TEMA 1, Ejercicios de Estadística

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INFERENCIA ESTADÍSTICA. MUESTREO Y ESTIMADORES

Introducción La estadística se divide en dos grandes bloques:

• Descriptiva.
• Inferencia. Por medio de la estadística descriptiva caracterizamos una o varias variables aleatorias, ya sea conjunta o separadamente. Dadas diversas medidas, que pueden corresponder a una parte de la población, datos muestrales, o a la totalidad de los individuos de la misma, el objetivo es resumir o sintetizar la información, haciendo ésta más comprensible. Si se realiza un análisis descriptivo sobre datos muestrales, no existe otro objetivo que describir la información contenida en los datos de la muestra, sin realizar ningún tipo de extrapolación. Por tanto, los análisis estadísticos sólo se refieren al conjunto de los datos muestrales.

En muchas ocasiones el interés no reside tanto en describir un determinado conjunto de datos muestrales como utilizar la información contenida en la muestra para conocer alguna característica de la variable o variables aleatorias en la población. Por supuesto, nada mejor que realizar un análisis a partir de la totalidad de los individuos de la población, pero eso no siempre es posible en términos de costes, ya sean económicos o temporales. De hecho, en muchas ocasiones es imposible obtener mediciones para la totalidad de los individuos de la población. En consecuencia, se desprende la necesidad de un tipo de razonamiento cuyo objetivo sea realizar extrapolaciones sobre los parámetros de las variables aleatorias en la población a partir de una parte de los individuos pertenecientes a la misma. O sea, utilizar la información contenida en los datos muestrales para realizar inferencias sobre el valor de los parámetros para el conjunto de los individuos de la población. Este es el objetivo de la inferencia estadística y, para alcanzar ese objetivo, debemos conocer cómo obtener muestras que representen adecuadamente al conjunto de individuos de la población de referencia. Es decir, la muestra debe ser representativa. La falta de representatividad implica sesgo. Para garantizar que la muestra sea representativa lo hacemos mediante muestreos probabilísticos o aleatorios. El plan de muestreo depende del tipo de estudio y de las características de la población. En todas las pruebas que haremos en Estadística supondremos muestreo aleatorio. En resumen, la diferencia entre la descripción y la inferencia es la extrapolación de los resultados que hacer la segunda.

La inferencia estadística es una generalización de los resultados de la muestra, es aplicar los resultados de la muestra al total de la población.

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Muestreo de poblaciones finitas

• Probabilístico. Todos los participantes que forman una población deben de ser susceptibles de ser seleccionados. Se debe conocer el censo. - Aleatorio simple. Todos tienen las mismas posibilidades de ser seleccionados. Se les asigna un numero a todos los individuos de la población y dichos números son escogidos posteriormente al azar para elaborar la muestra. El numero de individuos se simboliza con la letra “n” y el tamaño de la población “N”. - Aleatorio sistemático. Prácticamente obsoleto. Se da un numero a cada individuo pero hay un factor de salto. Son escogidos en función a otro numero proporcional (de 5 en 5). Por ejemplo, el investigador tiene una población total de 100 individuos y necesita 12 sujetos. Primero elige su número de partida, 5.Luego, el investigador elige su intervalo, 8. Los miembros de su muestra serán los individuos 5, 13, 21, 29, 37, 45, 53, 61, 69, 77, 85, 93. - Aleatorio inverso. Seleccionar personas al azar para llegar a n personas que tengan una característica concreta. En casos raros si el % es muy bajo con los demás métodos no saldrían. De esta manera se para el muestreo hasta que salen k resultados de ese evento raro. (sino ese caso raro nunca seria detectado). Después se hace k/n. - Aleatorio estratificado. Población segmentada por estratos. Las personas provienen de cada estrato. Hay dos tipos: ■ Proporcional. Tiene en cuenta la proporción del estrato en la realidad. ■ No proporcional. - Conglomerado. Agrupación natural. Selección a partir de este grupo. Pueden ser de tres tipos: ■ Unietápico. Todo el conglomerado. ■ Bietápico. Selección dentro del conglomerado. ■ Muiltietápico. Muchas selecciones dentro del conglomerado.
• No probabilístico. Se usa (se puede generalizar sin se probabilístico siempre que los sujetos a sesgo no son representativos) en procesos psicológicos más o menos para todos los miembros de la población. - Bola de nieve. Para población difícil de encontrar. Un grupo de investigadores escogen a sus individuos para el muestreo, y a su vez, estos asignan a conocidos suyos para que lleven a cabo el experimento etc. se va haciendo mas grande. Por ello no toda la población podrá participar (solo los conocidos). Los investigadores utilizan este método Estadística 4

de muestreo si la muestra para el estudio es muy rara o si está limitada a un subgrupo muy pequeño de la población. Este tipo de técnica de muestreo funciona en cadena. Luego de observar al primer sujeto, el investigador le pide ayuda a él para identificar a otras personas que tengan un rasgo de interés similar.

• Intencional (opinático o teórico de conveniencia). No hay selección al azar. Se generan criterios de inclusión, se seleccionan por una característica.
• Accidental. No hay criterio, haces el muestreo con la gente que te encuentras.
• Por cuotas. Es igual que el estratificado pero a selección no se hace al azar. Es como el estratificado, pero la selección no se hace al azar. Tiene que haber la misma proporción real. La muestra reunida tiene la misma proporción de los individuos de toda la población con respeto al fenómeno enfocado, las características o los rasgos conocidos. Ej. En un estudio en donde el investigador quiere comparar el rendimiento académico de los diferentes niveles de clases del secundario, su relación con el género y la situación socioeconómica, el investigador identifica primero los subgrupos. Por lo general, los subgrupos son las características o variables del estudio. El investigador divide a toda la población en niveles de clase, cruzados con el género y el nivel socioeconómico. Luego, toma nota de las proporciones de estos subgrupos en toda la población y a continuación hace un muestreo de cada subgrupo.

Estimación Un estimador puntual es una función de los valores de la variable aleatoria obtenidos en la muestra y, por tanto, dependiente de los valores que han sido obtenidos mediante el muestreo aleatorio. En consecuencia, los valores obtenidos mediante el estimador, o los estadísticos, son también medidas de una variable aleatoria. En otros términos, los estimadores son variables aleatorias y, por tanto, tienen una función de distribución teórica. Se define un estimador puntual de la forma siguiente:

La forma que adopte la función f conduce a distintos estimadores puntuales. Dado un parámetro puede proponerse uno u otros estimadores del mismo. No todos los estimadores puntuales que puedan ser propuestos son óptimos. Por ejemplo, la media aritmética es un estimador más eficiente (menor dispersión) del parámetro de localización que la semisuma del menor y el mayor valor de la muestra. Mediante el razonamiento estadístico aplicado a la inferencia estadística es posible garantizar un adecuado proceso de estimación, pero es imposible asegurar una acertada estimación de los parámetros de las variables aleatorias.

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• Adviértase que, en el caso de un estimador no sesgado, el error cuadrático medio coincide con la varianza del estimador. Este criterio combina sesgo y varianza para decidir sobre cuál es el mejor estimador.
• Dados dos estimadores, se tomará aquel con un menor error cuadrático medio.
• Estimador puntual consistente. Un estimador puntual es consistente si, cuando el tamaño muestral tiende a infinito, la probabilidad de que el estimador puntual coincida con el parámetro se aproxima a uno. Una definición formal de consistencia es:
• En la anterior expresión denota el error de estimación o precisión y c cualquier constante. Puede advertirse que la consistencia es una propiedad asintótica. O sea, es una propiedad que se analiza mediante el cálculo de un límite.
• De manera informal, la propiedad establece que si n es suficientemente grande, el error cometido con un estimador puntual consistente será menor que cualquier constante fijada previamente.
• Estimador puntual de mínima varianza. El criterio del error cuadrático medio es insuficiente, pues, aunque elijamos el estimador puntual más eficiente, quizá sea todavía muy poco eficiente. Por tal motivo es preciso un criterio o medida absoluta de la eficiencia.
• La cota de Cramer-Rao proporciona una medida absoluta de eficiencia para todo estimador puntual del parámetro :
• En la anterior expresión n denota el tamaño muestral y f(x; ) la función de densidad de la variable aleatoria en la población. Si la varianza del estimador iguala la cota mínima, se dice que es un estimador de varianza mínima.
• Estimador puntual suficiente. Un estimador puntual del parámetro es suficiente si utiliza toda la información de la muestra para la estimación del parámetro de la población. O sea, si toda la información que se obtiene del parámetro depende de los datos de la muestra, siendo la estimación obtenida independiente de.
• Estimadores puntuales resistentes y robustos. Muchos estimadores puntuales resultan eficientes bajo ciertas condiciones, como que la variable aleatoria se distribuya normalmente. No es así cuando las distribuciones poseen colas muy densas y, por tanto, pueden aparecer valores alejados con mayor frecuencia. Estos valores alejados alteran la estimación. Por tal razón, es conveniente que los estimadores sean resistentes a la presencia de valores anómalos y robustos frente al incumplimiento de ciertas condiciones. La resistencia es no verse afectada por valores anómalos. En cambio, la robustez no tiene que ver con los valores anómalos sino con las

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variaciones pequeñas respecto a las hipótesis de los modelos, es decir, funciona bien incluso cuando se vulneran algunos de los supuestos para que funcione bien.

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE UN ESTADÍSTICO

Distribución muestral La distribución muestral se representa con la esperanza matemática y la desviación típica. La desviación típica de una distribución muestral del estadístico media es el Error estándar.

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