tema 1 simulacion, Apuntes de Administración de Empresas

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Titulaci´on LADE + ITIG

T´ecnicas de Simulaci´on

Tema 1. Conceptos b´asicos

Tema 1. Conceptos b´asicos

M´etodos anal´ıticos, num´ericos y de simulaci´on Simulaci´on de sucesos discretos Optimizaci´on Montecarlo Proceso general de la Simulaci´on

1.1. M´etodos anal´ıticos,

num´ericos y de simulaci´on

1.1. M´etodos anal´ıticos, num´ericos y de simulaci´on

! (^) Ejemplo simplificado de ordenador, (E/S) y (CPU). El ordenador falla cuando lo hace alguno de los dos componentes. ! (^) El tiempo hasta fallo del sistema T = m´ın(X 1 , X 2 ), con X 1 , X 2 v.a. que siguen ciertas distribuciones ! (^) El tiempo esperado E (T ), suponiendo Xi ∼ E(μi ), i = 1, 2 es E (T ) =

0

0 m´ın(x 1 , x 2 )μ 1 e−μ^1 x^1 μ 2 e−μ^2 x^2 dx 1 dx 2 ! (^) Se puede calcular E (T ) de tres formas: ! (^) Aproximaci´on anal´ıtica. Bajo ciertas suposiciones (exponencialidad e independencia de X 1 , X 2 ) ! (^) Aproximaci´on num´erica. Regla del trapecio, Simpson, etc... M´as robusta, pues se puede prescindir de alguna de las hip´otesis. Problema: dimensi´on. ! (^) Aproximaci´on basada en simulaci´on. Consiste en construir un programa que describa el comportamiento del sistema y realizar experimentos con ´el.

1.2. Simulaci´on de sucesos

discretos

1.2. Simulaci´on de sucesos discretos

! (^) Sistemas que cambian de estado en instantes discretos, determinados de forma aleatoria. ! (^) Ejemplo: estamos interesados en estimar el tama˜no medio de la cola de un servidor. ! (^) Se supone el tiempo dividido en instantes iguales y se modeliza el funcionamiento del sistema: ! (^) Al principio de cada instante se produce con probabilidad p la llegada de un trabajo al servidor. Si ´este est´a ocupado, pasa a cola. ! (^) Si hay trabajos previos en el sistema, inmediatamente despu´es sale el primero de la cola con probabilidad q. ! (^) Un trabajo no puede entrar y salir en el mismo instante. Tal descripci´on se corresponde con una versi´on discreta del modelo de colas M/M/1.

1.2. Simulaci´on de sucesos discretos

! (^) Tenemos entonces el siguiente algoritmo: Algoritmo simulaci´on llegadas y servicios Entrada: Hacer tiempo simulacion = 0 Mientras tiempo simulacion < T Si Llega trabajo, entonces Si Ordenador ocupado, entonces poner trabajo en cola Si Ordenador ocupado, entonces Si Completa servicio, entonces pasar, si existe, siguiente trabajo Recoger estad´ısticas Aumentar tiempo simulacion ! (^) De esta manera, simulamos el mecanismo de llegadas y servicios utilizando los 40 primeros n´umeros de las tablas anteriores.

1.2. Simulaci´on de sucesos discretos

! (^) Replicar el experimento un n´umero de veces suficiente y aplicar t´ecnicas estad´ısticas para analizar resultados.

1.3. Optimizaci´on Montecarlo

! (^) Consideramos la funci´on f (x) = x^4 / 4 − 17 x^3 /36 + 5x^2 /24, cuya gr´afica es ! (^) f puede ser la funci´on de coste de cierto sistema, que depende de la variable de decisi´on x. ! (^) En este ejemplo tenemos soluci´on anal´ıtica y m´etodos num´ericos (que suelen conducir a ´optimos locales).

1.3. Optimizaci´on Montecarlo

! (^) Como alternativa (que adem´as permite tratar problemas con funciones no diferenciables) es utilizar simulaci´on Montecarlo. ! (^) El ejemplo m´as sencillo es el de b´usqueda aleatoria pura, que se adapta al siguiente esquema B´usqueda aleatoria pura Montecarlo Entrada: Hacer f ∗^ = ∞ Desde i = 1 hasta N, Generar xi ∼ U[− 0. 5 , 1 .5] Si f (xi ) < f ∗^ entonces hacer f ∗^ = f (xi ), x∗^ = xi ! (^) Utilizando los n´umeros de la tabla anterior y transformando cada u mediante x = 992 u − 0 .5, obtenemos (con los veinte primeros n´umeros) como estimaci´on del m´ınimo 1.015152.

1.4. Proceso general de la Simulaci´on

! (^) La simulaci´on se puede entender como una metodolog´ıa de an´alisis de sistemas basada en la construcci´on de un modelo, t´ıpicamente implementado en un ordenador, que describe el comportamiento del sistema y que permite generar observaciones dadas ciertas entradas. ! (^) Tales observaciones se analizan estad´ısticamente para estimar medidas del comportamiento del sistema de inter´es. ! (^) Los modelos de simulaci´on pueden diferir en gran medida, dependiendo de si el espacio de estados es discreto o continuo. ! (^) Las observaciones pueden ser est´aticas o din´amicas, como funci´on continua o discreta del tiempo. ! (^) Tambi´en las medidas de comportamiento pueden diferir enormemente. Pueden ser est´aticas, de transici´on o de comportamiento estacionario.

1.4. Proceso general de la Simulaci´on

! (^) La mayor´ıa de experimentos de simulaci´on, una vez construido el correspondiente modelo, se adaptan al siguiente esquema:

1. Obtener observaciones b´asicas de una fuente de n´umeros aleatorios (Tema 2).
2. Transformar tales observaciones b´asicas en entradas al modelo, seg´un las especificaciones del mismo (Tema 3).
3. Pasar las entradas a trav´es del modelo para obtener salidas (Temas 4 y 5).
4. Calcular estad´ısticas a partir de las salidas, para estimar medidas de comportamiento del sistema, y, eventualmente, emplearlas en la toma de decisiones (Tema 6). ! (^) En el Tema 7 estudiaremos cuestiones relativas a la planificaci´on y ejecuci´on de experimentos de simulaci´on, mientras que en el Tema 8 analizaremos un caso completo de proyecto de simulaci´on relativo a una l´ınea de flujo de trabajo.