Taller de probabilidad, Ejercicios de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica

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Bioestadística

Tema 4: Probabilidad

 ¿Cuál es la probabilidad de aprobar Bioestadística?

 ¿Cuál es la probabilidad de no encontrarme un atasco cuando voy

a clase?

 Todos los días nos hacemos preguntas sobre probabilidad e

incluso los que hayáis visto poco de la materia en cursos

anteriores, tenéis una idea intuitiva lo suficientemente correcta para

lo que necesitamos de ella en este curso.

 En este tema vamos a:

 (^) Ver qué entendemos por probabilidad.  (^) Mostar algunas reglas de cálculo.  (^) Ver cómo aparecen las probabilidades en CC. Salud.  (^) Aplicarlo a algunos conceptos nuevos de interés en CC. Salud.  (^) Pruebas diagnósticas.

Sucesos  (^) Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (E).  (^) Se llama suceso a un subconjunto de dichos resultados.  (^) Se llama suceso contrario (complementario) de un suceso A, A’, al formado por los elementos que no están en A  (^) Se llama suceso unión de A y B, AUB, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos.  (^) Se llama suceso intersección de A y B, A∩B o simplemente AB, al formado por los elementos que están en A y B E espacio muestral E espacio muestral A A’ E espacio muestral A B E espacio muestral A B E espacio muestral A B

UNIÓN INTERS.

 (^) Se llama probabilidad a cualquier función, P, que asigna a cada suceso A un valor numérico P(A), verificando las siguientes reglas (axiomas)  (^) P(E)=  (^) 0≤P(A) ≤  (^) P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø  (^) Ø es el conjunto vacío.  (^) Podéis imaginar la probabilidad de un subconjunto como el tamaño relativo con respecto al total (suceso seguro) Definición de probabilidad E espacio muestral 100% B E espacio muestral A

A

Probabilidad condicionada

Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A sabiendo que pasa B: E espacio muestral B “tamaño ”^ de uno respecto al otro

Error frecuentíiiiiiisimo:  (^) No confundáis probabilidad condicionada con intersección.  (^) En ambos medimos efectivamente la intersección, pero… 

En P(A∩B) con respecto a P(E)=

 En P(A|B) con respecto a P(B)

P ( A | B )= P ( A ∩ B ) P ( B )

EJEMPLOS B E espacio muestral A P(A)=3/9=1/ E espacio muestral A B P(B)=5/ P(AUB)=6/9=2/ P(AB)=2/ P(A’)=6/9=2/ P(B’)=4/ P(A)=3/9=1/ P(B)=2/ P(AUB)=5/ P(AB)= P(A’)=6/9=2/ P(B’)=7/ P(A)=3/9=1/ E espacio muestral A B P(B)=2/ P(AUB)=3/9=1/ P(AB)=2/ P(A’)=6/9=2/ P(B’)=7/ P(A|B)=2/5 P(B|A)=2/ P(A|B)=0 P(B|A)= P(A|B)=1 P(B|A)=2/ P(A|B)=? P(B|A)=? P(A|B)=0P(A|B)=? P(B|A)=0P(B|A)=? P(A|B)=? P(B|A)=?

Intuir la probabilidad condicionada A B

A

B

¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B)=0,05 P(A|B)=

P(A) = 0,

P(B) = 0,

P(A∩B) = 0,

P(A) = 0,

P(B) = 0,

P(A∩B) = 0

Cualquier problema de probabilidad puede resolverse en teoría mediante aplicación de los axiomas. Sin embargo, es más cómodo conocer algunas reglas de cálculo:

 P(A’) = 1 - P(A)

 P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)

 P(AB) = P(A) P(B|A)

= P(B) P(A|B)

 (^) Prob. de que pasen A y B es la prob. de A y que también pase B sabiendo que pasó A. Algunas reglas de cálculo prácticas

Recuento 189 280 469 108 359 467 6 58 64 303 697 1000 NORMAL OSTEOPENIA OSTEOPOROSIS CLASIFICACION OMS Total NO SI MENOPAUSIA Total Ejemplo (II)

 ¿Probabilidad de tener osteopenia u osteoporosis?

 P(OsteopeniaUOsteoporosis)=P(Osteopenia)+P(Osteoporosis)-

P(Osteopenia∩Osteoporosis)= 467 / 1000 + 64 / 1000 =0,

 (^) Son sucesos disjuntos

 Osteopenia ∩ Osteoporosis=Ø

 ¿Probabilidad de tener osteoporosis o menopausia?

 P(OsteoporosisUMenopausia)=P(Osteoporosis)+P(Menopausia)-

P(Osteoporosis ∩ Menopausia)=64/1000+697/1000-58/1000=0,

 (^) No son sucesos disjuntos

 ¿Probabilidad de una mujer normal?

 P(Normal)= 469 / 1000 =0,

 P(Normal)=1-P(Normal’)=1-P(OsteopeniaUOsteoporosis) =1-0,531=0,

Ejemplo (III)  (^) Si es menopáusica… ¿probabilidad de osteoporosis?

 P(Osteoporosis|Menopausia)= 58 / 697 =0,

¿Probabilidad de menopausia y osteoporosis?

 P(Menop ∩ Osteoporosis) = 58 / 1000 =0,

 Otra forma:

Recuento 189 280 469 108 359 467 6 58 64 303 697 1000 NORMAL OSTEOPENIA OSTEOPOROSIS CLASIFICACION OMS Total NO SI MENOPAUSIA Total P ( Menop ∩ Osteoporosis )= P ( Menop )× P ( Osteoporosis | Menop )= = 697 1000 × 58 697 = 58 / 1000 = 0 , 058

Dos sucesos son independientes si el que

ocurra uno, no añade información sobre el

otro.

 A es independiente de B

 P(A|B) = P(A)

 P(AB) = P(A) P(B)

Independencia de sucesos

Ejemplo (IV)  (^) ¿Son independientes menopausia y osteoporosis?

 Una forma de hacerlo

 P(Osteoporosis)=64/1000=0,

 P(Osteoporosis|Menopausia)= 58 / 697 =0,

 (^) La probabilidad de tener osteoporosis es mayor si ha pasado la menopausia. Añade información extra. ¡No son independientes!

 ¿Otra forma?

 P(Menop ∩ Osteoporosis) = 58 /1000 = 0,

 P(Menop) P(Osteoporosis)= ( 697 / 1000 ) x ( 64 / 1000 ) = 0,

 (^) La probabilidad de la intersección no es el producto de probabilidades. No son independientes. Recuento 189 280 469 108 359 467 6 58 64 303 697 1000 NORMAL OSTEOPENIA OSTEOPOROSIS CLASIFICACION OMS Total NO SI MENOPAUSIA Total

Divide y vencerás A 1 A 2 A 3 A 4

B

Todo suceso B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema. B = (B∩A 1 ) U (B∩A 2 ) U ( B∩A 3 ) U ( B∩A 4 ) Nos permite descomponer el problema B en subproblemas más simples. Creedme. Funciona. Suceso seguro

A 1

A 2

A 3

A 4

B

B

B

B

Teorema de la probabilidad total A 1 A 2 A 3 A 4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces… … podemos calcular la probabilidad de B. P(B) = P(B∩A 1 ) + P(B∩A 2 ) + P( B∩A 3 ) + P( B∩A 4 ) =P(A 1 ) P(B|A 1 ) + P(A 2 ) P(B|A 2 )+ … Suceso seguro

A 1

A 2

A 3

A 4

B

B

B

B

P(A 1 )

P(A 2 )

P(A 3 )

P(A 4 )

P(B|A 1 )

P(B|A 2 )

P(B|A 3 )

P(B|A 4 )