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0
5
d 1
d (^2)
d (^3)
d (^4)
P
P
F’
F
V’
V C
Eje transversal
Eje Conjugado
d 1 – d 2 = K (cte.) d 3 – d 4 = K (cte.) F’, F: focos V’, V: Vértices C: Centro
La Hipérbola
La última cónica no degenerada se refiere a la hipérbola, que como en los casos anteriores damos la definición sin coordenadas; es decir, como un lugar geométrico.
Definición. Una hipérbola es el conjunto de puntos del plano tales que la diferencia (en valor absoluto) de las distancias a dos puntos fijos ( focos ) se mantiene constante. Figura 20.
Una característica de la hipérbola se debe a la existencia de dos ramas. La recta que une los focos corta a la hipérbola en dos puntos denominados vértices. El segmento que une los vértices se llama eje transversal, y su punto medio recibe el nombre de centro de la hipérbola, la recta perpendicular al eje transversal trazada por el centro, recibe el nombre de eje conjugado.
A. Ecuación en coordenadas cartesianas.
Supóngase que a es la distancia (positiva) del centro al vértice y c la distancia (positiva) del centro al foco. La obtención de la ecuación canónica de la hipérbola se realiza en forma similar a la de la elipse.
1° Consideremos que el eje transversal es horizontal (eje conjugado vertical), y supongamos que el centro C = (h,k), los vértices: V’ = (h – a,k), V = (h + a,k); los focos: F’ = (h-c,k), F = (h+c,k); y P = (x,y) un punto cualquiera sobre la hipérbola. Por definición de hipérbola: d(P,F’) – d(P,F) = K (estamos suponiendo d(P,F’) > d(P,F)). En particular, si el punto P se sitúa en el vértice V, entonces por definición d 1 – d 2 = 2a, donde 2a es la longitud del eje transversal, luego d(P,F’) – d(P,F) = 2a; es decir,
[ x − ( h−c)] 2 +[ y−k] 2 − [ x−( h+c)] 2 +[ y−k] 2 = 2 a
Después de desaparecer los radicales y simplificar se obtiene la ecuación canónica (o estándar ) de la hipérbola:
1 b
y k a
x h 2
2 2
2 − − − =
Fig. 20
LA HIPÉRBOLA
donde b 2 = c 2 – a 2. Note que a < c. Vea la figura 21
2° Suponiendo que el eje transversal es vertical (eje conjugado horizontal), donde C = (h,k); V’ = (h, k – a), V = (h, k+a); F’ = (h, k – c), F = (h, k+c); P = (x,y); la ecuación canónica es de la forma:
donde b 2 = c 2 – a 2. Figura 22. Cada hipérbola posee dos asíntotas que se cruzan en el centro. Estas pasan por los vértices de un rectángulo de lados 2a y 2b. El intervalo de longitud 2b que une (h, k+b) con (h, k-b) está sobre el eje conjugado. Figura 23. Este rectángulo proporciona un método rápido para trazar las asíntotas y la gráfica de la hipérbola. ¿Cuáles son sus ecuaciones de las asíntotas?. En efecto:
Si es el primer caso:
b
y k a
x h 2
2 2
2
− − − = , despejando y se obtiene ( x h) 2 a 2
a
y = k±b − −. Si ( x h)
a
y = k+b − es
la ordenada de la asíntota (con pendiente positiva) i, ( x h) 2 a^2
a
y = k+b − − es la ordenada
de la hipérbola, parte superior de la rama derecha, para un mismo x, entonces la diferencia entre estas ordenadas deben aproximarse a cero conforme x se hace cada vez más grande; esto es,
( ) ( ) (^1) b
x h a
y k 2
2 2
2 − − − =
-1 0 0 1 0
-1 0
0
1 0
F’ = (h–c,k)
a
b
c = a^2 +b^2
F = (h+c,k)
(h,k+b)
(h,k-b)
Asíntotas
Fig. 23
C
-1 0 - 5 0 5 1 0
0
5
F’ V’^ V F
d 2
d (^1)
P
x
y
-1 0
V•
F
d (^2) P
d (^1)
F’
V’•
x
y
Fig. 21
Fig. 22 C
LA HIPÉRBOLA
B. Aplicaciones.
Hay usos importantes de las formas hiperbólicas que quizá usted no conozca.
1. En astronomía, una aplicación interesante de las cónicas hace referencia a las órbitas de los cometas en nuestro sistema solar. Algunos cometas del espacio exterior entran al campo de gravitación solar, sigue una trayectoria hiperbólica alrededor del Sol y parten después para no volver a ser vistos jamás. De los 566 cometas registrados antes de 1960, 211 tienen órbitas elípticas, 290 parabólicas y 65 hiperbólicas. El centro del Sol es siempre un foco de tales órbitas y la posición más cercana al Sol en cada órbita es un vértice. Observe la figura 24.
Se prueba en física que, siendo p la distancia del vértice al foco y v la velocidad del cometa en el vértice, la órbita será:
,donde M es la masa del Sol, G = 6.67(10 –8)cm^3 /gr./seg 2.
2. En la navegación de barcos, cruceros y aviones se utilizan las hipérbolas en el sistema LORAN (LONG RANGE). Este es un principio de navegación de largo alcance que se basa en lo siguiente: Las estaciones transmisoras de tres localidades: S1, S 2 y S 3 , envían señales simultáneamente. Un barco registra con un receptor la diferencia en los tiempos de llegada de las señales que provienen de S 1 y S 2 así como la diferencia de los tiempos de llegada de las señales provenientes de S 2 y S3. Es posible traducir las diferencia en los tiempos de llegada en diferencia de distancia a la que se encuentra el barco, de S 1 y S2, y de S 2 y S 3. Al localizar todos los puntos tales que esas diferencia de distancias sean constantes se producen dos ramas p 1 y p 2 de una hipérbola con focos en S 1 y S2, y dos ramas q 1 y q 2 de otra hipérbola con focos en S 2 y S (^) 3. Es fácil deducir en cuáles ramas se encuentra el barco, observando los tiempos de llegada de las señales de cada estación. La intersección entre las ramas de cada hipérbola en que se encuentre el barco permite localizarlo. La mayoría de estos cálculos se hacen ahora en computadoras de tablero en los barcos y se dan posiciones en longitudes y latitudes.
p Sol^ Órbita elíptica
Órbita parabólica
Órbita hiperbólica
v
(a) Una elipse si p
2 GM
v <
(b) Una parábola si p
2 GM
v =
(c) Una hipérbola si p
2 GM
v >
Fig. 24
MATEMÁTICA BÁSICA II
Este sistema de navegación se usa ampliamente en navegación costera. Unidades “Loran” poco costosas se usan en muchos botes pequeños de recreo.
Fig. 25 Fig. 26
3. En ingeniería y estructuras arquitectónicas contemporáneas, las bóvedas están diseñadas mediante el paraboloide hiperbólico, con tales estructuras, una delgada loza de concreto puede cubrir grandes espacios. El edificio de la TWA en el aeropuerto Kennedy es un paraboloide hiperbólico, para nombrar unos cuantos de los múltiples ejemplos. Fig. 26 4. En la óptica, las propiedades de la parábola e hipérbola se combinan en el diseño de un telescopio reflector. Los rayos paralelos de una estrella se enfocan finalmente en el ocular colocado en F.
En la construcción de lentes, las propiedades de las cónicas han sido utilizadas en el pulimento de los lentes por cientos de años. Una reciente innovación es la introducción de lentes variables para reemplazar los lentes bifocales en los anteojos. Estos lentes están hechos de manera que, empezando por la parte superior, su excentricidad varía continuamente de menor a mayor, produciendo así secciones cruzadas de elipses a parábolas, a hipérbolas y permitiendo tener una visión perfecta de los objetos a cualquier distancia simplemente inclinando la cabeza.
q (^2)
-2 0 0 2 0 4 0
-2 0
0
2 0
S 1 S 2
S 3
p (^2)
q (^1)
Barco
p (^1)
Hipérbola
Parábola
Paraboloide hiperbólico
q (^2)
El otro foco de la hipérbola
Foco común de la parábola y la hipérbola
Espejo hiperbólico
Espejo parabólico
Telescopio reflector
Fig. 27
MATEMÁTICA BÁSICA II
En nuestro problema multiplicamos las ecuaciones de las asíntotas:
( 2 x + 3 2 y)( 2 x− 3 2 y) =K, lo que implica que 4x^2 –18y^2 = K. Como la curva pasa por
(3, –1), entonces haciendo x = 3, y = –1, se obtiene K = 18, luego la hipérbola tiene como
ecuación 4x^2 –18y^2 = 18; esto es, 1 1
y 9 / 2
x 2 2 − =
Ejemplo 3. Encontrar la ecuación del conjunto de puntos de un plano, tales que su
distancia al punto (3,0) sea 2
de su distancia a la recta 3
x =. Identificar la figura
geométrica.
Solución: Sea F el punto fijo (3,0) y L la recta fija 3
x = , P = (x,y); d(P,F) = 2
d(P, L ). La
ecuación de la directriz es e
a x = ( = ⇒ e
a 3
a = 2. Vea el ejemplo 1c de la sección 11.1), la
excentricidad 2
a
c e = = , y un foco F = (ae,0). Por tanto:
( )
2 (^22) e
a x ae y e x
− + = ^ − .Simplificando se obtiene; 1 a ( 1 e )
y a
x 2 2
2 2
2
−
+. Pero
1–e 2 < 0 (e > 1), b 2 = a 2 (e 2 – 1), y reemplazando a = 2, 2
e = se tiene 1 1 ) 4
4 (^9
y^2 4
x 2
−
− ; es
decir, 1 5
y 4
x 2 2 − =. Ver figura 29
Ejemplo 4. Los que escucharon A = (–8, 0), B = (8, 0), C = (8, 10) registraron los tiempos exactos en los cuales habían oído una explosión. Si B y C oyeron la explosión al mismo tiempo y A la oyó 12 segundos después, ¿dónde fue la explosión?. Supongamos que las distancias están en kilómetros y que el sonido recorre 1/3 de kilómetro por segundo.
Solución: En primer lugar, sean A y B focos de la hipérbola con centro en el origen y el eje
transverso AB , y supóngase que en P = (x,y) se produce la explosión. Como P está en una
F = (ae,0)
y L
e
a x =
•^ •
B = (8,0)
C = (8,10)
A = (-8,0)
x
y
Fig. 29 Fig. 30
LA HIPÉRBOLA
rama (derecha) de la hipérbola, entonces por definición d(P,A) – d(P,B) = K. Esta constante K está dada por el tiempo, 12 segundos que traducidos en distancia equivale a 4 kilómetros (1/3 km /seg es la velocidad del sonido), luego d(P,A) –d(P,B) = 4. De hecho, efectivamente P estará sobre una hipérbola. Además, sabemos que K = 2a y 2c = 16, de
donde a = 2, c = 8, b = c 2 − a^2 = 60 ; en consecuencia la ecuación viene dada por
1 60
y 4
x 1 b
y a
x 2 2 2
2 2
2 − = ⇒ − = ;es decir, 15x^2 – y^2 = 60 ... ( 1 ).
En segundo lugar, consideremos A y C como focos de otra hipérbola cuyo eje transverso es
el segmento AC. Hay una diferencia de sonido entre A y C también de 12 segundos, que equivale a 4 km. de distancia. Por definición de hipérbola P se encuentra en una rama de esta otra hipérbola tal que d(P,A) –d(P,C) = 4. En efecto,
( (^) x + 8 ) (^2) +y^2 − ( (^) x− 8 ) (^2) +( (^) y− 10 ) (^2) = 4 , después de elevar al cuadrado ambos miembros
y simplificar resulta 8x + 5y –29 = 2 ( ) ( )
2 2 x − 8 +y− 10. Desapareciendo el radical y
luego simplificando se obtiene: 60x^2 + 21y^2 + 80xy – 400x –210y + 185 = 0 .... ( 2 ). En tercer lugar, el punto P donde ocurre la explosión se encontrará en el punto de intersección de las dos hipérbolas, luego resolvemos el sistema:
15x^2 – y^2 = 60 ... ( 1 ). 60x^2 + 21y^2 + 80xy – 400x –210y + 185 = 0 ... ( 2 ).
De (1): 15
x^2 = 60 +y^2. Reemplazando en (2):
210 y 185 0 15
y 21 y 400 60 y 15
80 60 y 15
6060 y^2222 − + =
(^) +
(^) + +
(^) +
. Simplificando resulta:
5y^2 –42y+85=(80–16y) 15
60 + y^2 .Nuevamente elevando al cuadrado y simplificando
obtenemos la ecuación de 4 to^ grado: 119y^4 – 890y^3 – 6490y^2 + 94950y – 275625 = 0 ... ( 3 ) Ya que B y C oyeron la explosión al mismo tiempo, podemos asumir que P está a la misma distancia de B y C, por lo que al resolver la ecuación (3), por el método de Ruffini se tiene:
Es decir y=5 es una raíz de (3), de aquí que reemplazando en (1) 3
17 x = ≈ 2.38.
Finalmente, la explosión se produjo en el punto (2.38, 5).
LA HIPÉRBOLA
8. (Arquitectura) Un arquitecto está interesado en diseñar una bóveda de losa delgada en forma de paraboloide hiperbólico (Fig. 31). Encontrar la ecuación de la hipérbola ubicada en un sistema de coordenadas (Fig. 32), que satisfacen las condiciones que se indican: ¿A qué altura sobre el vértice pasa la hipérbola, por el punto que está 6 pies a la derecha del vértice?. 9. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto (2,3), tiene su centro en el origen, su eje transversal está sobre el eje y, y una de sus asíntotas es la recta 2y – 7 x= 0. 10. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia del punto (3,2) es siempre igual al triple de su distancia a la recta y + 1 = 0. 11. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia del punto (2,–1) es siempre igual al doble de su distancia de la recta x + 2 = 0. 12. Hipérbola Equilátera: Se dice que una hipérbola es equilátera si los semiejes transversal y conjugado son iguales; es decir, a = b. Si la ecuación es b 2 x^2 –a 2 y^2 = a 2 b 2
, entonces x^2 – y 2 = a 2. Además, c = a 2 + b^2 = a 2 + a^2 =a 2 ; 2 a
c e = = , luego
la excentricidad de un hipérbola equilátera es e = 2.
Una forma particularmente simple y útil de la ecuación de la hipérbola equilátera es xy = k (k es constante ≠ 0). Veremos más adelante que cuando se hace girar un ángulo de θ = 45°, esta ecuación toma la forma x’^2 – y’^2 = 2k, donde x’ y y’ son los nuevos ejes coordenados. Véase la figura 33. Las asíntotas son los ejes coordenados antiguos “x” y “y”. Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera que pasa por el punto (–1, –5) y tiene por asíntotas a los ejes coordenados.
x
y hipérbola
hipérbola
parábola Fig. 31 (^) Fig. 32
MATEMÁTICA BÁSICA II
0
5
x
y x' y'
-1 0 0 1 0
-1 0
(-a,0) 0 (a,0)
(0,b)
(0,-b)
x
y
Fig. 33
13. Hipérbolas Conjugadas: Dos hipérbolas se dice que son conjugadas si tienen los ejes transversales y conjugados intercambiados. Figura 34.
Hallar las coordenadas de los vértices y los focos y la excentricidad de la hipérbola que es conjugada a la que tiene por ecuación 9x^2 – 4y^2 = 36.
14. Si los vértices de una hipérbola están a 2/3 de la distancia del centro de los focos, hallar los ángulos que forman el eje transverso con las asíntotas. 15. El punto (1, –2) está en una hipérbola, uno de cuyos focos es el punto (–2,2) y la directriz correspondiente es la recta 2x – y – 1 = 0. Hallar la ecuación de la hipérbola. 16. Los vértices de una hipérbola son los puntos (–5, –3), (–5, –1) y la excentricidad
e = 5. Hallar la ecuación de la hipérbola y las ecuaciones de las asíntotas.
17. Hallar la ecuación de una hipérbola equilátera cuyo centro es el origen y que tiene sus focos sobre la recta y = (3/4 )x a una distancia de 5 unidades del origen. 18. (a) Demostrar que los focos de un par de hipérbolas conjugadas están sobre una circunferencia. (b) La excentricidad de la hipérbola b 2 x^2 – a 2 y^2 = a 2 b 2 es e 1. Si la excentricidad de su hipérbola conjugada es e (^) 2, demostrar que e (^) 1:e 2 = b:a. (a) Si las excentricidades de dos hipérbolas conjugadas son e 1 y e (^) 2, demostrar que e 12 + e 22 = e 12 e 22 19. ( Equilibrio de mercado ). Hallar la cantidad x y el precio y de equilibrio del mercado para las ecuaciones de oferta y demanda siguientes: (x + 12) (y + 6) = 169, x – y + 6 = 0.
Fig. 34
