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TAREA 1: DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN CON MAPLE
Instrucciones: La tasca debe ser realizada por un grupo de no más de dos estudiantes. Debe realizarse con Maple. El documento para entregar será un documento de Maple donde al inicio deben figurar los nombres de los autores. Se pide la resolución de los ejercicios propuestos. Deberán estar justificados todos los pasos que se realicen insertando párrafos de texto con los comentarios pertinentes. Toda respuesta sin comentarios tendrá una valoración nula.
El nombre del fichero debe ser: T1_Apellidoestudiante1_Apellidoestudiante2.mw Fecha límite de entrega: 27/10/2016. Se entregará por el Campus Virtual Atenea.
TUTORIAL 1: C ÁLCULO DE LA RECTA TANGENTE A LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. En consecuencia, si designamos por m a la pendiente de la recta, se cumple que: m f '( x 0 ).
Calculamos la recta tangente a la función f ( ) x ln( x 1)en x 2 :
restart: f:=x->ln(x+1); x0:=2;y0:=f(x0);m:=D(f)(x0); plot({f(x),y0+m*(x-x0)},x=-10..10);
Calculamos ahora en qué punto (^ x 1^ ,^ y 1^ ) la función f ( ) x tiene una tangente paralela a la recta y 2 x 1. Para ello, usamos la condición de que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Así que, primero buscamos el valor de x donde se cumple dicha condición y lo asignamos a la variable x 1 y luego realizamos la representación:
x1:=solve(diff(f(x),x)=2,x); y1:=f(x1); m1:=D(f)(x1); plot({f(x),y1+m1(x-x1),2x+1},x=-3..3);
Ejercicio 1 (2 puntos)
Calcula el punto que cumple que su tangente a
f ( ) x ^ xx ^ 4 es perpendicular a la recta y 2 x.
¡Atención! La ecuación de una recta de pendiente m que pasa por el punto ( x 0 (^) , y 0 )es: y y 0 (^) m x ( x 0 )
Recuerda que … Si la recta y m x 1 n 1 es paralela a la recta y m x 2 n 2 , entonces: m 1 (^) m 2 Si la recta y m x 1 n 1 es perpendicular a y m x 2 n 2 , entonces: m 1 (^) 1/ m 2
TUTORIAL 2: P OLINOMIO DE TAYLOR
Desarrollamos en serie de Taylor, de orden 3, la función f ( ) x 2cos ( ) x , alrededor de x 0 y. Para ello, Maple dispone de una instrucción específica: restart: f:=x->2*cos(x); taylor(f(x),x=0,3); P:=convert(%,polynom);
Por último, veamos cómo el polinomio obtenido se aproxima a la función f ( ) x alrededor del punto x 0:
plot({f(x),P},x=-Pi..Pi);
Ejercicio 2 (2 puntos)
Calcula, con Maple, los polinomios de Taylor de orden 4, 5 y 6 de f ( ) x 2cos ( ) x. Haz su representación conjunta y comprueba numéricamente que la aproximación en x=0 es cada vez más exacta.
Observación: tal vez te pueda ser de ayuda la instrucción “subs”. Busca la ayuda para saber para qué sirve.
A continuación queremos averiguar de qué orden debemos tomar el polinomio de Taylor de nuestra función f ( ) x 2cos ( ) x para que al aproximar la función por el polinomio en x 3.4el error sea inferior a 10 ^5.
Recordemos que el polinomio Pn ( x ) de grado n aproxima la función f ( ) x alrededor de x a y por tanto se comete un error al utilizar Pn ( x )en lugar de f ( ) x. Supongamos que f ^^ n^ ^1 ^ ( ) x existe y que es continua. Sea K un número tal que f ^^ n^ ^1 ^ ( ) u K para todo u entre a y x. Entonces:
1 ( ) ( ) (^) ( 1)!
n n f x P x K x^ a n
^
Para la función f ( ) x 2cos ( ) x es evidente que podemos tomar K 2. De manera que debemos resolver:
3.4^15 (^2) ( 1)! 10
n n
Podemos encontrar el valor de n más pequeño que cumpla esta desigualdad ejecutando las siguientes instrucciones (observad que hay un bucle que se va repitiendo mientras el error sea mayor a 10 ^5 ): ineq := (2*abs(3.4-Pi)^(n+1))/(n+1)!; n:=1;
La convert(expr1,tipo) instrucción de (^) convierteMaple la expresión expr1 al tipo indicado.
Observación
Ejercicio 4 (2 puntos)
Calculad con Maple paso a paso el área de la figura plana limitada por el eje de abscisas y las curvas x y 2 0 , x^2 y 4 0.Se pide: gráficas, puntos de corte, etc.
TUTORIAL 4: C ÁLCULO DE VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN
Buscamos el volumen generado al girar alrededor del eje de abscisas la superficie plana limitada por las curvas: y x 2 y x^2 4
Primero hallamos a y b , los puntos de intersección entre ambas curvas, y luego calculamos el volumen utilizando la expresión:
( )^2
b a
V f x dx
Para calcular el volumen de revolución obtenido a partir de la superficie comprendida entre dos curvas, tenemos que calcular el volumen correspondiente a cada una de ellas y restarlos:
restart; with(student): f:=x->-x+2; g:=x->-x^2+4; intercept(y=f(x),y=g(x),{x,y}); a:=-1;b:=2; Volumen:=Pi*Int((g(x))^2-(f(x))^2,x=a..b); Volumen:=value(%);
Representamos gráficamente el volumen considerado a partir de las siguientes instrucciones de Maple:
with(plots): p1:=tubeplot([x,0,0],x=a..b,radius=f,axes=normal, style=wireframe,numpoints=25,tubepoints=80, axes=framed,color=red): p2:=tubeplot([x,0,0],x=a..b,radius=g,axes=normal, style=wireframe,numpoints=25,tubepoints=80, axes=framed,color=blue): p3:=implicitplot3d({x=a,x=b},x=a-0.1..b+0.1,y=-5..5, z=-5..5,color=grey,style=wireframe,numpoints=100,axes=framed): display({p1,p2,p3},orientation=[-90,90]); Con el cursor sobre la figura obtenida, pulsa el botón izquierdo del ratón y muévelo para obtener distintas orientaciones de la gráfica.
Ejercicio 5 (2 puntos)
Se desea calcular el volumen generado al girar alrededor del eje de abscisas el área plana limitada por las curvas y^2^ 4 x 4 , y^2 2 x 4.
a) Lleva a cabo dicho cálculo siguiendo los pasos mostrados en el tutorial (puntos de corte, integrales, gráficas, etc.) b) Realiza el mismo cálculo utilizando la función de Maple VolumeOfRevolution.
