Tecnicas cuantitativas, Apuntes de Técnicas Cuantitativas

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TÉCNICAS

CUANTITATIVAS

apuntes completos

*Por David García-Rama Leiro

La mejor manera de ordenar tanta información es en forma de matriz:

Cómo se observa en la tabla:

a) En cada fila: Se puede hacer el estudio de un lugar (en este caso una provincia).

b) En cada columna: Se puede estudiar las variaciones espaciales de una característica Ej.: Podemos estudiar las variaciones en el número de habitantes de una provincia a otra.

c) En cada celda: Se refleja un hecho geográfico. Ej.: La provincia de Alicante tiene 398m. de altitud media (esto es un hecho).

Podemos además, para nuestro estudio, comparar 2 filas, viendo así las distintas variaciones de cada característica de un lugar a otro. El caso de comparar 2 columnas es algo más complejo. Esto se conoce como correlación. Correlación simple: Se comparan 2 columnas entre sí.

Todos los datos recogidos en este tipo de tablas se pueden cartografiar ↓

La matriz gráfica tiene 2 dimensiones (largo x ancho), pero si añadimos la matriz temporal tendremos una matriz tridimensional (largo x ancho x profundidad).

3. Medida y escalas de medida

Para tener datos cualitativos es necesario medir los hechos o características que queremos analizar. La medida usualmente se define como la asignación de números a las unidades de análisis según ciertas reglas.

Stevens , un psicólogo americano, sistematizó las escalas de medida (1.946). Para el existen 4 tipos de escalas de medida:

a) Escala nominal: Sirve para distinguir las modalidades de un atributo. Esta escala tiene propiedades cuantitativas pero no aritméticas. Ej. Número de código postal.

b) Escala ordinal: Cuando se pueden comparar las diferencias entre las modalidades y ordenar los elementos de análisis de mayor a menor. Ej. Orden de preferencia de carreras tras la selectividad.

c) Escala de intervalos: Cuando no sólo se puede comparar la igualdad o desigualdad y el orden (escala ordinal) sino que también se puede establecer una unidad empírica de medida. Ej.: La temperatura en Celsius (el agua se congela a 0ºC, y se evapora a 100ºC) ¡Ojo!: 20ºC no es el doble de 10ºC, dado que no pueden hacerse proporciones (esta escala no entiende la multiplicación ni la división). Si podemos hablar del doble de temperatura en el caso de amplitudes térmicas. Por ejemplo una amplitud térmica de 20ºC es el doble de una de 10ºC.

d) Escala de razón: Hay un cero absoluto. No hay medida. No es arbitrario. No hay valor por debajo del cero. Utiliza números cardinales (estos números permiten todas las operaciones aritméticas).

• Cualquier tipo de dato obtenido de las escalas puede objeto de tratamiento estadístico.

La teoría de probabilidades es el puente que nos permite pasar rápidamente de la muestra a la población. Las características de los elementos que constituyen una población estadística o una muestra se pueden dividir en 2 grandes categorías:

a) Categorías cuantitativas: Se describen mediante números. Estas a su vez se dividen en discretas y continuas. i) variables discretas: Sólo puede tomar unos determinados valores y no es posible que pueda llegar a tomar un valor entre dos consecutivos (por lo general suelen tomar números enteros). Ej.: número de hijos de una mujer ii) variables continuas: Pueden tomar los infinitos valores de un intervalo. Ej.: tasa de natalidad (expresada en decimales)

b) Categorías cualitativas: Son atributos Ej.: color de pelo. No se describen mediante números, se suelen describir mediante palabras. Ej.: moreno o rubio (siguiendo con el ejemplo del pelo). Un atributo admite varias modalidades (en nuestro ejemplo, el atributo “rubio” incluiría varias tonalidades de pelo). Un atributo debe ser incompatible con otro, de tal manera que cada elemento esté adscrito a una sola categoría (o se es rubio o se es moreno).

Tema 2: Presentación de datos en forma de tablas y gráficas

1. Depuración y tabulación

• Depuración de datos: Consiste en detectar los datos erróneos. No obstante resulta imposible depurar errores mínimos (gente que se quita años, gente que redondea a la hora decir la edad…). Afortunadamente, por el contrario si se pueden detectar errores graves (por ejemplo un dato de 500 en lugar de 50).

-Tabulación de datos: Es hacer tablas con datos para que estos presenten una forma organizada. →La variable continua exige tabulación (mediante intervalos).

Las tablas suelen ser el principio de un estudio estadístico. Normalmente se tabula a doble columna, indicando en una los distintos valores ( ) y en otro la frecuencia de estos, o sea la parte de la muestra que cumple esas características (n).

Las variables, aún siendo discretas, pueden tomar muchos valores. Por eso en ocasiones para las variables discretas hacemos tabulaciones con intervalos, señalando así en cada fila los límites de cada intervalo (l). En el caso de las variables continuas, la tabulación siempre se hace mediante intervalos.

Los límites superiores e inferiores de cada intervalo continuo tienen que ser iguales Ej. 0-100 y 100-200, se repite el 100.El hacer esto nos permitirá incluir infinitos valores intermedios entre los intervalos usando decimales.

Si justo un valor coincide con los límites de los intervalos, lo añadimos o bien en el intervalo inmediatamente superior, o en el inmediatamente inferior. Indicando con este símbolo → bajo el número dentro del intervalo donde lo hayamos incluido (En el ejemplo figura bajo el número 300, del intervalo 200-300). En caso de haber más de un caso así en nuestra tabla, debemos seguir siempre el mismo procedimiento; es decir, o siempre lo incluimos en el superior o siempre en el inferior.

*Ejemplo de relación entre la amplitud, el rango de la variable y el nº de intervalos ↓

• amplitud = 5 (10-5=5 ; 15–10=5 ; 20–15=5 ; 25-20=5)
• rango de la variable= 20 (25-5= 20)
• Nº de intervalos= 4 (5-10,10-15,15-20 y 20-25)

ai= → 5= → 5 = 5 {Se demuestra la igualdad}

c) Marca de clase ( ): Valor intermedio de un intervalo.

d) Frecuencia absoluta acumulada (ni ac): Para un determinado valor ( ) o intervalo (l) es la suma del conjunto de la población (o de la muestra) igual o inferior a este. Ej.: La frecuencia acumulada de madres con tres hijos, hace referencia al número de madres que han tenido hasta 3 hijos (no más). Por tanto en este ejemplo debemos sumar las madres que no han tenido hijos, con las que han tenido uno, dos y tres respectivamente.

*Ejemplo de tabulación con marca de clase, intervalos, frecuencia y frecuencia acumulada↓

a= 5

e) Densidad (hi): Es el número de observaciones por unidad dentro del intervalo. Relaciona la frecuencia, con la amplitud del intervalo, para saber el peso de este. Muy útil para comparar la frecuencia de forma proporcional en intervalos irregulares.

hi=

3. Representaciones gráficas de los datos

a) Diagrama de barras: Gráfica en forma de barras donde en el eje de abscisas se representan los valores que puede tomar la muestra ( ) y en el de ordenadas las frecuencias que alcanzan dichos valores (ni).

b) Diagrama acumulativo: Variante del diagrama de barras, donde representamos las frecuencias acumuladas. Sólo sirve para variables discretas. La barra se continúa por la derecha desde su parte superior hasta el siguiente valor, formando una gráfica con forma de escalones donde se ve claramente las subidas en cada punto. Esto sirve para distinguir este tipo de diagrama de barras acumulativo del diagrama de barras normal.

• Como se observa en los dos ejemplos de diagramas de barras, el 0, al tener también valores de frecuencias, no lo situamos en el origen de coordenadas, sino que lo desplazamos un poco hacia la derecha. Esto nos permitirá ver mejor la barra con la frecuencia de este número.

e) Representaciones mediante figuras geométricas: Una manera muy usual de representar la distribuciones de frecuencia de un atributo consiste en repartir la superficie de alguna figura geométrica en partes cuyas áreas sean proporcionales con las frecuencias de cada una de las modalidades del atributo

- El polígono más utilizado para estas representaciones es el círculo. En los gráficos con forma circular depende de la frecuencia de la variable esta ocupará un mayor o menor número de grados de ángulo. Estos gráficos se conocen como gráficos sectoriales (también llamados gráficos de tarta).

Para su elaboración, hayamos mediante regla de 3 el número de grados que le corresponderá a cada sector dependiendo de su frecuencia.

*Ejemplo de elaboración de diagrama sectorial↓

Inmigrantes por continente Frecuencia (ni) Grados en la gráfica África 30 30 · 360/100 = 108º América 40 40 · 360/100 = 144º Asia 15 15 · 360/100 = 54º Europa 10 10 · 360/100 = 36º Oceanía 5 5 · 360/100 = 18º

*Cuando queremos destacar sólo uno de los sectores, lo pintamos de tal manera que sobresalga del círculo.↓

f) Pictogramas: Gráficos especiales que sirven para representar características en el tiempo. Para su elaboración se emplean diversos iconos, explicados en una leyenda.

• Ejemplo de matriz con: amplitud, marca de clase, intervalos, frecuencia absoluta, frecuencia absoluta acumulada, frecuencia relativa y frecuencia relativa acumulada.↓

ai li- 1 - li ni niac fi fiac 0,05 1,525 1,50 – 1,55 2 2 0,016 0, 0,05 1,575 1,55 – 1,60 12 14 0,1 0, 0,05 1,625 1,60 – 1,65 42 56 0,35 0, 0,05 1,675 1,65 – 1,70 36 92 0,3 0, 0,05 1,725 1,70 – 1,75 25 117 0,208 0, 0,05 1,775 1,75 – 1,80 3 120 0,025 0,

* Lamentablemente, con el redondeo se pierden valores decimales que hacen que fiac no de exactamente 1, sino un valor muy próximo.

2. Medidas descriptivas

-Medidas descriptivas: Hay dos grandes tipos de medida, las de posición y las de dispersión, además de las medidas de forma y acumulación (estas últimas no se verán en la asignatura).

Todos estos tipos de medida a su vez se dividen en otros subgrupos, tal y como se muestra en el esquema de la página siguiente →

A parte de la media como tal (media aritmética), existen otras variantes. Son las siguientes:

i) Media aritmética ponderada ( ƿ): Para su cálculo se asocia a cada valor de la variable ( ) un peso (ωi) que mide el grado de importancia de cada variable.

ii) Media geométrica: Utilizada para valores secuenciales, tiene que ver con el valor precedido, influido por este. Ej: meter dinero en una cuenta de intereses.

→

* indica un productorio, se van multiplicando sucesivamente los valores.

iii) Media armónica: Se utiliza cuando los datos corresponden a medidas que relacionan dos tipos de magnitudes. Ej: velocidad (espacio/ tiempo)

A=

*Ejemplo cálculo media y media armónica↓

(Qm / Ha)

ni ni /

10 100 10 1. 12 150 12,5 1. 15 120 8 1. 18 200 11,1 3. N=570 41,6 8.

= = 14,38 Qm/Ha

A= = = 13,7 Qm/Ha

iv) Media cuadrática: Es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores. Se utiliza por ejemplo en el cálculo de balances migratorios.

C=

*Ejemplo de cálculo de balance migratorio mediante la media cuadrática↓

N=5 17.

C= = = = 59,

b) Moda : Valor que tiene más frecuencia

(Nº de hijos por familia de una población)

ni

-En el ejemplo la moda sería 1, pues es el valor que tiene mayor frecuencia que el resto (515)

*En el hipotético caso de que existieran 2 modas, eso se conoce como distribución bimodal. En caso de haber más de dos modas hablaríamos de una distribución multimodal.

Intervalo modal: El intervalo que tiene la moda es el más denso, por tanto habría q calcular la densidad (hi)↓

li- 1 - li ni hi 0 – 20 10 0, 20 – 40 30 1, 40 – 80 45 1, 80 – 100 15 0,

*Si todos los intervalos son iguales, no es necesario calcular la densidad, en ese caso el intervalo modal simplemente será el que más frecuencia tenga.