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MODELIZACIÓN MATEMATICA
TAREA 1
1a.- El numero de identificación fiscal europeo de la Republica Checa consta de siete dígitos más un digito de
control. Los siete primeros dígitos de izquierda a derecha se enumeran de 1 a 7. La primera no puede ser
nueve. De esos siete dígitos se calcula la suma del primer digito por ocho, más el segundo por siete, más el
tercero por seis y así́ sucesivamente hasta llegar al séptimo por dos. Se halla el resto de dividir esta suma por
once. El digito de control es once menos este resto, salvo en el caso en que este resultado sea diez y entonces el
digito de control es uno.
Si se cambian dos dígitos consecutivos, ¿cambian los dígitos de control? Explicar la repuesta.
Nº: 1 2 3 4 5 6 7 + Digito de control
- En el primer paso se obtiene 𝑛"
!
"
$
%
&
'
- El siguiente paso es dividir 𝑛" entre 11 y obtener el resto (Calculado con Excel) y obtener el digito de control (11-2):
Digito de control = 9
- El siguiente paso es cambiar dos digito consecutivos para comprobar si el digito de control coincide
Nº: 1 2 3 4 4 5 7 + Digito de control
!
"
$
%
&
'
- El siguiente paso es dividir 𝑛" entre 11 y obtener el resto (Calculado con Excel) y obtener el digito de control (11- 6 ):
Digito de control = 5
Esto es, al cambiar dos números consecutivos el digito de control varia. Si suponemos 𝑎 !
"
$
%
&
'
y
!
"
$
%
&
'
y se intercambian dos dígitos, por ejemplo 𝑎 !
y 𝑎 "
. Por ello, si obtenemos 𝑎" y 𝑏
y restamos los
valores obtenemos lo siguiente:
"
Y verificamos que es imposible que coincidan dado que:
"
1b.- El numero de identificación fiscal europeo de Malta tiene seis dígitos más dos dígitos de control. Los seis
primeros dígitos de izquierda a derecha se enumeran de 1 a 6. El primer digito no puede ser un cero. De esos
seis dígitos se calcula la suma del primer digito por tres, más el segundo por cuatro, más el tercero por seis,
más el cuarto por siete, el quinto por ocho y el sexto por nueve. De esta suma se calcula el resto de la división
por 37.
Si se cambian dos dígitos consecutivos ¿los dígitos de control cambian? Explicar las respuestas.
Nº Malta: 2 3 4 5 6 7 + 2 Dígitos de control
- En el primer paso se obtiene 𝑛"
!
"
$
%
&
- El siguiente paso es dividir 𝑛" entre 37 y obtener el resto (Calculado con Excel: Residuo) y obtener el digito de
control ( 37 - 3 ):
Digito de control = 34
- Entonces los dígitos de control son:
Digito de control 1 = 3
Digito de control 2 = 4
- El siguiente paso es cambiar dos digito consecutivos para comprobar si el digito de control coincide
Nº Malta: 2 4 5 5 6 7 + 2 Dígitos de control
!
"
$
%
&
- El siguiente paso es dividir 𝑛" entre 37 y obtener el resto (Calculado con Excel: Residuo) y obtener el digito de
control ( 37 - 13 ):
Digito de control = 24
- Entonces los dígitos de control son:
Digito de control 1 = 2
Digito de control 2 = 4
Esto es, al cambiar dos números consecutivos el digito de control varia. Si suponemos 𝑎 !
"
$
%
&
'
y
!
"
$
%
&
'
y se intercambian dos dígitos, por ejemplo 𝑎 !
y 𝑎 "
. Por ello, si obtenemos 𝑎" y 𝑏
y restamos los
valores obtenemos lo siguiente:
$
Y verificamos que es imposible que coincidan dado que:
$
- Después restamos el parámetro λ.
- Resolviendo la matriz obtenemos la siguiente ecuación.
"
− 65 , 25 𝜆 + 85 = 0
- Ahora, resolviendo la ecuación obtenemos los siguientes valores de λ.
λ 1 = 8,
λ 2 = 4
λ 3 = 2,
- Tras obtener los resultados, debemos obtener el valor propio de cada uno de los resultados.
λ 1 = (
"(
$%
#$
$%
λ 2 = ( − 1 , 1 , 0 )
λ 3 = (
)!
)"
- Entonces, si tomamos el mayor valor de λ, obtenemos los siguientes resultados
P
A
P
B
P
C
Por ultimo, analizando estos resultados llegamos a la conclusión de que la especie con mayor probabilidad de
enfermar es la especie C, seguida de la B. Al contrario, la especie A es la que menor probabilidad de enfermar refleja.
3.- La imagen que aparece a continuación corresponde a un ejemplo del denominado “killer- sudoku”. Sus
reglas son las que siguen. Es similar al sudoku clásico, pero en vez de tener dispuestos números iniciales, hay
agrupaciones de casillas por medio de bloques punteados. Cada uno de ellos, tiene un numero pequeño que
indica la suma total de las casillas que componen el bloque. Cada bloque está formado por casillas contiguas.
Hay que completar las casillas vacías con dígitos del 1 al 9, sin que se repitan en una misma fila, columna,
región de 3x3 y bloque punteado.
Definir las variables binarias a fin de resolverlo mediante técnicas de Programación Lineal. Indica el rango de
los subíndices de esas variables. Escribe las restricciones que deben cumplir dichas variables para resolver este
sudoku.
- Lo primero de todo es dejar claras nuestras variables:
x k, i, j con k, i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Si en la casilla aparece el numero k x k, i, j =1 k y si no aparece x i, j, k
- Después pasamos a definir las restricciones que marcamos
v En cada casilla únicamente habrá una cifra
(
*+!
*,-,.
= 1 i, j = 1, 2, …, 9
v En cada fila estarán todas las cifras
(
*,-,. = 1 k, j = 1, 2, …, 9
v En cada columna también aparecerán todas las cifras
(
.+!
*,-,.
= 1 k, i = 1, 2, …, 9
v Por último, en cada cuadricula de tres por tres aparecerán todas las cifras
.+!
*,-,.
= 1 k = 1, 2, …, 9
&
.+!
*,-,.
= 1 k = 1, 2, …, 9
(
.+!
*,-,.
= 1 k = 1, 2, …, 9
&
.+$
*,-,.
= 1 k = 1, 2, …, 9
&
&
.+$
*,-,.
= 1 k = 1, 2, …, 9
(
&
.+$
*,-,.
= 1 k = 1, 2, …, 9
(
.+'
*,-,.
= 1 k = 1, 2, …, 9
&
(
.+'
*,-,.
= 1 k = 1, 2, …, 9
(
(
.+'
*,-,.
= 1 k = 1, 2, …, 9
4.- a) Definición de valor y vector propio de una matriz cuadrada
n ´ n.
Definición de polinomio característico
de la matriz. ¿Como se hallan los valores propios?
Hallar los valores propios y los vectores propios de la matriz
El valor propio de una matriz cuadrada nxm se define como la raíz de la ecuación característica de la cual se obtiene
como resultado un numero real. Además, sabemos que existen tantos valores propios como filas o columnas posee la
matriz de origen
En cuanto al vector propio, este puede ser definido como un vector no nulo que cuando se transforma por el operador
da como solución un múltiplo escalar de si mismo, no cambiando su propia dirección
Por otro lado, vamos a explicar la defunción del polinomio característico de una matriz Un polinomio característico
es el polinomio obtenido a raíz de una matriz que describe sus propiedades esenciales. Este únicamente depende
según la clase de similitud de un matriz. Por esto mismo este polinomio aporta una gran cantidad de información.
Si queremos obtener los valores propios el procedimiento a seguir es el siguiente. Primero debemos calcular la
ecuación característica de la matriz resolviendo el determinante| A-lI |. Seguido de esto obtendremos las raíces del
polinomio característico que se ha calculado. Estas raíces comentadas son los valores propios de nuestra raíz.
Por ultimo el ejercicio nos pide hallar el valor propio de la matriz que aparece a continuación:
A =
- Primero sacamos los valores propios como hemos explicado con| A-lI |.
- Seguido obtenemos el determinante
3
2
- 65 l + 42 = 0
- Entonces los valores propios obtenidos son los siguientes.
λ 1 = 21
λ 2 = 2
λ 3 = 1
- Por último obtenemos el vector propio de cada uno de los valores.
λ 1 = ( 0 , − 1 , 1 )
λ 2 = ( − 1 , 3 , 3 )
λ 3 = ( 0 , − 1 , 1 )
b) Dada una ecuación diferencial lineal de segundo orden de coeficientes constantes y homogénea
y’ ’+vi’+cy=
¿Cual es su solución general?
Hallar la solución de la ecuación y’’-6y’+25y=0 que verifique y=1, y’=7 para x=0. Hallar la solución general de
la ecuación y’’-4y’+4y=0.
- La solución general se obtendra de la siguiente forma. Primero se analiza y´y y´´
y’ = a · e
rx y’’ = a
2 · e
rx
- Despues se sustituyen los valores en la ecuación general
a
2 e
rx
rx
rx = 0
a
2
a =
" − 4 𝑐
- Una vez despejada a, podemos obtener diferentes soluciones de a.
Por otro lado, se nos pide hallar la solución para la ecuación ( y’’-6y’+25y=0 ) que verifique los parámetros que se nos
solicitan. Estos parámetros son los siguientes:
- y=
- y´=
3.Para x=
Primero sustituimos en la ecuación general, sacamos factor común y resolvemos.
r
2 e
rx
rx
rx = 0
e
rx (r
2
r
2
r =
6 ± H(− 6 )
" − 4 · 25
