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Ejemplos:
- Son fracciones algebraicas :
a + b
a − b ;
3 x 2 − 5 x + 4
12 x ;
7 m
3
n
2
p
4 mn
4
p 2 ;
t .
- No son fracciones algebraicas :
2 √ x − 3
5 x ;
3
√ z^ ;
√^2 x +^4
√ x −^1.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Ejemplo:
- Simplificar: 9 x 3 y 2
12 x
4
y
2
z
Solución:
Hallamos el m. c. d. entre 9 x
3
y
2
y 12 x
4
y
2
z . El m. c. d. entre los coeficientes 9 y 12 es 3.
La parte literal está formada por las letras comunes con el menor exponente x
3
y
2 .
Por lo tanto el m. c. d. de los monomios es 3 x
3
y
2 , entonces 9 x 3 y 3 ÷ 3 x 3 y 2
12 x
4
y
2
z ÷ 3 x
3
y
2
3 y 4 xz (^) Fracción irreductible. Ejercicios
1. Simplificar: a.
m
3
m
2
n ; b.
a
4
b
3
c
2
3 a
3
b
2
c ; c.
7 wr 2 t 3
21 w
3
rt
4 ; d. 75 x 2 y 5
15 x
3
y
3
z
2 ; e. 20 pq 2 s
100 ps
Profesores : HENRY MARTINEZ JOSE VICENTE POLENTINO ORTIZ
FRACCIONES
ALGEBRAICAS
Es toda expresión que se puede escribir en la forma
a
b donde a y b son polinomios y
b ≠ 0.
1. Cuando el numerador y el denominador son monomios: Se halla el máximo común divisor entre el numerador y el denominador de la fracción. Se divide el numerador y el denominador de la fracción por el máximo común divisor. Nota: Para determinar el máximo común divisor entre dos o más monomios, se halla el máximo común divisor de los coeficientes y se agrega como parte literal, las letras comunes con el menor exponente.
2. Resolver: Expresa la razón entre los lados correspondientes en los siguientes triángulos. ¿Los triángulos ABC^ y A^ '^ B^ '^ C^ '^ son semejantes? ( Si las razones entre las medidas de los lados correspondientes de dos triángulos son iguales, entonces los triángulos son semejantes. Teorema de semejanza LLL “lado – lado – lado” ) Ejemplos:
- Simplificar: 2 a 2 b 4 a 2 − 6 a 2 b Solución: 2 a 2 b 4 a 2 − 6 a 2 b (^) = 2 a 2 b 2 a 2 ( 2 − 3 b ) (^) = b 2 − 3 b
- Simplificar: t 2 − t − 20 t 2 − 7 t + 10 Solución: t 2 − t − 20 t 2 − 7 t + (^10) =
( t − 5 )( t + 4 )
( t − 2 )( t − 5 ) =
t + 4
t − 2
Ejercicios
1. Simplifique las siguientes fracciones: a. c 2 − c − 20 c^2 − 7 c + (^10) b. 4 x 2
- 4 xy + y 2 4 x^2 − y^2 d. a 2
- 6 ab + 9 b 2 a^3 + 27 b^3 e.
( 9 x^2 + 18 x + 9 ) ( x + 1 )
3 ( x + 1 ) 3 f.
( 1 + 6 x + 7 x^2 ) ( 1 + 3 y )
1 −( 3 y ) 2 g. n 2 − 5 n + 6 2 n − 4
- Desarrollar: Profesores : HENRY MARTINEZ JOSE VICENTE POLENTINO ORTIZ B B’ 8 x 6 x 4 x (^) 3 x A C A’ C’ 10 x 5 x
- Cuando el numerador o el denominador son polinomios: Se factorizan los polinomios. Se simplifican los factores comunes que queden en el numerador y el denominador.
Ejemplo: Efectuar:
x + 1
x
2
− x − 20
x + 4
x
2
− 4 x − 5
x + 5
x
2
+ 5 x + 4
Solución:
x + 1
x
2
− x − 20
x + 4
x
2
− 4 x − 5
x + 5
x
2
+ 5 x + 4 =
x + 1
( x − 5 )( x + 4 )
x + 4
( x − 5 )( x + 1 )
x + 5
( x + 4 )( x + 1 ) =
El m. c. m. de los denominadores es: (^ x −^5 )(^ x +^1 )(^ x +^4 ) ( x + 1 )( x + 1 ) ( x − 5 )( x + 4 )( x + 1 )
( x + 4 )( x + 4 ) ( x − 5 )( x + 1 )( x + 4 )
( x + 5 )( x − 5 ) ( x + 4 )( x + 1 )( x − 5 ) (^) =
x
2
+ 2 x + 1
( x − 5 )( x + 1 )( x + 4 )
x
2
+ 8 x + 16
( x − 5 )( x + 1 )( x + 4 )
x
2
( x − 5 )( x + 1 )( x + 4 ) =
( x
2
+ 2 x + 1 )−( x
2
+ 8 x + 16 )+( x
2
( x − 5 )( x + 1 )( x + 4 ) =
x
2
+ 2 x + 1 − x
2
− 8 x − 16 + x
2
( x − 5 )( x + 1 )( x + 4 ) =
x
2
− 6 x − 40
( x − 5 )( x + 1 )( x + 4 ) =
( x − 10 )( x + 4 ) ( x − 5 )( x + 1 )( x + 4 ) (^) = x − 10 ( x − 5 )( x + 1 ) (^) = x − 10 x 2 − 4 x − 5 Ejercicios
- Determinar el m. c. m. de: a. b 3 + b 2 − 6 b (^) ; b 3 − 6 b 2 ; b −^2 b.^2 x^ +^3 ;^4 x 2 − 3 x − (^1) ; 2 x 2 + x − (^3) c. 2 x 2 + 3 x − (^2) ; 2 x − (^1) ; x + 2 d. x 2 − (^1) ; x 2 − x (^) ; x 3 − x (^) e. x 2 + x − (^6) ; x 2 + 2 x − (^8) ; 6 x 2 + 12 x
- Resolver los siguientes ejercicios: a.
5 t
2 s
2 +^
3 t
2 s
2 −^
7 t
2 s
2 b.
R
2 R
2 +^
R
3 c.
v + 3
v
3
tz
2 +^
4 v − 1
5 v
2
tz
2 d. 3 p − 7 12 p − 6 p − 12 6 p 2
- Resolver:
- Hallar el perímetro en: Profesores : HENRY MARTINEZ JOSE VICENTE POLENTINO ORTIZ Las longitudes de los lados del triángulo de la figura están expresadas en términos algebraicos, de la siguiente forma: Lado x = b 2 ab^2 c (^) ; lado y = a 4 a^2 bc (^) y lado z = 3 c 5 a bc^2. Calcular el perímetro del triángulo.
- Realizar las siguientes operaciones: a. x 2 x^2 + 2 x + 1
5 x 3 x + 3
x^2 − (^1) b.
3 a (^ a + 1 )^
5 a 5 a − 5
2 a 2 a^2 − 2 a + (^1) c. 4 a a^2 − 25
2 a a − 5
2 a − 1 a − 5 d.
x
x + y
y
x − y e.
7 q − 45
q
2
+ 11 q − 26
6 q − 9
5 q
2
+ 15 q − 50
7 − 4 q
2 q
2
+ 10 q − 28
f. Hallar el resultado de restar
1 − v
6 vw
2 de la suma de
3 v − 2
vw
2 con
v + 1
3 v
2
w
2
- Multiplicación: Ejemplos:
- Efectuar:
mn
2
a
3
b
2
m
2
n
2
×
6 x
a
2
b
Solución:
mn
2
a
3
b
2
m
2
n
2
×
6 x
a
2
b =
( mn
2
)( a
3
b
2
)( 6 x )
3 ( m
2
n
2
)( a
2
b ) =
6 a
3
b
2
mn
2
x
3 a
2
bm
2
n
2
2 abx
m
- Efectuar:
2 p
2
+ 2 p
2 p
2 ¿^
p
2
− 3 p
p
2
− 2 p − 3
Solución:
2 p
2
+ 2 p
2 p
2 ¿^
p
2
− 3 p
p
2
− 2 p − 3 =
2 p ( p + 1 )
2 p
2 ¿^
p ( p − 3 )
( p − 3 )( p + 1 ) =
p + 1
p
p
p + 1 =
( p + 1 ) p p ( p + 1 ) (^) = 1
3. División: Ejemplos:
- Efectuar:
4 mn
2
3 h
16 m
2
n
9 h
2
r
2 Profesores : HENRY MARTINEZ JOSE VICENTE POLENTINO ORTIZ Como en la división de números fraccionarios, se multiplica el dividendo por el recíproco o inverso multiplicativo del divisor. Igual que en los números fraccionarios , la multiplicación de fracciones algebraicas da como resultado otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores de las fracciones y cuyo denominador es el producto de los denominadores.
