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Modelado numérico del sistema de Rössler. Goretti Isabel Ake Ríos El objetivo de este ejercicio es el de hacer un programa que emule el sistema Rössler. El sistema Rössler un sistema no-lineal que exhibe un comportamiento caótico. El sistema de Rössler esta definido como sigue: x˙=−y−z y˙=x+ay z˙=b+z(x−c) donde: a=0.2,b=0.2,c=7. El programa debe calcular los valores de x,yz en un intervalo de tiempo [0,t], cada Δt segundos. se recomienda evaluar un tiempo t=200 y usar un intervalo Δ=0.
. Para estos parámetros tanto xcomoyyz, serán arreglos de tamaño 20, El atractor es el conjunto de estados hacia los cuales un sistema dinámico tiende a evolucionar. La idea general del algoritmo es evaluar cada instante las derivadas x˙,y˙z˙ de acuerdo a la descripción del sistema mostrada arriba y utilizarlas para calcular los valores requeridos
El programa: import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D a = 0. b = 0. c = 7. t = 200 delta_t = 0. num_steps = int(t / delta_t) x = np.zeros(num_steps) y = np.zeros(num_steps) z = np.zeros(num_steps) x[0] = 0. y[0] = 0. z[0] = 0. for i in range(1, num_steps):
Calcular las derivadas en el tiempo actual
x_dot = - y[i-1] - z[i-1] y_dot = x[i-1] + a * y[i-1] z_dot = b + z[i-1] * (x[i-1] - c) x[i] = x[i-1] + x_dot * delta_t y[i] = y[i-1] + y_dot * delta_t z[i] = z[i-1] + z_dot * delta_t fig = plt.figure() ax = fig.add_subplot(111, projection='3d') ax.plot(x, y, z) # Graficar la trayectoria en el espacio 3D ax.set_xlabel('$x$') ax.set_ylabel('$y$') ax.set_zlabel('$z$') ax.set_title('Atractor de Rössler') plt.show()
Al aplicar el método de Euler iterativamente, se calculan los valores de x, y, z en cada paso de tiempo, lo que produce una trayectoria en el espacio tridimensional x, y, z. Esta trayectoria representa la evolución del sistema de Rössler a lo largo del tiempo y forma el atractor de Rössler. Visualización del Atractor: Los valores calculados de x, y, z se grafican en un gráfico tridimensional utilizando la biblioteca matplotlib. Cada punto en el gráfico representa un estado del sistema en el espacio x, y, z en un momento dado. La forma retorcida y no lineal que se observa en la gráfica es característica del comportamiento caótico del sistema de Rössler. Observación del Comportamiento Caótico en los valores que toman x y y : La visualización del atractor de Rössler permite observar el comportamiento caótico del sistema, que se manifiesta en la sensibilidad a las condiciones iniciales y en la aparente aleatoriedad de la trayectoria en el espacio x, y, z.
