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probabilidad, cProbabillidad, combinatoria, probabilidad condicionada, independencia de sucesos y teoremas
Tipo: Apuntes
1 / 29
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1.1.INTRODUCCIÓN. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DEPROBABILIDAD. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS. ^ El Cálculo de Probabilidades es la ciencia que permite analizar demanera adecuada los fenómenos que presentan incertidumbre,llamados
fenómenos aleatorios
y que son el objeto de estudio de
este tema. Ejemplo 1
: Lanzamiento de un dado, tiempo hasta que se imprime un trabajo, voltaje en un circuito eléctrico.^ ^ La
axiomática de Kolmogorov
nos permite definir una medida de
la posibilidad de ocurrencia de un determinado suceso asociado aun fenómeno aleatorio, medida a la que llamaremos
probabilidad
del suceso. Los fenómenos aleatorios se estudian
mediante experimentos,
llamados,
experimentos aleatorios
Un conjunto o suceso A se caracteriza mediante la propiedad quecumplen todos sus elementos o dando todos sus elementos, entre llaves.Llamaremos
suceso seguro
al que se verifica siempre (Ω).
Llamaremos
suceso imposible
al que no se verifica nunca (
Definición 4:
Se llama
espacio de sucesos
al conjunto
S^ formado por
todos los subconjuntos de Ω
Ejemplo 2
: Experimento aleatorio: lanzar un dado. Espacio muestral Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Suceso A: obtener un número par al lanzar un dado o A = {2, 4, 6} S^ = {
Cardinal de S = 2
Usaremos la representación de conjuntos mediante diagramas de Vennpara dibujar el espacio muestral y los sucesos asociados al mismo.
Sean^
A^ y^ B
dos sucesos cualesquiera de Ω asociados a un experimento aleatorio, entonces:a)
Llamamos
suceso unión
de^ A^
y^ B^ (notación:
A^ B ^
), al suceso
que resulta cuando ocurre
A^ o^ B
o ambos a la vez.
b)^ Llamamos
suceso intersección
de^ A^
y^ B^ (notación:
A^ B ^
), al
suceso que resulta cuando ocurren a la vez
A^ y^ B
. Decimos que
y^ B^ son
disjuntos
o^ incompatibles
A^ si B
c)^ Llamamos
suceso contrario
o^ complementario
de^ A
(notación:
A^ ), al que se verifica cuando no lo hace
d)^ Llamamos
suceso diferencia
de^ A^
y^ B^ (notación:
A-B^ ) al que
resulta cuando ocurre
A^ y no ocurre
B. Observar que
A^ B^
e)^ Decimos que
A^ está contenido en
B,^ y lo designamos por
A^ B ^
si siempre que ocurre
A^ ocurre
A partir de un enunciado, será imprescindible escribir en notaciónconjuntista un cierto suceso Ejemplo 3:
(problema 2 de la hoja de problemas)
Definición 5:
Sea Ω
el espacio muestral asociado a un experimento
aleatorio y sea
S^ el espacio de sucesos asociado. Diremos que la aplicación
^ :^
0, P S^
es una
si verifica los
siguientes axiomas:^ ^
^
(^1)
Axioma 1
P^ ^
^ ^
Axioma 2
Si^
A^ i^ i I ^
, son sucesos incompatibles dos a dos, es decir,
A^ A^ i^ j
i^ j ^
, entonces
^ i^
i i^ I P^ A^ i^ I
P^ A ^
^
^
donde
I^ puede ser un conjunto de sucesos finito o infinito numerable. La terna (Ω,
S ,^ P ) se llama
Propiedad 6
, A B Si ^ ^ son tales que
A^ B ^
, entonces
P^ A^
P B
P^ B^
A^ P B
P A ^ ^
^
Propiedad 7
Si^ A^ y
B^ son sucesos cualesquiera, entonces^ ^
^ ^
^ ^
^ ^
P^ A^
B^ P A
P B
P A
B
^
^
^
Si^ A ,^
B^ y^ C
son sucesos cualesquiera, entonces
^ ^
^ ^
^ ^
^
^ ^
^ ^
^ ^
P^ A^
B^ C^
P^ A^
P B^
P C P A^
B^ P A
C^
P B^
C^ P
A^ B
C
^
^
^
^
^
^
^
Esta propiedad se puede generalizar al caso de más de tres sucesos^ ^
^
^ ^
^
^
^
^
^
1
1 2
1 2
1 ...^
...^1
...
n^
n^
n^
n
n^
i^
i^ j^
i^ j^
k^
n
i^
i^ j^
i^ j^ k
P^ A^
A^
A^
P^ A^
P A^
A^
P A^
A^ A^
P^ A^
A^
A
^
^
^ ^
^
^
^ ^
^ ^
^
^ ^
Hacer ejercicios 4, 5 y 9 de la hoja de problemas.
Propiedad 8
(Regla de Laplace) Sea Ω un espacio muestral
^
,^ ,..., 1 2
n A^ A^
A ^
asociado a un experimento aleatorio. Si se asignan probabilidades a cada elemento
^ ^
1,2,..., A i n (^) i
entonces para cualquier
suceso
B^ de Ω, la probabilidad de
A^ B P B^
Ejemplo 4
: Hacer el problema 8 de la hoja de problemas. En el caso de que todos los sucesos elementales
^ ^
1,2,..., A i (^) i
n ^
sean
, entonces,
º de elementos de
casos favorables a
º de elementos de
casos posibles del experimento
k^ n^
B^
B
P B^ ^ ^ n^ n
Para poder contar el número de elementos del espacio muestral Ω y delsuceso
B^ usaremos la Combinatoria.
REGLA DEL PRODUCTO:
Si un procedimiento se puede separar en k
etapas independientes, habiendo n
posibles resultados para i-ésimai
etapa, i = 1,2,...,k, el procedimiento total se puede realizar de^1
....^ k n^ n^
n ^ ^
^ maneras.
EJEMPLOS REGLA DE LAPLACE
Ejemplo 5
: Calcular la probabilidad de obtener 2 cruces al lanzar una moneda tres veces y la de obtener al menos dos cruces. Ejemplo 6
:^ Una caja contiene 2 bolas rojas y 2 negras. Se sacan dos bolas a la vez. Calcular la probabilidad de que:a) Las dos sean rojas.b) Al menos una sea negra.(explicar también sacar con reemplazamiento y sin reeemplazamiento)
Ejemplo 7:
(problema 14)
Se forma un número de tres dígitos,
seleccionándolos entre el 0,1,2,…,9. Calcular la probabilidad de los sucesos:a) A: Los tres dígitos sean igualesb) B: Los tres dígitos sean distintosc) C: Los dígitos son todos no nulos.d) D: Los tres dígitos sean mayores que 4. Ejemplo 8:
(problema 13) Calcular la probabilidad de: a) obtener la palabra
tema
al construir todas las permutaciones distintas
con las cuatro letras de las que consta.b) obtener la palabra
campana
al construir todas las permutaciones
distintas con las siete letras de las que consta.
Definición 6:
Sean^
y A B^ ^
. Llamaremos
probabilidad de
B^ condicionada
por^ A
a la probabilidad de que ocurra
B^ sabiendo que ha ocurrido
A. Se denota
por^ P^ B A^ ^
y si^
, se calcula como
P B^
A P B A
P
A
Vamos a calcular
^ P^ B A
del ejemplo 9
con esta regla de cálculo y comprobar
que se obtiene el mismo resultado que razonando directamente. Observaciones: ^ 1.^
^ ^
y P A P A^
B que aparecen en la fórmula se calculan sobre el espacio muestral inicial
^ P^ B A
como hemos hecho en el ejemplo 9
porque es difícil conocer
el espacio modificado
Ω´. Entonces,
en casi todos los casos
usaremos la
fórmula de la definición 6 para calcular probabilidades condicionadas.
^
^
^ /^1
/
P^ A^
B^
P^ A^
B ^ ^
^ ^
^ ^
/^
/^
/^ si
P^ A^
B^ C^
P^ A^ C
P B
C^
A^ B
^
^
^
^
^
^ ^
^ ^
P^ B^
A^ P A
P B A ^
Esta fórmula se aplica en casos en que se conoce
^ y^ P A^
P B A
.
5.^ La igualdad anterior se generaliza para 3 sucesos como
^
^
^
^
^
P A^
B^ C
P A
P B A
P C A
B
^
^
^
^
^
^
/^ ó P B A^
^
^
^
/^ con P B A^
P A^
B . En la primera, A ya ha
ocurrido y en la segunda los dos sucesos A y B están por ocurrir. Ejemplo 10
: Hacer ejercicios 19, 20 y 18 de la hoja de problemas
Hay ocasiones donde la información que proporciona saber que ha ocurrido undeterminado suceso
NO INFLUYE
sobre la probabilidad de otros sucesos
relacionados con el anterior. Ejemplo 11:
En el experimento de extraer una carta de una baraja española. Consideremos los sucesos
B : sacar un rey y
C : sacar un oro
4 1 /^
40 10 P B^ C
P B ^
Se dice entonces que los sucesos
B^ y^ C
son independientes
.
Definición 7:
Sean sucesos
y A B ^ ^. Se dice que
A^ y^ B
son independientes
si
^
^
^
^
^
P A B
P A
P B A
P B
^
^
^
.
En caso contrario, se dice que los sucesos son
dependientes
o que
no son
independientes.Obs:^ En el ejemplo 9
A : extraer figura y
B : extraer rey NO son independientes.
