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Modelos continuos de variable aleatoria y distribuciones asociadas al muestreo, Ejercicios de Administración de Empresas
Los modelos continuos de variable aleatoria y las distribuciones asociadas al muestreo, como la distribución chi-cuadrado de pearson, la distribución t de student y la distribución f de snedecor. Se explican sus propiedades y se proporcionan ejemplos y tablas de cuantiles.
Tipo: Ejercicios
2017/2018
1 / 38
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Tema
Algunos
modelos
continuos
de
variable
aleatoria^ e
Introducción
a^ la
Inferencia
Estadística
Esquema habitual:^ La función generatriz de momentos es
( )^
tx ( )
G t^
+∞ f^ x e dx −∞
=^ ∫
( )^
( )^
f^ x^
y^ f
x dx
≥^
∫\
Distribución
Exponencial
Una v. a. continua X sigue una distribución exponencial de parámetro
θ,^ θ^ > 0,
X^ →^
exp (θ
), si su función de densidad es:
x- 1 f(x) =
e^ θcon x > 0 θ
E(X) =
θ^
2
2
σ^ =^ θ McGrall Hill McGrall Hill
Modelo para representar tiempo de espera o de funcionamiento
Ej. Tiempo que tarda unamáquina en fabricar una pieza.
Distribución
Gamma
Una v. a. continua X sigue una distribución gamma de parámetros
α^ y^ θ
, con
α,q > 0, X
α,θ), si su función de densidad es:
x-- 1 f(x) =
x^ e
con x > 0 (^ )
α^ θ α α θΓ y nula en otro caso
Donde
Γ(α) es la función gamma
definida como:
+^
Γ:^
→\
p-1^ -x 0 (^ ) =
x
e dx α^
∞ Γ^
∫
y verificando:
Γ(α) = (
α-1)^ Γ
(α-1) y
Γ(α) =(
α-1)! si
α ∈ Ζ
Se utiliza para la modelización del tiempo que pasa hasta que ocurren
α^ sucesos iguales,
independientes y con frecuencia constante
θ.
Obsérvese que la distribución exponencial es un caso particular de la distribución gamma
E (X ) =
α^ θ^
2
2
σ^ =
α^ θ
Distribución
Normal
2 1 x-μ - 2 σ 1 f(x) =
e σ^2 π
⎛^ ⎞ ⎜^ ⎟⎝^ ⎠ μ^ = media^ σ^ = desviación típica
Parámetros de la distribución
∀x^ ∈
—
Una v. a. continua X sigue una distribución normal de parámetros
μ^ y^ σ
2 , X^ →
N(μ,
2 σ), si su función de densidad es:
Gráfica de f(x)
Campana de Gauss
McGrall Hill^ McGrall Hill
- La curva es campaniforme y simétrica respecto de x =
μ.
- La ordenada máxima se obtiene para x =
μ.
- El área del recinto -en gris- es 1, 1/2 a cada lado de x =
μ.
- En x =
μ−σ^ y en x =
μ+σ^ tiene puntos de inflexión.
Tipificación de la variable Imposibilidad de tablas para todas las posibilidades de N(
N(μ,σ
)^
N(0,1)
Cambio de variable
X -^ μ Z = σ
Ejemplo
El peso de los alumnos de un curso siguen una N(65,4) Hallar la probabilidad de que un alumno tenga un peso menor o igual a 70 Kg.P[X^
≤^ 70]^
con^
X^ siguiendo una
N(65,4)
70 - 65 P[Z^
] 4 ≤^
con^ Z
siguiendo una
N(0,1)
P[Z^ ≤^
1,25] = 0,
Casos posibles
Conocidos los puntos x
0
x^ > 0^0
- P[X
≤^ x^ ]^0
En la Tabla
- P[X
≥^ x^ ]^0
1 - P[X
≤^ x^ ]^0
x^ < 0^0
- P[X
≤^ x^ ]^0
1 - P[X
≤ −x^0
]
- P[X
≥^ x^ ]^0
P[X^ ≤ −
x^ ]^0
P[x^ ≤^1
X^ ≤^ x
]^2
P[X^ ≤
x^ ] - P[X^2
≤^ x^ ]^1
McGrall Hill^ McGrall Hill
N(0,1)
z = x
Aproximación de una distribución binomial por una distribución normal^ De Moivre
demostróB(n,p)^
N(np,
)npq^
cuando n es muy grande
Criterios que aceptan la aproximación
np < 5 y p > 0,1 np > 5 y p < 0,1 np^ ≥^ 5 y nq
≥^5
Al aproximar una v. a. discreta por una v. a. continua
P[X = x]x
P[X = x]
P[r < X < s] con (r,s) intervalo de centro x y amplitud 1
Ejemplo P[X = 6]
P[5,5< X < 6,5]
INTRODUCCIÓN
A^
LA
INFERENCIA
ESTADÍSTICA^ Muestreo
aleatorio
Distribuciones
asociadas
al^ muestreo
Distribución
chi
‐cuadrado
Distribución
t^ de
Student
Distribución
F^ de
Snedecor
Introducción y En^ un^ problema
de^ Inferencia
Estadística
se^ dispone
de^ n^
observaciones
de^ la
v.a.^ X,
x^ ,…,^1
x^ ,^ y^ n
se^ plantea
la^ cuestión
“¿Qué información
contienen
las^ observaciones
x^ ,…,x^1
sobren la^ distribución
F
de^ la^ v.a.
X?” y^ La^
respuesta
depende
del^
tipo^
de^ afirmaciones
que^
se^ hagan
sobre
la
distribución
de^ X,
F.^ Hay
dos^ posibilidades:
y^ asumir
que^ la
forma
de^ F^ es
conocida,
salvo^
en^ uno
o^ varios
valores
numéricos
(un
número
finito^
de^ constantes)
que^ se
denominan
parámetros
.
↓
Problema
de^ inferencia
estadística
paramétrica
y^ asumir
que^ X
tiene^
una^ distribución
F^ sobre
la^ que
no^ se^
sabe^ nada
(excepto
quizá
que^ sea
continua
o^ discreta).
↓
Problema
de^ inferencia
estadística
no^ paramétrica
Introducción y Los^ elementos
básicos
en^ Inferencia
Estadística
son:
y^ Población
:^ conjunto
de^ todos
los^ individuos
implicados
en^ un
estudio
(posibles
resultados
del^ experimento
aleatorio
bajo^
estudio
junto
con^ la
asignación
de^ probabilidades
para^
los^ sucesos).
y^ Muestra
:^ conjunto
representativo
de^
la^ población;
para
que
las
conclusiones
que^ se
extraigan
de^ ella
tengan
sentido,
deberá incorporarse
la^ aleatoriedad
al^ proceso
de^ muestreo
.
y^ Estadístico
: función
de^ los
valores
de^ la
muestra
que^ permite
manejarla
con^ mayor
comodidad.
Muestra
aleatoria
simple.
Distribución.^ y^
Dada^
una^ población
en^ la
que^ se
observa
una^ v.a.
X^ con
f.^ de^
distribución
F,
una^ m.a.s.
de^ tamaño
n^ de
la^ variable
X^ es
un^ conjunto
de^ n
variables
aleatorias
independientes
e^ idénticamente
distribuidas
como
X.
y^ Si^ x
,^ x,..., 1 2
x^ sonn^
valores
observados
de^ la
m.a.^
X,^ X^1
,...,^ X^ n
,^ se^ denominan
realización
de^ la
m.a.s
.
y^ La^
m.a.s.,
como
conjunto
de^ n^
variables
aleatorias,
tiene
una^ distribución
que
gobierna
las^ probabilidades
de^ aparición
de^ cada
muestra
efectiva.
y^ La^ función
de^ distribución
F^ de^ una
m.a.s se
obtiene:
y^ La^ función
de^ densidad
conjunta
(caso^
continuo):
y^ La^ función
de^ masa
de^ probabilidad
conjunta
(caso^
discreto): (^ )^
(^ )
1 2
n^
1
i^
1 i
f (x , x ,..., x )
f^ x^
f^ x
n^ i
n i^ X^
i =^
=
=^ ∏^
(^ )^ = ∏
(^ )
1 2
n^
1
i^
1 i
F(x , x ,..., x )
F^ x
F x
n^ i
n i^ X^
i =^
=
=^ ∏^
1 1
2 2
n^
1
i^
1
i
[^ =x ,
=x ,...,
=x ]
[^ =x ]=
[^ =x ]
n^
n
n^
i^
i^
i
P X^
X^
X^
P X^
P X
=^
=
=^ ∏^
Ejemplo
En^ un
instituto
de^ enseñanza
secundaria
se^ quiere
realizar
un^ estudio
sobre
el^ nivel
de^ colesterol
de^ los
alumnos.
Para^
ello,^ se
decide
extraer
una^ muestra
aleatoria
simple
de^ tamaño
y^ Población:
Alumnos
del^ instituto
y^ V.a.
X:^ Nivel
de^ colesterol y^ M.a.s de
tamaño
10:^ Variables
aleatorias
X,^ X^1
,...,^ X 2
,^ donde 10
Xesi^
el
nivel^
de^ colesterol
que
presenta
el^
i‐ésimo
alumno
seleccionado
aleatoriamente. y Valores
observados
de^ las
variables
aleatorias
X,^ X^1
,...,X 2
: 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10