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TEMA TEMA 2.2. DISTRIBUCIONESDISTRIBUCIONES DEDE
FRECUENCIAS FRECUENCIAS
BIDIMENSIONALES BIDIMENSIONALES
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Índice
1. Variables bidimensionales.
2. Tabulación de datos: distribución de frecuencias
bidimensionales.
3. Distribuciones marginales y distribuciones
condicionadas.
4. Independencia estadística.
5. Covarianza y coeficiente de correlación.
6. Recta de regresión. Estimación de coeficientes.
Bondad de ajuste. Predicción
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RESULTADOS DEL APRENDIZAJE
Elaborar tablas de frecuencias bidimensionales. Obtener distribuciones marginales y distribuciones condicionadas. Resumir la información de la distribución bidimensional utilizando medidas descriptivas. Determinar si dos variables son estadísticamente independientes. Calcular la covarianza entre dos variables e interpretar su signo. Calcular el coeficiente de correlación lineal entre dos variables e interpretar su signo y su valor. Dibujar e interpretar el diagrama de dispersión. Calcular e interpretar los coeficientes de la recta de regresión. Realizar predicciones a partir de una recta de regresión y conocer la fiabilidad de las mismas.
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De la Encuesta de Presupuestos Familiares se han seleccionado 20 personas y se ha obtenido información acerca del individuo encuestado.
- ¿Cuál es el porcentaje de personas de 20 años con un alquiler imputado a la vivienda mayor de 450€ y menor o igual a 550€?
- ¿Cuál es el porcentaje de hombres de edad superior a 20 años?
- ¿Cuántas mujeres hay de 19 años?
- ¿Hay más individuos con nivel de estudios alto que con un nivel de estudios bajo entre los que pagan un alquiler superior a 650€?
Encuestado Edad Alquiler Sexo Estudios 1 18 500 Hombre Medio 2 19 530 Mujer Alto 3 20 450 Mujer Alto 4 21 600 Mujer Bajo 5 20 750 Mujer Medio 6 19 760 Hombre Medio 7 18 790 Mujer Medio 8 19 610 Hombre Medio 9 21 615 Mujer Bajo 10 22 680 Mujer Bajo 11 20 480 Mujer Bajo 12 20 800 Hombre Alto 13 18 850 Hombre Alto 14 19 560 Hombre Medio 15 20 550 Mujer Medio 16 20 590 Hombre Medio 17 21 470 Hombre Bajo 18 20 560 Hombre Medio 19 20 700 Mujer Alto 20 19 840 Mujer Alto
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X\Y y 1 y 2 …^ y (^) s x 1 n 11 n 12 …^ n (^) 1s x 2 n 21 n 22 …^ n (^) 2s . . .
. . .
. . .
…
. . . x (^) r nr1 nr2 …^ nrs
Si las dos variables son cuantitativas
Si alguna variable es cualitativa
Tabla de correlación
Tabla de contingencia
Diagrama de dispersión o nube de puntos: para representar la
distribución bidimensional, que puede ayudar a descubrir visualmente
la existencia de algún tipo de relación entre dos variables.
X
Y
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¿Cuántas mujeres hay de 19 años?
Tabla de contingencia para la variable bidimensional
(X,Y) donde X={edad} e Y={sexo}
Mujer 19
Mujer 20
Hombre 20
Hombre 21
Hombre 20
Mujer 20
Hombre 19
Hombre 18
Hombre 20
Mujer 20
Mujer 22
Mujer 21
Hombre 19
Mujer 18
Hombre 19
Mujer 20
Mujer 21
Mujer 20
Mujer 19
Hombre 18
Sexo Edad X\Y Hombre Mujer 18 2 1 19 3 2 20 3 5 21 1 2 22 0 1 20
¿Cuál es el porcentaje de hombres de edad superior a
20 años?
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¿Hay más individuos con nivel de estudios alto que con
un nivel de estudios bajo entre los que pagan un alquiler
superiora 650€?
Posible tabla de contingencia para la variable bidimensional
(X,Y) donde X={estudios} e Y={alquiler}
(
Alto 840
Alto 700
Medio 560
Bajo 470
Medio 590
Medio 550
Medio 560
Alto 850
Alto 800
Bajo 480
Bajo 680
Bajo 615
Medio 610
Medio 790
Medio 760
Medio 750
Bajo 600
Alto 455
Alto 530
Medio 500
Estudios Alquiler X\Y 450-550 550-650 650-750 750-
Bajo 2 2 1 0 Medio 2 4 1 2 Alto 2 0 1 3 20
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¿Cuál es el porcentaje de personas de 20 años con un
alquiler imputado a la vivienda mayor de 450€ y menor
o igual a 550€?
Posible tabla de correlación para la variable bidimensional
(X,Y) donde X={edad} e Y={alquiler}
19 840
20 700
20 560
21 470
20 590
20 550
19 560
18 850
20 800
20 480
22 680
21 615
19 610
18 790
19 760
20 750
21 600
20 450
19 530
18 500
Edad Alquiler X\Y 450-550 550-650 650-750 750- 18 1 0 0 2 19 1 2 0 2 20 3 2 2 1 21 1 2 0 0 22 0 0 1 0 20
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Distribuciones marginales de las variables X={edad} e Y={alquiler}
X\Y 450-550 550-650 650-750 750-850 n (^) i· 18 1 0 0 2 3 19 1 2 0 2 5 20 3 2 2 1 8 21 1 2 0 0 3 22 0 0 1 0 1 n·j 6 6 3 5 20
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Distribuciones condicionadas Distribucionescondicionadas
Distr. de X condicionada a Y=yj
X / Y= yj n (^) i/j f (^) i/j x 1 n1/j f (^) 1/j x 2 n2/j f (^) 2/j x (^) r n (^) r/j f (^) r/j n j 1
ni/j n , ij i 1,...,r
i/j i/j j
n f , i 1,...,r n
r j i/j i 1
n n ^
Distr. de Y condicionada a X=xi
Y / X = x (^) i n (^) j/i f (^) j/i y 1 n1/i f (^) 1/i y 2 n2/i f (^) 2/i ys n (^) s/i f (^) r/i n i (^) 1
nj/i n , ij j 1,...,s
j/i j/i i
n f , j 1,...,s n
s i (^) j/i j 1
n n
^
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Distribución de la edad de los hombres
X\Y Hombre Mujer n·j 18 2 1 3 19 3 2 5 20 3 5 8 21 1 2 3 22 0 1 1 ni· 9 11 20
Distribución del sexo de los menores de 20 años
X\Y Hombre Mujer n·j 18 2 1 3 19 3 2 5 20 3 5 8 21 1 2 3 22 0 1 1 ni· 9 11 20
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Independencia estad Independenciaestadíísticastica
X e Y son estadísticamente independientes si:
ij i j ij (^) i j
f f f , i 1,..., r; j 1,..., s n (^) n. n. · , i 1,..., r; j 1,..., s N N N
i / 1 i / 2 i / s i j / 1 j / 2 j / r j
f f ... f f , i 1,..., r, f f ... f f , j 1,..., s,
O equivalentemente, si:
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Covarianza Covarianza yy coeficiente decoeficientede correlaciócorrelaciónn lineallineal
El coeficiente de correlación lineal , rxy , mide el grado de
relación lineal entre dos variables estadísticas cuantitativas
xy xy xy x y
S
r , 1 r 1 S S
Ante transformaciones lineales del tipo U=a+bX, V=c+dY, se tiene uv xy uv xy
r r si sig(b) sig(d) r r si sig(b) sig(d)
Si r (^) xy=0 X, Y variables incorreladas
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Covarianza Covarianza yy coeficiente decoeficientede correlaciócorrelaciónn lineallineal
Si X e Y son independientes S xy=0, variables incorreladas
Si S xy=0, variables incorreladas X e Y sean independientes
Si S xy≠ 0 X e Y son dependientes
Si X e Y son dependientes ^ Sxy^ ^0
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Calcule la covarianza y el coeficiente de correlación lineal entre las
variables edad y alquiler
yj 500 600 700 800 X\Y 450-550 550-650 650-750 750-850 n (^) i· x (^) i ni. x (^) i^2 ni. 18 1 0 0 2 3 54 972 2100 37800 19 1 2 0 2 5 95 1805 3300 62700 20 3 2 2 1 8 160 3200 4900 98000 21 1 2 0 0 3 63 1323 1700 35700 (^22) 0 0 1 0 1 22 484 700 15400 n·j 6 6 3 5 20 394 7784 249600 yj n.j 3000 3600 2100 4000 12700 yj^2 n.j 1500000 2160000 1470000 3200000 8330000 118 120 62 94 59000 72000 43400 75200 249600
5 i 1 xni ij 5 yj (^) i 1 xni ij
4 j 1 y nj ij 4 xi j 1 y nj ij
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xy 2 x
S
a y bx b S
2 2 xy 2 2 2 xy x y
S
R r
S S
La recta de Y sobre X es de la forma ˆy a bx
“b” recibe el nombre de coeficiente de regresión
“a” es el punto de corte con el eje Y
con
Coeficiente de determinación
0 R^2 1
RectaRecta dede^ regresiregresióónn
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Se desea conocer si existe alguna relación entre los gastos en publicidad (P) y las ventas (V) de un determinado producto a partir de la siguiente información:
R2.7.
b) Obtenga el modelo lineal que expresa las ventas en función de los gastos en publicidad.
P 32,1 35,1 37 32,5 36 38 34 32 28 35 33 28 V 1,1 1,5 1,75 1,1 1,65 1,6 1,38 1,2 0,9 1,6 1,5 1 n i 1 pi^ 400,
n i i 1
v 16,
n (^2) i i 1
p 13.489, 67
n (^2) i i 1
v 22,
n i i i 1
p v 552,
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R2.7.
c) Obtenga la bondad del ajuste.
d) ¿Qué nivel de ventas estima si se desea realizar un gasto en publicidad de 31.000 euros?
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