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142 Probabilidad | Unidad 10
10 Probabilidad
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Se lanza una moneda tres veces. Describe el espacio muestral E y los sucesos A = “obtener dos caras”,
B = “obtener cara en el primer lanzamiento” y C = “obtener al menos una cruz”. Además, escribe los
sucesos:
A B , ∩ C , A ∪ B , A ∩ C , ( B ∪ C ) ∩ A y ( A ∩ B )− C
El espacio muestral está formado por 8 resultados equiprobables:
E = { CCC , CCX , CXC , XCC , CXX , XCX , XXC , XXX }
donde, por ejemplo, CXC representa el resultado en el que se obtuvo cara en el primer y tercer lanzamiento y
cruz en el segundo.
Los sucesos A , B y C son subconjuntos del espacio muestral:
A = { CCX , CXC , XCC }
B = { CCC , CCX , CXC , CXX }
C = { CCX , CXC , XCC , CXX , XCX , XXC , XXX }
El diagrama de Venn representa la situación de los tres sucesos:
Entonces, los sucesos propuestos son:
A = { CCC , CXX , XCX , XXC , XXX }= “no obtener dos caras”.
B ∩ C = { CCX , CXC , CXX }= “obtener cara en el primer lanzamiento y al menos una cruz”.
A ∪ B = { CCC , CCX , CXC , XCC , CXX }= “obtener dos caras o cara en el primer lanzamiento”.
A ∩ C = { CXX , XCX , XXC , XXX }= “no obtener dos caras y obtener al menos una cruz”.
( B^ ∪^ C^ ) ∩^ A^ =^ E^ ∩^ A^ =^ A^ =^ { CCX ,^^ CXC ,^ XCC }^ = “obtener dos caras”.
Como A ∩ B = { CCX , CXC } , resulta:
( A^ ∩^ B^ ) −^ C^ =^ { CCC^ ,^^ XCC ,^^ CXX ,^^ XCX ,^^ XXC ,^^ XXX }^^ −^ {^ CCX ,^^ CXC ,^^ XCC ,^^ CXX ,^^ XCX ,^^ XXC ,^ XXX^ }^ ={ CCC^ }^ =
= “obtener tres caras”.
Unidad 10| Probabilidad 143
2. Muestra, mediante diagramas de Venn, que:
a) (^) B = ( B ∩ A ) ∪ (^) ( B ∩ A )
b) A ∪ B = A ∪ (^) ( B ∩ A )
c) ( A ∪ B ) − ( A ∩ B ) = (^) ( A ∩ B ) (^) ∪ (^) ( B ∩ A )
a) B = ( B ∩ A ) ∪ (^) ( B ∩ A )
b) A ∪ B = A ∪ (^) ( B ∩ A )
c) (^) ( A ∪ B ) − ( A ∩ B ) = (^) ( A ∩ B (^) ) ∪ (^) ( B ∩ A )
3. Ejercicio resuelto.
4. Si P ( A ) = 0,7; P B ( ) = 0,35 y P ( A ∩ B )= 0,15,calcula las probabilidades de los sucesos A ∪ B , A ∩ B y
A ∪ B.
Utilizando las propiedades de la probabilidad y una de las leyes de De Morgan se tiene que:
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P B ( ) − P ( A ∩ B )= 0,7 + 0,35 − 0,15 =0,
P (^) ( A ∩ B (^) ) = P (^) ( A ) (^) − P (^) ( A ∩ B )= 0,7 − 0,15 =0,
P (^) ( A ∪ B (^) ) = P (^) ( A ∩ B (^) ) = 1 − P (^) ( A ∩ B )= 1 − 0,15 =0,
Unidad 10| Probabilidad 145
9. En un experimento con 7 posibles resultados, las probabilidades de cada resultado son:
P w ( 1 ) = 0,12; P w ( 2 ) = 0,21; P w ( 3 )= 0,
P w ( 4 ) = 0,14; P w ( 5 ) = 0,1; P w ( 6 ) = a ; P w ( 7 )= b
Razona si a y b pueden tomar los siguientes valores.
a) a = 0,3 b = − 0,05 c) a = 0,2 b = 0,
b) a = 0,15 b = 0,14 d) a = 0,2 b = 0,
Los valores de a y b deben ser mayores o iguales que cero, por lo que los resultados del apartado a) no son
posibles.
Además, la suma de las probabilidades debe ser 1. Es decir:
( )
∑
7
1
j j
P w a b a b
Por lo que los únicos resultados posibles son los del apartado b).
10. En un grupo de danza hay 7 mujeres y 12 hombres. Si se escogen tres personas al azar, halla la
probabilidad de que se seleccionen 2 mujeres y un hombre.
En la elección no importa el orden, por lo que los resultados posibles al elegir 3 personas de las 19 son las
combinaciones de orden 3 de las 19 personas:
19, 3
C
Los resultados favorables al suceso A = “se eligen 2 mujeres y 1 hombre”, se obtienen seleccionado a las
2 mujeres de las 7 y, por cada una de estas, un hombre de los 12. Es decir:
7, 2 12,
C C
Por tanto, como los resultados posibles son equiprobables, la probabilidad del suceso A se obtiene mediante la
regla de Laplace:
P A
146 Probabilidad | Unidad 10
11. Un juego consiste en lanzar dos dados de distinto color y obtener la diferencia de las puntuaciones de
ambos dados. Si la diferencia es cero ni se gana ni se pierde, si la diferencia es un número par distinto de
cero se gana y si la diferencia es un número impar se pierde. Calcula la probabilidad de:
a) Ganar b) Perder c) Empatar
¿Cómo puedes modificar las reglas del juego para que las probabilidades de ganar y perder sean iguales?
El número de resultados posibles equiprobables (se entiende que los dados están equilibrados) es:
2 6, 2
VR 6 36
En la tabla siguiente se muestran los posibles resultados (diferencias en valor absoluto) dependiendo si el
resultado conduce a ganar (rayado horizontal), perder (blanco) o empatar (rayado vertical):
a) La probabilidad del suceso ganar ( G ) se obtiene por la regla de Laplace: = =
P G
b) La probabilidad de suceso perder ( R ), se calcula de igual modo: = =
P R
c) La probabilidad del suceso empatar ( M ) se obtiene igualmente por la regla de Laplace: = =
P M
Para que las probabilidades de ganar y perder sean iguales, bastaría con establecer las siguientes reglas:
- Se gana si la diferencia es número par (se incluye el cero como número par).
- Se pierde si la diferencia es número impar.
En cuyo caso la probabilidad de ganar,
es la misma que la de perder,
12. Se elige al azar un número de 5 cifras distintas escrito con las cifras 2, 3, 5, 7 y 8.
a) Calcula la probabilidad de que dicho número sea mayor que 87 000.
b) Calcula la probabilidad de que sea menor que 32 000.
c) Calcula la probabilidad de que el número esté entre 30 000 y 60 000.
Con las cifras 2, 3, 5, 7 y 8 se pueden formar P 5 (^) = 5! = 120 números de cifras distintas.
a) De los 120 números, son mayores que 87 000: 87235; 87253, 87325, 87352, 87523 y 87532 ( P 3 (^) = 3! = 6 ).
De modo que la probabilidad del suceso A = “el número sea mayor que 87 000” es:
( ) =^ =
P A
b) De los 120 números, serán menores que 32 000 aquellos que empiecen por 2: = = 4 P 4! 24 números.
De manera que la probabilidad del suceso B = “el número es menor que 32 000” es:
( ) =^ =
P B
c) De los 120 números, estarán entre 30 000 y 60 000 aquellos números que:
- Empiecen por 3: P 4 (^) = 4! = 24 números.
- Empiecen por 5: P 4 (^) = 4! = 24 números.
De manera que la probabilidad del suceso C = “el número está entre 30 000 y 60 000” es:
( ) =^ =^ =
P B
148 Probabilidad | Unidad 10
18 y 19. Ejercicios resueltos.
20. Una entidad bancaria concede tres tipos de créditos: para vivienda, para industria y personales. El 30 %
de los créditos que concede son para vivienda, el 50 %, para industria y el 20 % restante son personales.
Han resultado impagados el 5 % de los créditos para vivienda, el 7 % de los créditos para industria y el
12 % de los créditos para consumo. Se pide:
a) Seleccionado un crédito al azar, calcula la probabilidad de que no resulte impagado.
b) Se sabe que un determinado crédito ha resultado impagado. Calcula la probabilidad de que sea un crédito de
vivienda.
Seleccionado un crédito al azar, se consideran los sucesos:
V = “el crédito es para vivienda” D = “el crédito es para industria”
R = “el crédito es personal” M = “el crédito es impagado”
Las probabilidades que se proporcionan son:
P V ( ) = 0,3 P D ( ) = 0,5 P R ( ) = 0,2 P M V ( | ) = 0,05 P M D ( | ) = 0,07 P M R ( | )=0,
El diagrama de árbol recoge las distintas posibilidades:
a) Se calcula la probabilidad de que un crédito seleccionado al azar haya sido impagado. Utilizando el teorema
de la probabilidad total:
P M ( ) = P M V ( | ) ⋅ P V ( ) + P M D ( | ) ⋅ P D ( ) + P M R ( | ) ⋅ P R ( )= 0,05 0,3⋅ + 0,07 0,5⋅ + 0,12 0,2⋅ =0,
Por tanto, la probabilidad de que el crédito seleccionado al azar se pague es:
P M ( (^) ) = 1 − P M ( )= 1 − 0,074 =0,
También se podría haber calculado directamente:
P M ( (^) ) = P M V ( | (^) ) ⋅ P V ( (^) ) + P M D ( | (^) ) ⋅ P D ( (^) ) + P M R ( | (^) ) ⋅ P R ( )= 0,95 0,3⋅ + 0,93 0,5⋅ + 0,88 0,2⋅ =0,
b) Mediante el teorema de Bayes, se obtiene la probabilidad pedida:
P M V P V
P V M
P M
Unidad 10| Probabilidad 149
21. El número de vuelos que llegan a un aeropuerto por la mañana es 120, por la tarde, 150, y por la noche, 30. El porcentaje de vuelos que se retrasan por la mañana es del 2 %, por la tarde, del 4 %, y por la noche,
de un 6 %.
a) Calcula la probabilidad de que se retrase un vuelo con destino a este aeropuerto.
b) Si un vuelo llegó con retraso a este aeropuerto, ¿cuál es la probabilidad de que fuera un vuelo nocturno?
Elegido un vuelo al azar, se consideran los sucesos:
M = “el vuelo llega por la mañana” T = “el vuelo llega por la tarde”
N = “el vuelo llega por la noche” R = “el vuelo llega con retraso”
Se proporcionan las siguientes probabilidades:
P M P T P N
P R M ( | ) = 0,02 P R T ( | ) = 0,04 P R N ( | )=0,
En el diagrama de árbol se pueden ver las distintas posibilidades con sus respectivas probabilidades
a) La probabilidad de que un vuelo elegido al azar se retrase se obtiene mediante el teorema de la probabilidad
total:
P R ( ) = P R M ( | ) ⋅ P M ( ) + P R T ( | ) ⋅ P T ( ) + P R N ( | ) ⋅ P N ( )= 0,02 0, 4⋅ + 0,04 0,5⋅ + 0,06 0,1⋅ =0,
b) Se utiliza la regla de Bayes:
P R N P N
P N R
P R
22. Ejercicio interactivo.
Unidad 10| Probabilidad 151
Probabilidad y propiedades
34. En una frutería el 60 % de los clientes compran naranjas, el 40 % compran manzanas y el 30 % no
compran ni naranjas ni manzanas. Calcula el porcentaje de clientes que compran:
a) Naranjas o manzanas o ambas.
b) Manzanas y naranjas.
c) Naranjas pero no manzanas.
Se consideran los sucesos N = “el cliente compra naranjas” y M = “el cliente compra manzanas”.
Elegido un cliente al azar, se tiene que P N ( (^) ) = 0,6, P M ( (^) ) = 0, 4y P N ( ∩ M )= 0,3.
a) Se pide la probabilidad de N ∪ M .Mediante el suceso contrario y una de las leyes de De Morgan:
P N ( ∪ M (^) ) = 1 − P N ( ∪ M (^) ) = 1 − P N ( ∩ M )= 1 − 0,3 =0,
El 70 % de los clientes compran naranjas o manzanas o ambas.
b) Se pide la probabilidad de N ∩ M :
P N ( ∩ M ) = P N ( ) + P M ( ) − P N ( ∪ M )= 0,6 + 0, 4 − 0,7 =0,
El 30 % de los clientes compran naranjas y manzanas.
c) Se pide la probabilidad de N ∩ M :
P N ( ∩ M (^) ) = P N ( (^) ) − P N ( ∩ M )= 0,6 − 0,3 =0,
El 30 % de los clientes compran naranjas pero no manzanas.
35. En una determinada fábrica de automóviles, el 10 % de los coches fabricados tiene defectos de motor, el
8 % tiene defectos en la carrocería y el 4 % tiene defectos en motor y en carrocería. Se pide:
a) Expresa los datos proporcionados como probabilidades.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un coche tenga al menos un defecto?
c) ¿Y la probabilidad de que un coche elegido al azar no sea defectuoso?
d) Expresa e interpreta los resultados obtenidos en los aparatados b) y c) en porcentaje de coches.
Elegido un coche al azar, sean los sucesos: M = “tiene defectos de motor” y C = “tiene defectos de carrocería”.
a) Los datos expresados como probabilidades son:
P M ( ) = 0,1 P C ( ) = 0,08 P M ( ∩ C )=0,
b) Se trata de la probabilidad del suceso unión de M y C :
P M ( ∪ C ) = P M ( ) + P C ( ) − P M ( ∩ C )= 0,1+ 0,08 − 0,04 =0,
c) Que un coche no sea defectuoso resulta el suceso (^) M ∩ C. Utilizando una de las leyes de De Morgan y la
propiedad de la probabilidad del suceso contrario:
P M ( ∩ C (^) ) = P M ( ∪ C (^) ) = 1 − P M ( ∪ C )= 1 − 0,14 =0,
d) El 14 % de los coches presenta al menos un defecto en el motor o en la carrocería.
El 86 % de los coches no presenta defectos ni en el motor ni en la carrocería.
152 Probabilidad | Unidad 10
36. En una ciudad, el 10 % de los días de junio llueve, mientras que el 75 % luce el sol. Calcula probabilidad
de que en un día elegido al azar llueva y no haga sol en cada uno de los casos siguientes.
a) No es posible que en un día llueva y haga sol.
b) Si llueve, entonces también lucirá el sol.
c) El 5 % de los días de junio llueve y hace sol.
Elegido un día de junio al azar, se consideran los sucesos A = “llueve” y B = “hace sol”, donde:
P ( A ) = 0,1 P B ( )=0,
Se pide la probabilidad del suceso A ∩ B , que se obtiene de la expresión: P (^) ( A ∩ B (^) ) = P (^) ( A (^) ) − P (^) ( A ∩ B ).
a) Si no es posible que llueva y haga sol, entonces P ( A ∩ B ) = P ( ∅ )= 0 y entonces:
P (^) ( A ∩ B (^) ) = P ( A )= 0,
b) En este caso, se tiene que A ⊂ B , y por lo tanto A ∩ B = A , con lo que: P (^) ( A ∩ B (^) ) = P (^) ( A (^) ) − P (^) ( A )= 0.
c) Si el 5 % de los día de junio llueve y hace sol, entonces P ( A ∩ B )= 0,05.Por lo tanto:
P (^) ( A ∩ B (^) ) = P ( A ) − P ( A ∩ B )= 0,1− 0,05 =0,
37. La asignatura de Administración de Empresas tiene dos grupos, en el primero el 40 % de los estudiantes
son hombres y en el segundo son mujeres el 45 %. Se elige al azar un estudiante de cada grupo.
a) Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
A = “ambos son mujeres” B = “sólo uno es mujer” C = “los dos son hombres”
b) Razona si el suceso contrario del suceso A es el C , el B , el B ∩ C , el B ∪ C o algún otro suceso y calcula su
probabilidad.
a) Si se elige un estudiante del primer grupo, la probabilidad de que sea hombre ( H 1) es P H ( 1 ) =0, 4y la de
que sea mujer ( M 1) es P M ( 1 ) =0,6.
En el segundo grupo, al elegir un estudiante al azar, la probabilidad de que sea hombre ( H 2) es
P H ( 2 ) =0,55y la de que sea mujer ( M 2) es P M ( 2 ) =0, 45.
La elección de un estudiante en un grupo es independiente de la elección de un estudiante en el otro grupo.
- El suceso A = “ambos son mujeres”, se puede expresar como A = M 1 ∩ M 2 y, puesto que M 1 y M 2 son
independientes: P ( A ) = P M ( 1 ∩ M 2 ) = P M ( 1 ) ⋅ P M ( 2 ) = 0,60 0, 45⋅ =0,27.
- El suceso B = “solo uno es mujer”, se puede escribir como B = (^) ( M 1 ∩ H 2 (^) ) ∪ (^) ( H 1 ∩ M 2. (^) ) Teniendo en
cuenta que los sucesos ( M 1 ∩ H 2 ) y ( H 1 ∩ M 2 ) son incompatibles y que los sucesos M 1 y H 2 son
independientes al igual que H 1 y M 2, se tiene que:
P B ( ) = P M ( 1 ) ⋅ P H ( 2 ) + P H ( 1 ) ⋅ P M ( 2 ) = 0,6 0,55⋅ + 0, 4 0, 45⋅ =0,
- El suceso C = “los dos son hombres” se puede expresar como H 1 ∩ H 2 , y como H 1 y H 2 son
independientes: P C ( ) = P H ( 1 ∩ H 2 ) = P H ( 1 ) ⋅ P H ( 2 ) = 0, 40 0,55⋅ =0,22.
b) El suceso contrario a A es A = “al menos uno es hombre”. Por lo tanto, el suceso B no puede ser ya que
A podrían ser los dos hombres. Tampoco es el suceso C pues A podría ser hombre y mujer.
B ∩ C no son pues este conjunto es vacío y A no lo es. Si se considera B ∪ C , se tiene que o sólo uno es
mujer o los dos son hombres, luego A = B ∪ C. Por tanto, su probabilidad será:
P (^) ( A (^) ) = P B ( ∪ C ) = P B ( ) + P C ( ) − P B ( ∩ C )= 0,51+ 0,22 − 0 =0,
Se comprueba que es cierto pues P (^) ( A (^) ) = 1 − P (^) ( A )= 1 − 0,27 =0,73.
154 Probabilidad | Unidad 10
40. En un dado trucado la probabilidad de obtener número par es el doble que la de obtener impar. Calcula
ambas probabilidades.
El espacio muestral correspondiente al lanzamiento de un dado es E = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6 .}
Se sabe que P (^) ({ 1 , 3, (^5) } (^) ) = P (^) ( ) 1 + P (^) ( 3 ) + P (^) ( 5 )= p y P (^) ({ 2, 4, (^6) } (^) ) = P (^) ( 2 ) + P (^) ( 4 ) + P (^) ( 6 )=2. p
Como + = ⇒ =
p p p De esta manera, (^) ({ }) =
P y (^) ({ }) =
P
Asignación de probabilidades. Espacios finitos
41. El temario en el que se basa una prueba consta de 15 temas. La prueba consiste en seleccionar al azar
dos de estos temas y desarrollar uno de ellos.
a) ¿Cuántas parejas distintas de temas pueden darse?
b) Si solo he preparado 6 temas, ¿qué probabilidad tengo de suspender? Se supone que suspendo si no he
preparado ninguno de los dos temas seleccionados.
a) Se deben seleccionar aleatoriamente dos temas de los 15 en que se basa la prueba. No importa el orden en
el que se elijan los 2 temas, de modo que se trata de las combinaciones de orden 2 de los 15 temas:
^ ⋅
15, 2
C
Se pueden formar, por tanto, 105 parejas distintas de temas.
b) Sea el suceso S = “no he preparado ninguno de los dos temas seleccionados”, lo que equivale a suspender.
El número de resultados favorables al suceso S se obtiene mediante las combinaciones de orden 2 de los 9
temas que no he preparado:
9, 2
C
Y, aplicando la regla de Laplace, se obtiene la probabilidad del suceso S :
P S
42. Se dispone de seis tarjetas numeradas del 1 al 6. Se eligen, a la vez, dos tarjetas al azar. Se pide la
probabilidad de que la suma de sus números:
a) Sea 7.
b) Sea un número par.
c) Sea menor que 5.
El número de resultados posibles es el de las variaciones con repetición de las 6 tarjetas tomadas de 2 en 2:
2 VR 6, (^) 2 = 6 = 36
a) De las 36 posibilidades, suman 7: { 1 , 6 ; 6, 1 ; 2, 5 ; 5, 2 ; 3,} { } { } { } { 4 ; 4,} { 3 .}
Por tanto, la probabilidad del suceso A = “suma 7” es: ( )
P A = =
b) Los resultados favorables al suceso B = “la suma es número par” son:
{^1 , 1 ; 1} { , 3 ; 1} { , 5 ; 2, 2 ; 2, 4 ; 2, 6 ; 3, 1 ; 3,} { } { } { } { } { 3 ; 3, 5 ; 4, 2 ; 4, 4 ; 4, 6 ; 5, 1 ; 5, 3 ; 5, 5 ; 6, 2 ; 6, 4 ; 6, 6} { } { } { } { } { } { } { } { } { } { }
P B = =
c) Los resultados favorables al suceso C = “la suma es menor que 5” son cuatro:
{^1 , 1} {^ ; 1 ,^ 2 ; 2, 1} { } {^ ; 1 ,^ 3 ; 3, 1} { } {^ ; 2, 2 }
P C = =
Unidad 10| Probabilidad 155
43. En un dado trucado la probabilidad de obtener el número 1 al lanzarlo es doble que la de obtener
cualquiera de los otros números.
a) Calcula las probabilidades de los sucesos elementales.
b) Si se lanza el dado 4 veces, calcula la probabilidad de obtener:
I. Cuatro unos III. Al menos un cinco
II. Ningún seis IV. A lo sumo un cuatro
El espacio muestral del lanzamiento de un dado es E = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6 .}
a) Sea p ≥ 0 la probabilidad de obtener cualquiera de los números. La probabilidad de obtener el 1 es,
entonces, 2. p Es decir:
P ( 2 ) = P ( 3 ) = P ( 4 ) = P ( 5 ) = P ( 6 ) = p P ( ) 1 = 2 p
Dichas probabilidades deben sumar 1: + = ⇒ =
p p p
Y, por tanto:
( ) =^ ( ) =^ ( ) =^ ( ) =^ ( ) =^ ( )=
P P P P P P
b) Los lanzamientos son independientes, de manera que:
I. La probabilidad del suceso A = “obtener 4 unos” es ( )
4 2 0,0067. 7
P A
II. La probabilidad del suceso B = “no obtener ningún 6” es ( )
4 6 0,5398. 7
P B
III. Para calcular la probabilidad del suceso C = ”obtener al menos un 5”, se calcula la de su contrario
C = “no obtener ningún 5”, cuya probabilidad es la misma que la del suceso B. Entonces:
( ) (^ )^ ( )
4 6 0,5398 1 1 0,5398 0, 4602 7
P C P C P C
IV. El suceso D = “obtener a lo sumo un 4” se puede escribir como la unión de dos sucesos incompatibles,
D 0: “no obtener ningún 4” y D 1: “obtener exactamente un 4”. Las probabilidades de ambos sucesos
resultan:
4 6 0 0, 7
P D ( )
1 3 (^4 ) 1 0, (^1 7 )
P D
De manera que:
P D ( ) = P D ( 0 ) + P D ( 1 ) = 0,5398 + 0,3599 =0,
44. Un examen de oposición consiste en desarrollar por escrito un tema de un total de 50. El tribunal elige al
azar 2 temas y cada candidato debe escoger uno de ellos. Halla la probabilidad de que un candidato
suspenda el examen si tan sólo ha estudiado 35 temas.
El número de resultados posibles en la elección aleatoria de 2 temas de los 50, es el número de las
combinaciones de orden 2 de los 50 temas, ya que no importa el orden de elección:
50, 2
C
Si un candidato ha estudiado 35 temas, suspenderá el examen si los dos temas elegidos son de los 15 que no
ha estudiado. De esta forma, el número de resultados favorables al suceso S = “suspende el examen” es:
^ ⋅
15, 2
C
Y la probabilidad del suceso S se obtiene utilizando la regla de Laplace:
( ) =^ =^ =
P S
Unidad 10| Probabilidad 157
47. Supón que has quedado a comer con unos amigos en un restaurante y que al llegar ellos ya han pedido
tres platos distintos para compartir pero no recuerdan exactamente cuáles son. Has leído la carta y has
comprobado que hay doce platos y cinco de ellos no te gustan. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los
tres platos que han pedido tus amigos haya alguno que no te guste?
En la carta del restaurante hay 5 platos que no te gustan y 7 que sí te gustan.
Los amigos han elegido 3 platos distintos, luego quedan 9 por elegir.
Se considera el suceso A = “al menos uno de los platos elegidos por los amigos no te gusta”.
El suceso contrario al A es A = “los tres platos elegidos por tus amigos te gustan”.
Para calcular la probabilidad del suceso A se procede primero a hallar la probabilidad del suceso A :
Número de resultados posibles de elegir 3 platos (los que han elegido tus amigos) de entre los 12 de la carta:
12, 3
C
- Número de resultados favorables al suceso A , que los 3 platos que eligen están entre los 7 que sí te gustan:
7, 3
C
- Aplicando la regla de Laplace:
( ) =^ =
P A 0,
- Y, por tanto, P (^) ( A ) = 1 − 0,1591 =0,8409. 48. Con las letras de la palabra CARCAMAL se forman todas las palabras posibles con y sin sentido. Calcula
la probabilidad de que la palabra formada:
a) Empiece por CAR.
b) Empiece por C y acabe en L.
El número de palabras, con o sin sentido, que se pueden formar con las letras de la palabra CARCAMAL es el
de las permutaciones con repetición de las 8 letras donde la C se repite dos veces, la A se repite tres veces y las
letras R, M y L solo aparecen una vez:
2, 3,1,1, 8
PR
a) El número de resultados favorables al suceso A = “la palabra empiece por CAR”, es el de la permutaciones
de las 5 letras que faltan (CAMAL) donde la A se repite dos veces y las letras C, M y L aparecen solo una
vez:
2,1,1, 5
PR
Utilizando la regla de Laplace:
( ) =^ =^ =
P A
b) El número de resultados favorables al suceso B = “la palabra empiece por C y acabe en L”, es el de la
permutaciones de la 6 letras que faltan (ARCAMA) donde la A se repite tres veces y las letras R, M y C
aparecen solo una vez:
3,1,1, 6
PR
Utilizando la regla de Laplace: ( ) = = =
P B
158 Probabilidad | Unidad 10
49. En una clase de pilates hay 14 mujeres y 4 hombres. Si se seleccionan 3 personas al azar, halla la
probabilidad de que:
a) Se seleccionen 2 mujeres y un hombre.
b) Los seleccionados sean todas mujeres.
c) Entre los seleccionados haya al menos una mujer.
Para la elección aleatoria de las 3 personas no importa el orden, por lo que el número de resultados posibles es
el de las combinaciones de orden 3 de las 18 personas:
18, 3
C
a) El número de resultados favorables al suceso A = “se seleccionen 2 mujeres y 1 hombre” es:
^ ⋅
14, 2 4,
C C
La probabilidad del suceso A se obtiene mediante la regla de Laplace:
( ) =^ =^ =
P A
b) Sea el suceso B = “los seleccionados son todas mujeres”. El número de resultados favorables al suceso B
es:
14, 3
C
Utilizando la regla de Laplace: ( )
P B = =
c) Se considera el suceso C = “al menos haya sido seleccionada una mujer”. El suceso contrario al C es
C = “ninguna mujer ha sido seleccionada”.
El número de resultados favorables al suceso C es (las 3 personas se seleccionan entre los 4 hombres):
4, 3
C
De modo que:
( ) =^ ⇒^ (^ )=^ −^ =^ =^ =
P C P C
160 Probabilidad | Unidad 10
Probabilidad condicionada. Independencia
51. Se tiene una urna con cuatro bolas blancas y cuatro negras. Se saca una bola al azar y se introduce en
otra urna que contiene dos bolas blancas y tres negras. De esta urna se extrae una segunda bola.
Calcula:
a) La probabilidad de que la primera bola sea negra y la segunda blanca.
b) La probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color.
c) La probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color.
d) La probabilidad de que la segunda bola sea blanca.
Sea U 1 ={ 4 , B 4 N } la urna de la que se extrae la primera bola, formada por 4 bolas blancas y 4 negras.
Si la primera bola extraída es blanca, la segunda urna resulta U 21 ={ 3 , B 3 N }.
Si la primera bola extraída es negra, la segunda urna queda U 22 ={ 2 , B 4 N }.
Como la probabilidad de extraer una bola blanca de U 1 es 0,5 y, también 0,5 es la probabilidad de extraer bola
negra, se tiene que la probabilidad de que se formen las urnas U 21 y U 22 son:
( ) =^ ( )=^
P U P U
De la urna formada en el segundo paso se extrae una bola al azar, las probabilidades de que sea blanca ( B ) o
sea rea negra ( N ), dependen de la urna que sea elegida:
P B U P N U P B U P N U
En el diagrama de árbol se representan las diferentes posibilidades:
a) La probabilidad del suceso A = “la primera bola sea negra y la segunda blanca” se obtiene multiplicando las
respectivas probabilidades de las ramas del árbol:
P A P U P B U
b) La probabilidad del suceso B = “las dos bolas sea de distinto color” se calcula a partir de las probabilidades
de las ramas del árbol:
P B P N U P U P B U P U
c) La probabilidad del suceso C = “las bolas sean del mismo color”, se obtiene de la misma forma que en el
apartado b):
( ) =^ ( ) ⋅^ ( ) +^ ( ) ⋅^ ( )=^ ⋅^ +^ ⋅^ =
P C P B U P U P N U P U
d) La probabilidad del suceso D = “la segunda bola extraída sea blanca” se obtiene mediante el teorema de la
probabilidad total:
P D P B U P U P B U P U
Unidad 10| Probabilidad 161
52. En el juego del tiro al plato Antonio acierta el plato el 55 % de las veces que dispara. En cambio María falla
en el 40 % de las tiradas. Si disparan los dos a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que ambos acierten?
Sean los sucesos A = “Antonio acierta”, cuya probabilidad es P ( A ) = 0,55, y M = “María acierta” cuya
probabilidad es P M ( ) = 0,6(que se obtiene a partir del dato del enunciado: P M ( (^) ) = 0, 4).
Los sucesos A y M son independientes, de forma que la probabilidad del suceso A ∩ M : "los dos acierten” es:
P ( A ∩ M ) = P ( A ) ⋅ P M ( )= 0,55 0,6⋅ =0,
53. Dados dos sucesos A y B , se sabe que:
P ( A ) = 0,6 P B ( ) = 0,3 P ( A ∩ B )= 0,
Calcula:
a) P ( A | B )y P ( A | A ∩ B )
b) P ( A ∪ B ), P^ ( A^ ∩^ B^ | A^ ∪ B^ )y P^ ( A^ | A^ ∪ B )
a) Mediante la definición de probabilidad condicionada:
P A B
P A B
P B
( ( ))
P A A B P A B
P A A B
P A B P A B
b) Utilizando las propiedades de la probabilidad:
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P B ( ) − P ( A ∩ B )= 0,6 + 0,3 − 0,2 =0,
Por la definición de probabilidad condicionada:
(( )^ (^ ))
P A B A B P A B
P A B A B
P A B P A B
( ( ))
P A A B P A
P A A B
P A B P A B
54. Un estuche contiene 15 bolígrafos de color rojo y 10 de color azul. Se pide:
a) Si se elige uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de color rojo? ¿Y de color azul?
b) Si se extraen dos sin reemplazamiento, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean azules?
c) Si se extraen dos sin reemplazamiento, calcula la probabilidad de que el primero sea rojo y el segundo azul.
a) Se elige un bolígrafo al azar y se consideran los sucesos R = “coger bolígrafo de color rojo”, A = “coger
bolígrafo de color azul”. El número total de bolígrafos es 25 y éste es el número de resultados posibles.
Dado que 15 bolígrafos son de color rojo y 10 de color azul, estos son los resultados favorables a cada uno
de los sucesos. Aplicando la regla de Laplace:
( ) =^ =^ =^ ( )=^ =^ =
P R P A
b) En este caso, sean los sucesos j R = “coger bolígrafo rojo en la extracción j = 1 , 2” y j A = “coger bolígrafo
azul en la extracción j = 1 , 2”. Se debe calcular la probabilidad del suceso ∩ 1 2
A A :
( 1 ∩^2 ) =^ ( 1 ) ⋅^ ( 2 1 )=^ ⋅^ =^ =
P A A P A P A A
c) Con la misma notación que en el apartado b), ahora se debe calcular la probabilidad del suceso ∩ 1 2
R A :
( 1 ∩^2 ) =^ ( 1 ) ⋅^ ( 2 1 )=^ ⋅^ =^ =
P R A P R P A R
