. La suma de los números es 12. j. La mitad de la suma de los números.
- Si
x , y ∈ R
y
x > y
escriba en lenguaje algebraico las siguientes expresiones:
a. El mayor es igual al triple del menor. b. El mayor excede al menor en 3.
c. El mayor equivale al menor aumentado en 10. d. La suma de los números es 16.
e. La diferencia de los números es 8.
f. El mayor disminuido en 5 equivale al doble del menor aumentado en 1.
VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica, se reemplaza cada literal por el valor que se le ha asignado y se
efectúan las operaciones indicadas.
Ejemplos:
Si
a = 0
,
b = 1
,
m =− 1
,
n = 1
,
x =− 2
,
y = 2
, hallar el valor numérico de las expresiones:
a.
5 x
3
y
b.
2 x
a
b
c.
3 xm − 5 mn + 3 xy + 4 x + 2
d.
x
n + 1
n
− x
n − 1
Solución:
a.
5 x
3
y
=
5 (− 2 )
3
( 2 )
=
=
− 80
Coeficiente
.
Parte literal
s
d.
3 m
a − 5
n
a − 2
1
5
m
a − 3
n
a
− m
a − 4
n
a − 1
e.
x
5
y
2
3
y
4
− y
7
− x
7
6
TÉRMINOS SEMEJANTES
Son términos semejantes en una expresión algebraica, los que poseen la misma parte literal (iguales letras con los
mismos exponentes).
Si en una expresión algebraica aparecen dos o más términos semejantes, se pueden reducir a un solo término sumando los
coeficientes y dejando la misma parte literal.
Ejemplos:
Reducir los términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas:
− 3 x
2
2
=
x
2
=
2 x
2
2 mn
2
−0,8 m
2
n +0,4 mn
2
−1,2 m
2
n
=
mn
2
( −0,8−1,
) m
2
n
=
2,4 mn
2
− 2 m
2
n
1
2
st
2
v − st
2
=
(
1
2
)
st
2
v
=
−
1
2
st
2
v
OPERACIONES ALGEBRAICAS
- Suma o adición:
Para sumar expresiones algebraicas, se colocan una a continuación de la otra y se reducen los términos semejantes si existen.
Ejemplo:
Sumar:
− 3 t
2
con
− t
2
− 9 t
Solución:
− 3 t
2
+ 4 t − 7 − t
2
− 9 t
Colocamos los sumandos uno a continuación del otro.
(− 3 − 1 ) t
2
Reducción de términos semejantes.
− 4 t
2
− 5 t − 7
Resultado.
- Resta o sustracción:
Para restar expresiones algebraicas sume a la expresión minuendo el opuesto de la expresión sustraendo (recuerde la resta
de números).
Para obtener el opuesto de una expresión algebraica cambie los signos de todos los términos de la expresión.
El opuesto de
5 a
3
b − 3 a
2
b
2
3
es
− 5 a
3
b + 3 a
2
b
2
− ab
3
Ejemplo:
De
0,6 h
4
k −2,5 h
2
k
3
− hk
2
restar
3,2 h
2
k
3
−1,8 hk
2
( 0,6 h
4
k −2,5 h
2
k
3
− hk
2
)
(
3,2 h
2
k
3
−1,8 hk
2
)
Operación indicada.
( 0,6 h
4
k −2,5 h
2
k
3
− hk
2
)
(
−3,2 h
2
k
3
+1,8 hk
2
)
Suma del minuendo con el opuesto del sustraendo.
0,6 h
4
k +(−2,5−3,2) h
2
k
3
+(− 1 + 1,8) hk
2
Reducción de términos semejantes.
5 y 2
3 x 1
y
x
0,6 h
4
k −5,7 h
2
k
3
+0,8 hk
2
Resultado.
Ejercicios
- Efectúe las siguientes operaciones:
a. Sumar
49 m
2
n + 16 mn
2
con
n
3
2
n − 5 mn
2
con
− n
3
2
− 3 mn
2
− 53 m
2
n
.
b. Restar
83 u
3
2
− 11 u + 16
de
103 u
3
2
− 15 u + 19
.
c. Halle el valor numérico de la resta anterior cuando
u =− 2
.
2. Dados los polinomios:
M = 10 x
4
− 3 x
3
− 2 x
;
N = 4 x
4
− 10 x
3
− 9 x
;
S = 6 x
4
− 11 x + 10
a. Hallar
M + N − S
.
b. Hallar el valor numérico del resultado si
x =− 2
.
- Hallar el perímetro de la figura :
Hallar el valor numérico del perímetro si x = 1cm, y = 1,2 cm.
4. Suprimir los signos de agrupación y simplificar:
4
7
x
2
y
3
xy
2
[
x −
x
2
y
3
xy
2
x −
y
3
x
2
]
- Producto o multiplicación:
Producto de monomios:
Multiplique los coeficientes ( tenga en cuenta la ley de los signos ).
Multiplique la parte literal ( tenga en cuenta que al multiplicar potencias de igual base se obtiene otra potencia con la
misma base y cuyo exponente es la suman los exponentes
x
n
x
m
= x
n + m
)
Ejemplo:
( − 4 a
2
b
4
) (
− 6 ab
2
)
=
a
2 + 1
b
4 + 2
=
24 a
3
b
6
Producto de un monomio por un polinomio:
En este caso aplique la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.
x ( y + z )= xy + xz
Ejemplo:
1,6 x
2
y
( 0,5 x
3
− x
2
y
2
)
Solución:
Suma por la diferencia de dos cantidades
( x + y
) ( x − y
) = x
2
− y
2
Ejercicios
1. Realice los siguientes productos :
a.
( 2 t − 3 )
2
b.
( 3 w
2
) ( 3 w
2
− 2 v
)
c.
( 3 y + 2 k )
2
d.
(
x
2
− 3 p
)
3
e.
( 3 h + 2 p )
3
f.
(
y +
1
3
z
)(
y −
1
3
z
)
g.
( 2 x − y )
2
h.
(
x
2
+ 2 z
)
3
i.
( 4 m − 3 n
2
) ( 4 m + 3 n
2
)
2. Hallar el área de las siguientes figuras :
a. b.
- División:
División de monomios:
Divida los coeficientes ( tenga en cuenta la ley de los signos ).
Divida la parte literal ( tenga en cuenta que al dividir potencias de igual base se obtiene otra potencia con la misma
base y cuyo exponente es la resta de los exponentes
x
n
÷ x
m
= x
n − m
)
Ejemplo:
15 a
4
b
2
c
− 5 a
3
c
=
15
− 5
a
4
a
3
b
2
c
c
=
− 3 ab
2
División de un polinomio entre un monomio:
Divida cada uno de los términos del polinomio entre el monomio.
Ejemplo:
3 m
5
n + 12 m
3
n
2
− 24 mm
3 mn
=
3 m
5
n
3 mn
12 m
3
n
2
3 mn
24 mn
3 mn
=
m
4
2
n − 8
Ejercicios
Efectúe:
a.
54 x
2
y
2
z
3
÷(− 6 xy
2
z
3
)
b.
− 3 a
x
b
m
ab
2
c.
− 2 a
x + 4
b
m − 3
÷(−0,5 a
4
b
3
)
r − 5
r + 5 2 h − 1
2 h − 1
d.
12 a
m
− 3 a
m + 2
m + 4
− 3 a
3
e.
1
4
p
4
p
3
t +
p
2
t
2
÷
p
2
f.
77 a
5
b
4
− 33 a
4
b
3
3
b
2
11 a
2
b
2
g. Hallar la base de un rectángulo de área
6 x
3
y
3
2
y
2
− 3 x
2
y
y de altura
3 x
2
y
.
División sintética (Regla de RUFFINI):
Es un método práctico para determinar el cociente y el residuo de la división de polinomios de la forma:
Ejemplos:
- Realizar
( m
3
− 3 m
2
− 6 )÷( m + 3 )
Dividendo Divisor
Coeficientes del dividendo: 1 - 3 0 - 6 3 Término independiente del divisor
Resta de los productos - 3 18 - 54
Coeficientes del cociente 1 - 6 18 - 60
(1 x 3) [(-6) x 3] 18 x 3
Residuo
Luego el polinomio cociente es
m
2
− 6 m + 18
y el residuo es
− 60
. (Verifique el resultado) 2. Realizar
( 3 x
3
− 4 x
2
+ 5 x + 6 )÷( 3 x + 2 )
Para que el divisor nos quede en la forma
x + a
, lo dividimos por 3. Tenemos
x +
2
3
.
Como dividimos el divisor por 3, el cociente nos quedará multiplicado por 3, por lo tanto, no olvide dividir el cociente obtenido por
3 para obtener el resultado correcto.
Realizamos el mismo procedimiento del ejemplo anterior:
3 - 4 5 6 2/
3 - 6 9 0
Luego el polinomio cociente es
3 x
2
− 6 x + 9
=
x
2
− 2 x + 3
y el residuo es
0
. (Verifique el resultado)
Ejercicios
Hallar el cociente y el residuo en:
a.
( v
4
− 5 v
3
+ 4 v − 48 )÷( v + 2 )
b.
( t
3
− 2 t
2
+ t − 2 )÷( t − 2 )
c.
( 6 a
5
+ 2 a
4
− 3 a
3
− a
2
+ 3 a + 3 )÷( 3 a + 1 )
d.
( m
5
− 1 )÷( m − 1 )
FACTORIZACIÓN
( a
0
x
n
1
x
n − 1
2
x
n − 2
+. .. .. .+ a
n − 1
x + a
n
)÷( x + a )
( )( )
3 3 2 2
x y x y x xy y ( )( )
3 3 2 2
x y x y x xy y
s cúbicas de los términos.
os términos son: el cuadrado de la primera raíz menos el producto de la primera raíz por la segunda más la segunda raíz al cuadrado.
Se obtienen dos factores.
El primero es la diferencia de las raíces cúbicas de los términos.
El segundo factor es un trinomio cuyos términos son: el cuadrado de la primera raíz más el producto de la primera raíz por la segunda m
s primero y tercero son cuadrados perfectos, esto es, tienen raíz cuadrada exacta y el segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas.Se extrae la raíz cuadrada a los términos de los extremos. Se separan las raíces cuadradas con el signo del segundo término formando un binomio. Este
2 2 2
x 2 xy y ( x y )
Ejercicios
Factorizar:
a.
4 x
2
b.
1
4
v
2
t
4
s
6
c.
w
2
d.
0 , 04 a
6
b
2
− 0 , 01 a
2
b
4
e.
− 81 z
2
k
2
+ 144 v
4
f.
2
w
4
t
2
- Suma o diferencia de cubos perfectos:
.
Ejercicios
Factorizar
a.
8 m
6
n
3
b.
w
3
c.
t
12
v
9
d.
− 216 a
3
3
e.
− x
3
y
3
−
z
6
f.
p
9
q
3
r
15
Factorización de trinomios.
4. Trinomio cuadrado perfecto:
(Recordar producto notable)
Ejercicios
Factorizar:
a.
x
2
− 6 xy + 4 y
2
b.
4 − 20 t + 25 t
2
c.
9 v
4
t
2
+ 1 + 6 v
2
t
d.
1 +
2 x
3
x
2
e.
1
25
25 s
4
36
−
s
2
3
- Trinomio de la forma:
x
2
Se descompone en dos factores (binomios) en los cuales:
El primer término es la raíz cuadrada del primer término del trinomio (
x
)
El segundo término son dos cantidades (
m
y
n
) tales que su producto es igual al término independiente del trinomio
y su suma corresponde al coeficiente del segundo término.
x
2
+ bx + c =( x + m )( x + n )
Donde
mn = c
y
m + n = b
Ejercicios
Factorizar:
a.
m
2
− 9 m + 20
b.
t
2
− 15 t − 250
c.
v
2
− 105 + 8 v
d.
n
2
− 41 n + 400
e.
f
2
- Trinomio de la forma:
ax
2
Multiplicamos el trinomio por el coeficiente de
x
2
. Obtenemos
( ax )
2
Factorizamos del la misma manera que el caso anterior:
( ax )
2
- b ( ax )+ ac =( ax + m )( ax + n )
donde
mn = ac
y
m + n = b
Como el trinomio se multiplicó por
a
, debemos dividirlo por
a
. En consecuencia tenemos:
ax
2
( ax + m )( ax + n )
a
, Donde
mn = ac
y
m + n = b
Ejercicios
y
2
− 5 y =− 6 La ecuación es verdadera para
y = 2
o para
y = 3
. Otros valores no satisfacen la ecuación.
Ejemplo:
En la ecuación:
3 x − 5
=
2 x − 3
El primer miembro es
3 x − 5
y el segundo miembro
2 x − 3
Ejemplo:
De la ecuación anterior los términos son:
3 x
,
− 5
,
2 x
y
− 3
Clases de ecuaciones
Ejemplo:
Ecuaciones de primer grado
14 x − 6 = 3 x − 1
;
ax + b = b
2
x + c
Ecuación de segundo grado
x
2
− 5 x + 6 = 0
.
Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita
La ecuación entera de primer grado con una incógnita es de la forma:
La solución de esta ecuación se obtiene de la siguiente manera:
ax + b = 0
Con
Miembros de una ecuación
Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que está a la izquierda del signo de la igualdad
o identidad, y segundo miembro, a la expresión que está a la derecha.
Términos
Son cada una de las cantidades que están conectadas con otra por el signo + o -, o la cantidad que
está sola en un miembro.
- Ecuaciones numéricas : No tiene más letras que las incógnitas.
Ejemplo :
4 x − 5
=
x + 4
- Ecuaciones literales : Además de las incógnitas tienen otras letras.
Ejemplo :
3 x + 2 a
=
5 b − bx
- Ecuaciones enteras y fraccionarias: Son enteras cuando ninguno de sus términos tiene denominador
como en los ejemplos anteriores. Son fraccionarias cuando alguno o todos sus términos tienen denominador.
Ejemplo : Ecuación fraccionaria :
3 x
6 x
=
x
El grado de una ecuación con una sola incógnita es el
mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación.
A los dos miembros de la igualdad sumamos
− b
. Esto, en virtud de la propiedad uniforme de las igualdades con
respecto a la suma: Si a los dos miembros de una igualdad le sumamos un mismo número
real, la igualdad no se altera. ¿Se cumple lo mismo para la resta? De un ejemplo.
Los dos miembros de la igualdad se dividen entre
a
(Equivalente a decir que los dos miembros se multiplican por
a
.
¿Por qué?). Teniendo en cuenta la propiedad uniforme de las igualdades con respecto a la multiplicación: Si
multiplicamos los dos miembros de una igualdad por el mismo número real, la igualdad no
se altera.
Tenga en cuenta las siguientes normas prácticas para resolver ecuaciones:
La transposición de términos consiste en cambiar los términos de
una ecuación de un miembro a otro y se fundamenta en la propiedad uniforme de las igualdades.
Término que está sumando en uno de los miembros de la ecuación se pasa a restar al otro miembro y viceversa.
Término que está multiplicando en uno de los miembros de la ecuación pasa a dividir al otro miembro y viceversa.
Términos iguales con signos iguales en diferentes miembros de una ecuación pueden suprimirse.
Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación varíe. Porque equivale a
multiplicar los dos miembros de la ecuación por –1.
Reglas generales para resolver ecuaciones
Ejemplos:
- Resolver la siguiente ecuación:
3 x − 5 = x + 3
Solución :
3 x − 5 = x + 3
3 x − x = 3 + 5
2 x = 8
x = 4
- Resolver la siguiente ecuación:
3 x −( 2 x − 1 )= 7 x −( 3 − 5 x ) +(− x + 24 )
Solución:
3 x −( 2 x − 1 )= 7 x −( 3 − 5 x ) +(− x + 24 )
3 x − 2 x + 1 = 7 x − 3 + 5 x − x + 24
3 x − 2 x − 7 x − 5 x + x =− 1 − 3 + 24
− 10 x = 20
10 x =− 20
x =− 2
- Resolver la siguiente ecuación:
5 x + {− 2 x +(− x + 6 ) }= 18 −{−( 7 x + 6 )−( 3 x − 24 ) }
Solución:
5 x + {− 2 x +(− x + 6 ) }= 18 −{−( 7 x + 6 )−( 3 x − 24 ) }
5 x + {− 2 x − x + 6 }= 18 −{− 7 x − 6 − 3 x + 24 }
5 x − 2 x − x + 6 = 18 + 7 x + 6 + 3 x − 24
5 x − 2 x − x − 7 x − 3 x = 18 + 6 − 24 − 6
ax + b +(− b )= 0 +(− b )
ax =− b
ax
a
=
− b
a
x =−
b
a
- Se efectúan las operaciones indicadas si las hay.
- Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y
en el otro miembro todas las cantidades conocidas.
- Se reducen términos semejantes en cada miembro.
- Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita.
Ejercicios
Resolver las siguientes ecuaciones:
14 x −( 3 x − 2 )− [
5 x + 2 −( x − 1 ) ]
= 0
( 3 x − 7 )
2
− 5 ( 2 x + 1 ) ( x − 2 )=− x
2
[
−( 3 x + 1 )
]
6 x −( 2 x + 1 ) =− {
− 5 x +
[
−(− 2 x − 1 ) ] }
2 x + 3 (− x
2
− 1 )=−{ 3 x
2
- 2 ( x − 1 )− 3 ( x + 2 ) }
x
2
− {
3 x + [ x ( x + 1 )+ 4
x
2
− 1
− 4 x
2
] }
= 0
( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x − 1 )=( x + 4 ) ( x + 4 ) ( x − 4 ) + 7
( x + 1 )
3
−( x − 1 )
3
= 6 x ( x − 3 )
3 ( x − 2 )
2
( x + 5 )= 3 ( x + 1 )
2
( x − 1 ) + 3
3 ( 2 x + 1 ) (− x + 3 )−( 2 x + 5 )
2
=−[−{− 3 ( x + 5 ) }+ 10 x
2
]
( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x − 3 )=( x − 2 ) ( x + 1 ) ( x + 1 )
Problemas sobre ecuaciones entera de primer grado con una incognita
Ejemplos:
- La suma de las edades de Juan y Pedro es 84 años, y Pedro tiene 8 años menos que Juan. Hallar ambas
edades.
Solución:
Sea
x
la edad de Juan
Como Pedro tiene
8
años menos que Juan, la edad de Pedro será:
x − 8
Entonces:
x +( x − 8 )= 84
Solución de la ecuación:
x +( x − 8 )= 84 → x + x − 8 = 84 → 2 x = 84 + 8 → 2 x = 92 →
x =
2 x = 46
2. Pagué $ 87.000 por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero costó $ 5.000 más que el libro y $ 20.
menos que el traje. ¿Cuánto pagué por cada cosa?
Solución:
Sea
x
el precio del libro.
Como el sombrero costó $ 5.000 más que el libro:
x + 5. 000
El sombrero costó $ 20.000 menos que el traje; luego el traje costó $ 20.000 más que el sombrero:
x + 5. 000 + 20. 000
Entonces:
x + x + 5. 000 + x + 25. 000 = 87. 000
Solucionando la ecuación:
x + x + 5. 000 + x + 25. 000 = 87. 000 → 3 x = 87. 000 − 5. 000 − 25. 000 → 3 x = 57. 000 →
x =
x = 19. 000
Respuesta : Pagué por el libro $ 19.000 ; por el sombrero
x + 5. 000 = 19. 000 + 5. 000 =
$ 24.000 y por el
traje
x + 5. 000 + 20. 000 = 19. 000 + 5. 000 + 20. 000 =
$ 44.000.
Respuesta: La edad de Juan es 46 años y la de Pedro es
x − 8 = 46 − 8 =
años.
- La suma de tres números enteros consecutivos es 156. Hallar los números.
Solución:
Sea
x
el número menor.
x + 1
El número intermedio
x + 2
El número mayor
Entonces:
x + x + 1 + x + 2 = 156
Solucionando la ecuación:
x + x + 1 + x + 2 = 156 → 3 x = 156 − 1 − 2 → 3 x = 153 →
x =
x = 51
- La edad de Jorge es doble que la de Carlos, y ambas edades suman 36 años Hallar ambas edades.
Solución:
Sea
x
la edad de Carlos
Como la edad de Jorge es doble que la de Carlos, la edad de Jorge es:
2 x
Entonces:
x + 2 x = 36
Solucionando la ecuación:
x + 2 x = 36 → 3 x = 36 →
x =
x = 12
Repartir $ 180.000 entre Andrea, Diego y Carolina de modo que la parte de Andrea sea la mitad de la de Diego y
un tercio de la de Carolina.
Solución:
Sea
x
la parte de Andrea, entonces
2 x
es la parte de Diego y
3 x
es la parte de Carolina
Por lo tanto la ecuación es:
x + 2 x + 3 x = 180. 000
. Su solución es:
x + 2 x + 3 x = 180. 000 → 6 x = 180. 000 →
x =
x = 30. 000
6. Entre Felipe y Diana tienen $ 81.000. Si Felipe pierde $ 36.000, el doble de lo que le queda equivale al triple de lo que
tiene Diana ahora. ¿Cuánto tiene cada uno?
Solución:
Sea
x
lo que tiene Felipe. Entonces
- 000 − x
es lo que tiene Diana
Si Felipe pierde $ 36.000, se queda con $
( x − 36. 000 )
y el doble de esta cantidad es
2 ( x − 36. 000 )
La ecuación Es:
2 ( x − 36. 000 )= 3 ( 81. 000 − x )
Solucionando la ecuación:
2 ( x − 36. 000 )= 3 ( 81. 000 − x ) →
2 x − 72. 000 = 243. 000 − 3 x → 2 x + 3 x = 243. 000 + 72. 000 → 5 x = 315. 000 →
x =
x = 63. 000
Ejercicios
Respuesta: Felipe tiene $ 63.000 y Diana
- 000 − x = 81. 000 − 63. 000 =
$
Respuesta:
Andrea: $30.000 ; Diego :
2 x = 2 ( 30. 000 )=
$60.000 y Carolina :
3 x = 3 ( 30. 000 ) =
Respuesta: Las edades son: la edad de A es
2 x = 2 ( 12 ) =
24 años y la edad de B es 12 años.
Respuesta: Los números son: el menor 51 ; el del medio
x + 1 = 51 + 1 =
52 y el mayor
x + 2 = 51 + 2 =
