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TEMA 11
CONVERGENCIA
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PROGRAMA
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Tema 1: Análisis estadístico unidimensional Tema 2: Análisis estadístico bidimensional
Tema 3: Números índices
Tema 4: Introducción a las series temporales
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Tema 5: Teoría de la probabilidad. Aspectos generales
Tema 6: Variables aleatorias unidimensionales Tema 7: Variables aleatorias bidimensionales
Tema 8: Características de las distribuciones de probabilidad Tema 9: Función característica
Tema 10: Distribuciones de probabilidad discretas y continuas
Tema 11: Convergencia
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OTROS EJEMPLOS
- Interpretar y aplicar los teoremas límite.
- Utilizar las herramientas estadísticas conocidas para analizar los resultados más relevantes relacionados con la convergencia de variables aleatorias (leyes de grandes números, teorema central del límite).
PRINCIPALES OBJETIVOS DEL TEMA
OTROS EJEMPLOS
- Convergencia
- Tipos de convergencia
- Teoremas límite
PRINCIPALES CONCEPTOS DEL TEMA
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OTROS EJEMPLOS
1- Introducción. 2- Tipos de convergencia 2.1- Convergencia casi-segura 2.2- Convergencia en probabilidad 2.3- Convergencia en distribución 2.4- Convergencia en media de orden r 2.5- Relación entre los distintos tipos de convergencia 3- Teorema Central del límite 4- Teorema de Lindeberg-Lévy 5- Teorema de Moivre-Laplace 6- Teorema de Lindeberg-Feller
ESTRUCTURA DEL TEMA
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Una sucesión de v.a. {ξn}, se dice que converge en probabilidad a una variable aleatoria ξ si para todo ε>
( (^) − > ) (^) = 0 → ∞
ξ n ξ ε n
Lim P
( − < ) = 1 → ∞
ξ n ξ ε n
Lim P
ξ → ξ
P n
CONVERGENCIA EN PROBABILIDAD (O ESTOCÁSTICA)
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Una sucesión v.a. {ξn}, con funciones de distribución Fn(x), converge en distribución a la v.a. ξ, con función de distribución F(x), si y sólo si la sucesión {Fn(x) } converge a F(x).
Si en cada punto de discontinuidad de F
d n
Lim Fn ( t ) F ( t )
n ξ^ ξ
→ ∞
CONVERGENCIA EN DISTRIBUCIÓN (O EN LEY)
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-- Una sucesión v.a. {ξn}converge en media de orden r a la v.a. ξ si
Siendo finitas:
-- Sabemos que si existe el momento de orden r, existirán todos los de orden inferior, por tanto, si s ≤ r:
-- El caso más destacado lo tenemos cuando r=2, dando lugar a la convergencia en media cuadrática.
mr n
→ ∞
r
Limn E ξ n ξ
r
r n
E
E
ms n
mr n
CONVERGENCIA EN MEDIA DE ORDEN r
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Casi-Segura Media de orden r
Probabilidad
Distribución
RELACIÓN ENTRE LOS DISTINTOS TIPOS DE CONVERGENCIA
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Dada una v.a. ξn B(n,p) con:
Definimos la nueva variable: ηn:
Ya que:
Este teorema es un caso particular del de Lindeberg-Lévy en el que se considera que todas las v.a. tienen una distribución común binomial
N
npq
n E^ n n np d
n n
ξ σ
ξ ξ η ξ
E ( ξ n )= np yV ( ξ n )= npq
N ( np , npq )
d
ξ n →
5- TEOREMA DE MOIVRE-LAPLACE
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Dada una sucesión {ξn} de v.a. independientes con funciones de distribución Fn(x) , esperanza μn y varianza σ^2 n<∞
Definimos la nueva variable:
2 2 2
2 1
1
n n
d n
n
i
i i n
siendo C
N
C
σ σ σ
ξ μ η
∑
6- TEOREMA DE LINDEBERG-FELLER
