¡Descarga Cálculo de determinantes y vectores propios de matrices cuadradas y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Apunts de l’assignatura Matem`atiques I
curs 2017-
Tema 2: Algebra`
Teresa Crespo
29 d’agost de 2017
1 Vectors de R
n
Considerem els vectors (x 1 ; x 2 ; : : : ; xn) de Rn^ , ´es a dir, x 1 ; x 2 ; : : : ; xn s´on nombres re- als, amb la suma i el producte per un escalar de R definits en la forma seg¨uent. Si (x 1 ; x 2 ; : : : ; xn); (y 1 ; y 2 ; : : : ; yn) s´on vectors de Rn^ i r un nombre real, tenim
(x 1 ; x 2 ; : : : ; xn) + (y 1 ; y 2 ; : : : ; yn) = (x 1 + y 1 ; x 2 + y 2 ; : : : ; xn + yn) r(x 1 ; x 2 ; : : : ; xn) = (rx 1 ; rx 2 ; : : : ; rxn)
Posem
0 el vector amb totes les components iguals a 0. Diem que un vector u ´es combinaci´o lineal dels vectors v 1 ; v 2 ; : : : ; vm si u = a 1 v 1 + a 2 v 2 + + amvm per certs nombres reals a 1 ; a 2 ; : : : ; am.
1.1 Vectors linealment independents. Bases
Donats vectors v 1 ; v 2 ; : : : ; vm de Rn, diem que v 1 ; v 2 ; : : : ; vm s´on linealment independents si, per a a 1 ; a 2 ; : : : ; am nombres reals, es compleix
a 1 v 1 + a 2 v 2 + + amvm =
0 ) a 1 = 0; a 2 = 0; : : : ; am = 0;
´es a dir, si l’´unica combinaci´o lineal dels vectors v 1 ; v 2 ; : : : ; vm que ´es igual a
0 ´es la que t´e tots els coeficients nuls. Si v 1 ; v 2 ; : : : ; vm no s´on linealment independents, diem que s´on linealment dependents. En aquest cas, un d’ells ´es combinaci´o lineal dels altres. Diem base de Rn^ un conjunt de n vectors linealment independents de Rn. Si u 1 ; u 2 ; : : : ; un ´es base de Rn, per a tot vector v de Rn, existeixen nombres reals a 1 ; a 2 ; : : : ; an ´unics tals que v = a 1 u 1 + a 2 u 2 + + anun. Diem que a 1 ; a 2 ; : : : ; an s´on les coordenades del vector v en la base u 1 ; u 2 ; : : : ; un. Per determinar si vectors donats s´on linealment independents, fem reducci´o de Gauss: Posem els vectors en fila en una matriu i operem fins a obtenir una matriu escalonada, ´es a dir tal que s´on zeros el primer coeficient de la segona fila, els dos primers coeficients de la tercera, ...i s´on no nuls el primer coeficient de la primera fila, el segon coeficient de la segona fila, ... Las operacions admissibles s´on: permutar files, sumar a una fila un
m´ultiple d’una altra, multiplicar una fila per un nombre no nul. Tamb´e podem permutar columnes pero tenint en compte que equival a canviar l’ordre de les components dels vectors. Els vectors donats s´on linealment independents si en la matriu escalonada obtinguda al final del proces no hi ha cap fila tota de zeros.
Exemple 1. Considerem els vectors (1; 0 ; 1 ; 2); (2; 3 ; 0 ; 5); (3; 3 ; 2 ; 11) de R^4.
0
@
A !
A !
A :
En el primer pas hem restat a la segona fila la primera fila multiplicada per 2 i hem restat a la tercera fila la primera fila multiplicada per 3. En el segon pas hem restat a la tercera fila la segona fila. Obtenim que els vectors donats s´on linealment independents.
2 Determinants
Per a una matriu quadrada A, 2 2 o 3 3, amb coeficients reals, tenim definit el determinant det A = jAj en la forma seg¨uent
a b c d = ad bc
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 :
Observem que es compleix
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
= a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 21 a 12 a 13 a 32 a 33
Volem definir el determinant per a matrius quadrades m´es grans. Per a una matriu quadrada A de n files i n columnes amb coeficients aij ; 1 i n; 1 j n, direm menor complementari de aij i posem Aij el determinant de la matriu obtinguda eliminant a A la fila i i la columna j. Prenem ara una matriu A, 4 4,
A =
B
B
a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44
C
C
A :
El menor complementari de cada coeficient aij ´es el determinant d’una matriu 3 3, que ja sabem calcular. Definim
det A = a 11 A 11 a 21 A 21 + a 31 A 31 a 41 A 41 =
∑^4
i=
( 1)i+1ai 1 Ai 1 :
Sumem ara m´ultiples de la primera fila a les altres per obtenir zeros a la primera columna i, de nou per la propietat 2), i desenvolupant per la primera columna, tenim
Queda un determinant 3 3 que ja sabem calcular. Tamb´e podem reduir m´es la matriu, ´es a dir, sumant a la primera fila la segona multiplicada per 6, restant a la tercera la segona multiplicada per 8, i desenvolupant per la segona columna
Obtenim doncs
1 1 2 3 2 2 3 4 0 5 3 2 0 1 4 2 4 5 1 0 1 3 6 1 2
Diem menor d’ordre r d’una matriu A el determinant de la matriu obtinguda prenent els elements de r files i r columnes de A. Exemple 3. Per a la matriu
A =
A
el menor d’ordre 2 de les files 1 i 2 i les columnes 2 i 3 ´es
2 3 5 6
Diem rang d’una matriu el nombre maxim de files linealment independents que t´e. El rang d’una matriu ´es tamb´e igual al nombre maxim de columnes linealment independents que t´e. El rang d’una matriu ´es igual a r si t´e un menor M d’ordre r no nul i tots els menors d’ordre r + 1, obtinguts afegint a M una fila i una columna, s´on iguals a zero. Una matriu quadrada n n t´e rang n si i nom´es si detA ̸= 0. Posem rg A el rang de la matriu A.
Exemple 4. Considerem la matriu
A =
A :
Calculem els seu rang fent reducci´o de Gauss.
0 @
A !
A !
A :
En la matriu escalonada, tenim dues files no nules. Obtenim doncs que A t´e rang 2. Calculem ara el rang amb menors. El menor de les dues primeres files i columnes ´es
1 2 2 3
i els menors que s’obtenen afegint a aquest una fila i una columna s´on
1 2 3 2 3 5 1 1 2
per tant obtenim de nou que rg A = 2.
2.1 C`alcul de la matriu inversa
Si A = (aij ) ´es una matriu quadrada, l’adjunt del coeficient aij ´es ( 1)i+j^ Aij , on Aij ´es el menor complementari de aij. Diem matriu d’adjunts de A la matriu que t´e per coeficients els adjunts del coeficients de A. Si el determinant de A ´es no nul, la matriu inversa de A ´es la transposada de la matriu d’adjunts dividida pel determinant.
Exemple 5. Considerem la matriu
A =
A :
Tenim det A = 3 i la matriu d’adjunts de A ´es 0 @
A :
Obtenim doncs
A ^1 =
A =
A :
2 x + y + 3z = 1 x + 2y z = 1 x y + 4z = 0
Escrivim la matriu del sistema i reduim per Gauss. 0
@
A !
A !
A
El sistema donat ´es equivalent al sistema { x + 2y z = 1 3 y + 5z = 1
De la segona equaci´o obtenim y =
5 z + 1 3
i, substituint a la primera x = 2 y + z +
1 = 2
5 z + 1 3
7 z + 1 3
. Tenim doncs infinites solucions, dependent del parametre z. El sistema ´es compatible i indeterminat. En general, un sistema d’equacions lineals ´es compatible si rgA = rg(Ajb). En aquest cas ´es indeterminat si rgA = rg(Ajb) < n, on n ´es el nombre d’incognites.
- Considerem ara el sistema d’equacions lineals
8 <
:
2 x + y + 3z = 1 x + 2y z = 1 x + y + 4z = 0
Escrivim la matriu del sistema i reduim per Gauss. 0 @
A !
A !
A
A
El sistema donat ´es equivalent al sistema 8 <
:
x + 2y z = 1 y + 5z = 1 10 z = 2
De la tercera equaci´o obtenim z =
, substituint a la segona, y = 5z + 1 = 0 i,
substituint a la primera x = 2 y + z + 1 =
. Tenim doncs una ´unica soluci´o. El sistema ´es compatible i determinat. En general, un sistema d’equacions lineals compatible ´es determinat si rgA = rg(Ajb) = n, on n ´es el nombre d’inc`ognites.
2.3 Subespais vectorials de Rn
Un subconjunt F de Rn^ ´es un subespai vectorial de Rn^ si compleix
u; v 2 F ) u + v 2 F ,
u 2 F; r 2 R ) ru 2 F
Donats vectors v 1 ; : : : ; vm de Rn^ el conjunt de totes les combinacions lineals de v 1 ; : : : ; vm s’escriu ⟨v 1 ; : : : ; vm⟩ i ´es un subespai vectorial de Rn. Es diu subespai vectorial de Rn^ generat per v 1 ; : : : ; vm. El conjunt de solucions d’un sistema d’equacions lineals homogenies en n incognites ´es un subespai vectorial de Rn. Una base d’un subespai vectorial F de Rn^ ´es un conjunt de vectors de F linealment independents i que generen F. La dimensi´o de F ´es el nombre de vectors d’una base de F. Si F = ⟨v 1 ; : : : ; vm⟩, una base de F ´es un conjunt maxim de vectors linealment independents entre els vectors v 1 ; : : : ; vm. Si F ´es donat com a conjunt de solucions d’un sistema d’equacions lineals homogenies en n inc`ognites amb matriu A, la dimensi´o de F ´es igual a n rgA.
Exemple 7. Donats v 1 = (1; 1 ; 1 ; 2); v 2 = ( 1 ; 2 ; 1 ; 2); v 3 = (1; 4 ; 1 ; 2), calculeu la dimensi´o del subespai vectorial de R^4 que generen i doneu-ne una base. Considerem la matriu que t´e els vectors donats per files i fem reducci´o per Gauss. 0
@
A !
A !
A :
Obtenim doncs que la dimensi´o de ⟨v 1 ; v 2 ; v 3 ⟩ ´es 2, ´es a dir el nombre de files no nules de la matriu redu¨ıda. Una base ´es ((1; 1 ; 1 ; 2); (0; 3 ; 0 ; 0)), ´es a dir la formada per les files no nules de la matriu redu¨ıda. Una altra base ´es (v 1 ; v 2 ), ´es a dir les dues files de la matriu inicial que corresponen a les files no nules de la matriu redu¨ıda.
Exemple 8. Considerem el subespai vectorial de R^4
F =
(x; y; z; t) :
2 x + y z + t = 0 x + y + z t = 0 y + 3 z 3 t = 0
Doneu la dimensi´o i una base de F. Considerem la matriu del sistema i fem reducci´o per Gauss.
A + 2Id =
A
´es una matriu de rang 1 i el sistema d’equacions que d´ona E 2 es redueix a l’equaci´o x y + z = 0, de la qual obtenim y = x + z. Els vectors de E 2 s´on doncs els de la forma (x; x + z; z) = x(1; 1 ; 0) + z(0; 1 ; 1). Tenim doncs que E 2 t´e dimensi´o 2 i una base de E 2 ´es ((1; 1 ; 0); (0; 1 ; 1)). Calculem els vectors propis de valor propi 4.
A 4 Id =
A !
A :
A 4 Id ´es una matriu de rang 2 i el sistema d’equacions que d´ona E 4 es redueix a { 3 x 3 y + 3z = 0 12 y + 6z = 0 De la segona equaci´o obtenim z = 2y i, substituint a la primera x = y + z = y. Els vectors de E 4 s´on doncs els de la forma (y; y; 2 y) = y(1; 1 ; 2). Tenim doncs que E 4 t´e dimensi´o 1 i una base de E 4 ´es ((1; 1 ; 2)). Vegem ara com calcular els valors propis. Tenim que un nombre real ´es valor propi de la matriu A si existeix un vector v no nul de Rn^ tal que Av = v, ´es a dir si el sistema d’equacions lineals homogenies amb matriu A Id t´e solucions no trivials. Com ´es un sistema amb n equacions homogenies i n inc`ognites, t´e solucions no trivials si i nom´es si det(A Id) = 0. Diem polinomi caracter´ıstic de la matriu A el polinomi PA(X) de grau n que s’obt´e desenvolupant el determinant det(A XId). Tenim que els valors propis de la matriu A s´on exactament les arrels del polinomi PA(X). Exemple 10. El polinomi caracter´ıstic de la matriu
A =
A
´es
PA(X) =
1 X 3 3
3 5 X 3
6 6 4 X
= (1 X)( 5 X)(4 X) 54 54 + 18(5 + X) + 18(1 X) + 9(4 X)
= ( 5 + 4X + X^2 )(4 X) + 36 9 X = 20 + 21X X^3 + 36 9 X
= X^3 + 12X + 16:
Sabem que les possibles arrels enteres de PA(X) s´on els divisors del terme independent 16 ´es a dir 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16. Tenim PA(1) = 27; PA( 1) = 5; PA(2) = 32; PA( 2) = 0. Obtenim X^3 + 12X + 16 = (X + 2)( X^2 + 2X + 8) i les arrels de X^2 + 2X + 8 s´on 2 i 4. Obtenim doncs que PA(X) t´e arrels -2, doble i 4, simple.
Si A ´es matriu quadrada d’ordre n, aleshores A ´es diagonalitzable si i nom´es si existeix una base de Rn^ formada per vectors propis de A. En aquest cas, si la base de vectors propis ´es (v 1 ; : : : ; vn) i i ´es el valor propi de vi, 1 i n, la matriu C obtinguda posant els vectors v 1 ; v 2 ; : : : ; vn en columna compleix
C ^1 AC =
B
B
B
n
C
C
C
A
Diem que A diagonalitza en la base (v 1 ; v 2 ; : : : ; vn) i la matriu diagonal D =
λ 1 λ 2 ... λn
A
es diu matriu diagonal equivalent a A.
3.2 Teorema de diagonalitzaci´o
Enunciem el teorema que ens d´ona les condicions que ha de complir una matriu per diagonalitzar.
Teorema 11. Una matriu quadrada A d’ordre n ´es diagonalitzable si i nom´es si es compleixen les dues condicions seg¨uents.
(1) El polinomi caracter´ıstic de A, PA(X) = det(A XId) t´e n arrels reals, comptades amb multiplicitat.
(2) Per a cada arrel de PA(X) es compleix dim Eλ = mλ, on mλ ´es la multiplicitat de com a arrel de PA(X).
Observaci´o 12. Si ´es valor propi de A, es compleix sempre 1 dim Eλ mλ. Per tant, si mλ = 1, tenim dim Eλ = 1 = mλ. Si la matriu A ´es diagonalitzable, s’obt´e una base de Rn^ formada per vectors propis de A reunint una base de cada Eλ per a tots els valors propis de A.
Exemple 13. Considerem la matriu
A =
A :
Hem vist a l’exemple 10 que PA(X) t´e tres arrels reals comptades amb multiplicitat: -2, doble, i 4 simple, i hem vist a l’exemple 9 que ((1; 1 ; 0); (0; 1 ; 1)) ´es base de E 2 i (1; 1 ; 2) ´es base de E 4 , per tant dim E 2 = m 2 i dim E 4 = m 4. Obtenim doncs que A diagonalitza en la base ((1; 1 ; 0); (0; 1 ; 1); (1; 1 ; 2) i una matriu diagonal equivalent a A
´es
0 2 0 0 0 4
compleix la condici´o (1) del teorema de diagonalitzaci´o. Hem de veure si dim E 1 = 2. Tenim
A 3 Id =
A
t´e rang 1, per tant dim E 1 = 3 1 = 2 = m 1 i A 3 diagonalitza. La matriu dia- gonal equivalent a A 3 ´es
0 1 0 0 0 2
. Calculem ara una base de vectors propis. Els vectors propis de valor propi 1 s´on les solucions de x + y + z = 0 i, per tant, els vectors de la forma (x; y; x y) = x(1; 0 ; 1) + y(0; 1 ; 1). Una base de E 1 ´es ((1; 0 ; 1); (0; 1 ; 1)). Calculem ara els vectors propis de valor propi 2. Tenim
A 3 + 2Id =
A !
A !
A :
Queda el sistema { x + z = 0 y + z = 0
que d´ona x = z; y = z. Els vectors propis de valor propi 2 s´on doncs de la forma ( z; z; z) = z( 1 ; 1 ; 1), una base de E 2 ´es (( 1 ; 1 ; 1)). Una base de vectors propis de A 3 ´es ((1; 0 ; 1); (0; 1 ; 1); ( 1 ; 1 ; 1)).
3.3 Exemples amb par`ametres
Exemple 15. Determineu els valors del par`ametre real a per als quals ´es diagonalitzable la matriu seg¨uent.
A =
2 a 3 a 3 1 3 a 3 2 + a
A
Quan ho sigui, doneu la matriu diagonal equivalent i una base de vectors propis. Calculem el polinomi caracter´ıstic de la matriu A.
PA(X) =
2 a X 3 a 3 1 X 3 a 3 2 + a X = ( 2 a X)(1 X)( 2 + a X) 9 a 9 a + a^2 (1 X) + 9(2 + a + X) + 9( 2 + a X) = (X^2 + (1 + a)X 2 a)( 2 + a X) a^2 X + a^2 = X^3 3 X^2 + a^2 X + 4 a^2 a^2 X + a^2 = X^3 3 X^2 + 4
El polinomi caracter´ıstic PA(X) no depen del par`ametre a. Tenim PA(1) = 0 i PA(X) = (X 1)( X^2 4 X 4) = (X 1)(X + 2)^2. Per tant PA(X) t´e arrels 1, simple, i -2, doble, i es compleix la condici´o (1) del teorema de diagonalitzaci´o. La matriu A diagonalitza si i nom´es si dim E 2 = 2. Tenim
A + 2Id =
a 3 a 3 3 3 a 3 a
A :
La tercera fila ´es igual a la primera canviada de signe; A + 2Id tindr`a rang 1 si i nom´es si la primera fila ´es m´ultiple de la segona. Com l’element de la segona columna ´es 3 per a totes dues, haurien de ser iguals i obtenim que el rang de A + 2Id ´es 1 si i nom´es si a = 3. Tenim doncs dos casos.
Si a ̸= 3, A no diagonalitza.
Si a = 3, A diagonalitza. En aquest cas,
A =
A (^) ; A + 2Id =
A
Els vectors de E 2 s´on les solucions de l’equaci´o x + y z = 0, que d´ona y = x + z. Els vectors de E 2 s´on doncs els de la forma (x; x + z; z) = x(1; 1 ; 0) + z(0; 1 ; 1) i una base de E 2 ´es ((1; 1 ; 0); (0; 1 ; 1)). Ara
A Id =
A
Les files d’aquesta matriu compleixen 1a^ = 2a^ 3 a^ i les files 2a^ i 3a^ s´on clarament independents. Els vectors de E 1 s´on doncs les solucions del sistema { x + z = 0 x y = 0
que d´ona z = x; y = x. Els vectors de E 1 s´on doncs els de la forma (x; x; x) = x(1; 1 ; 1) i una base de E 1 ´es ((1; 1 ; 1)).
La matriu diagonal equivalent a A ´es
0 2 0 0 0 1
i una base de vectors propis ´es ((1; 1 ; 0); (0; 1 ; 1); (1; 1 ; 1)).
Exemple 16. Determineu els valors del par`ametre real a per als quals ´es diagonalitzable la matriu seg¨uent.
A =
2 2 a 1 + a 0 5 + a 1 2 a 1 a
A
L’equaci´o corresponent a la primera fila d´ona x = 0, ja que 1 + a ̸= 0. Substituint a l’equaci´o de la segona fila, obtenim y = 0, ja que a ̸= 0. Obtenim que ((0; 0 ; 1)) ´es base de E 1 a. Una base de vectors propis ´es doncs ((1; 2 ; 3); (0; 1 ; 1 2 a^2 a); (0; 0 ; 1)).
- Si a = 1, A t´e els valors propis 2, doble, i 0. Aleshores A diagonalitza si i nom´es si dim E 2 = 2. Tenim
A =
A (^) ; A 2 Id =
A
Per tant rang(A 2 Id) = 1 ) dim(A 2 Id) = 3 1 = 2 i A diagonalitza. Els vectors propis de valor propi 2 compleixen 4 x y 2 z = 0 que d´ona y = 4 x 2 z. Els vectors de E 2 s´on els de la forma (x; 4 x 2 z; z) = x(1; 4 ; 0) + z(0; 2 ; 1), una base de E 2 ´es ((1; 4 ; 0); (0; 2 ; 1)). Els vectors propis de valor propi 0 s´on els anullats per A. Compleixen x = y = 0. Una base de E 0 ´es doncs ((0; 0 ; 1)).
La matriu diagonal equivalent a A ´es
0 2 0 0 0 0
i una base de vectors propis ´es ((1; 4 ; 0); (0; 2 ; 1); (0; 0 ; 1)).
- Si a = 1, A t´e els valors propis 2, doble, i 0. Aleshores A diagonalitza si i nom´es si dim E 2 = 2. Tenim
A =
A (^) ; A 2 Id =
A
Per tant rang(A 2 Id) = 1 ) dim(A 2 Id) = 3 1 = 2 i A diagonalitza. Els vectors propis de valor propi 2 compleixen 2x y = 0 que d´ona y = 2x. Els vectors de E 2 s´on els de la forma (x; 2 x; z) = x(1; 2 ; 0) + z(0; 0 ; 1), una base de E 2 ´es ((1; 2 ; 0); (0; 0 ; 1)). Els vectors propis de valor propi 0 s´on els anullats per A. Compleixen x = 0; 3 y + 2 z = 0. Una base de E 0 ´es doncs ((0; 2 ; 3)).
La matriu diagonal equivalent a A ´es
0 2 0 0 0 0
i una base de vectors propis ´es ((1; 2 ; 0); (0; 0 ; 1); (0; 2 ; 3)).
- Si a = 0, A t´e els valors propis 1, doble, i 2. Aleshores A diagonalitza si i nom´es si dim E 1 = 2. Tenim
A =
A (^) ; A Id =
A
Per tant rang(A Id) = 2 ) dim(A Id) = 3 2 = 1 i A no diagonalitza.
3.4 Matrius reals amb valors propis complexos
El teorema fonamental de l’`algebra ens d´ona que un polinomi de grau n amb coeficients reals o complexos sempre t´e n arrels complexes comptades amb multiplicitat. Per tant, si considerem una matriu quadrada d’ordre n que no compleix la condici´o (1) del teorema de diagonalitzaci´o, com el seu polinomi caracter´ıstic t´e n arrels complexes, pot ser que la matriu es pugui diagonalitzar amb valors complexos.
Exemple 17. Considerem de nou la matriu A 1 de l’exemple 14
A 1 =
A :
Ten´ıem PA 1 (X) = (X 2)(X^2 2 X + 3). Les arrels de X^2 2 X + 3 s´on
X =
p 4 12 2
= 1 i
p 2 :
Per tant PA 1 (X) t´e tres arrels simples 2; 1 + i
p 2 ; 1 i
p 2 i diagonalitza sobre els com- plexos. Calculem els vectors propis de valor propi 2.
A 1 2 Id =
A :
Els vectors propis de valor propi 2 s´on doncs les solucions del sistema
{ x + y = 0 2 x y + z = 0
que t´e solucions y = x; z = 3 x. Els vectors de E 2 s´on doncs els de la forma (x; x; 3 x) = x(1; 1 ; 3). El vector (1; 1 ; 3) forma base de E 2. Calculem els vectors propis de valor propi 1 + i
p
A 1 (1 + i
p 2)Id =
i
p 2 1 0 2 i
p 2 1 0 0 i
p 2
A !
i
p 2 1 0 0 0 1 0 0 i
p 2
A ;
restant a la segona fila la primera multiplicada per i
p
- Els vectors propis de valor propi 1 + i
p 2 compleixen doncs z = 0; y = i
p 2 x. Els vectors de E1+ip 2 s´on doncs els
de la forma (x; i
p 2 x; 0) = x(1; i
p 2 ; 0). El vector (1; i
p 2 ; 0) forma base de E1+ip 2. Per a una matriu quadrada A amb coeficients reals, tenim que si ´es valor propi complex de A, aleshores el conjugat de tamb´e ´es valor propi de A i, a m´es, si v ´es vector propi de valor propi , v ´es vector propi de valor propi , on v indica el vector que t´e per coordenades els conjugats de les coordenades de v. Aplicant aquest fet al nostre exemple, obtenim que el vector (1; i
p 2 ; 0) ´es vector propi de valor propi 1 i
p 2 i, per tant, forma base de E 1 ip 2.
Q ´es semidefinida negativa si Qx(⃗ ) 0 per a totx⃗ i existeix algunx ⃗ 0 ̸= ⃗0 tal que Qx( ⃗ 0 ) = 0,
Q ´es indefinida si existeixenx;⃗⃗x ′^ tals que Qx(⃗ ) > 0 i Qx(⃗ ′) < 0.
Per a determinar si una forma quadratica ´es definida o semidefinida, podem usar el seg¨uent criteri. Criteri de Sylvester. Donada una forma quadratica Q en n variables, amb matriu associada A, diem menor principal mi de A el determinant de la matriu formada per les i primeres files i les i primeres columnes de A. Es compleix
Q ´es definida positiva , mi > 0, per a tot i = 1; : : : ; n,
Q ´es definida negativa , ( 1)imi > 0, per a tot i = 1; : : : ; n,
Q ´es semidefinida positiva si mi > 0, per a tot i = 1; : : : ; n 1 i mn = 0,
Q ´es semidefinida negativa si ( 1)imi > 0, per a tot i = 1; : : : ; n 1 i mn = 0.
Q ´es indefinida si mn ̸= 0 i no es compleixen les condicions ni del cas 1) ni del cas 2).
Exemples 19. 1) Considerem la forma quadr`atica amb matriu associada
D =
A :
Els menors prinicipals s´on m 1 = 8; m 2 = 4; m 3 = det D = 3, per tant la forma quadr`atica ´es definida positiva.
- Considerem la forma quadr`atica amb matriu associada
E =
A :
Els menors principals s´on m 1 = 1; m 2 = 1 ; m 3 = det E = 9 ̸= 0, per tant la forma quadr`atica ´es indefinida.
- Considerem la forma quadr`atica amb matriu associada
F =
A :
Els menors principals s´on m 1 = 1; m 2 = 1 ; m 3 = 0, per tant el criteri de Sylvester no permet decidir.
Veiem ara un altre criteri. Abans d’enunciar-lo, notem que una matriu sim´etrica sempre diagonalitza. En particular, una matriu quadrada d’ordre n sim`etrica t´e n valors propis reals comptats amb multiplicitat.
Criteri dels valors propis. Donada una forma quadr`atica Q en n variables, amb matriu associada A, considerem els valors propis 1 ; : : : ; n de A. Es compleix
Q ´es definida positiva , i > 0, per a tot i = 1; : : : ; n,
Q ´es definida negativa , i < 0, per a tot i = 1; : : : ; n,
Q ´es semidefinida positiva , i 0, per a tot i = 1; : : : ; n i al menys un i ´es igual a 0,
Q ´es semidefinida negativa , i 0, per a tot i = 1; : : : ; n i al menys un i ´es igual a 0,
Q ´es indefinida , existeixen i; j tals que i > 0 i j < 0.
Si A t´e s 1 valors propis estr´ıctament positius i s 2 valors propis estr´ıctament negatius, diem que Q t´e signatura (s 1 ; s 2 ). Si 0 ´es valor propi de A, diem que Q ´es degenerada. Tenim Q degenerada , det A = 0.
Exemple 20. Considerem de nou la forma quadr`atica amb matriu associada
F =
A
per la qual el criteri de Sylvester no permitia decidir. Calculem el polinomi caracter´ıstic de F.
PF (X) =
1 X 2 1
2 3 X 2
1 2 1 X
= X^3 + 5X^2 + 2X = X(X^2 5 X 2):
Les arrels de X^2 5 X 2 s´on X = 5
p 33 2 i tenim^
5+p 33 2 >^0 ;^
5 p 33 2 <^ 0. Per tant^ A^ t´e un valor propi estr´ıctament positiu i un estr´ıctament negatiu. La forma quadr`atica Q ´es doncs indefinida amb signatura (1; 1).
Veiem ara que per aplicar el criteri dels valors propis no necessitem determinar-los expl´ıcitament ja que el criteri seg¨uent ens d´ona el nombre d’arrels estr´ıctament positives d’un polinomi amb coeficients reals.
Criteri de Descartes. Donat un polinomi amb coeficients reals de grau n
P (X) = anXn^ + an 1 Xn ^1 + an 2 Xn ^2 + + a 1 X + a 0 que t´e n arrels reals comptades amb multiplicitat, el nombre d’arrels estr´ıctament po- sitives de P (X), comptades amb multiplicitat, ´es igual al nombre de canvis de signe en la successi´o ordenada dels coeficients de P (X),
