¡Descarga TEMA 2. Valoració financera y más Apuntes en PDF de Matemática Financiera solo en Docsity!
TEMA 2. Valoració financera
Definició i classificació
Una renda financera és un conjunt de capitals financers que presenten periodicitat en els diferiments i es representa per:
amb
on:
- és el terme r-èsim de la renda.
- és el diferiment, expressat en anys, associat al terme r-èsim de la renda.
- P és el període de la renda i, igual que el diferiment, està expressat en anys. La condició perquè un conjunt de capitals constitueixi una renda financera és que la diferència entre dos diferiments consecutius sigui sempre el mateix:
El diferiment es pot expressar com:
de manera que l'esquema temporal d'una renda financera, sent 0 l'origen de l'operació financera, o la data d'anàlisi, és:
Les rendes financeres poden classificar-se en funció de diferents criteris:
a. Segons la periodicitat
En funció del període, P, una renda pot ser:
b. Segons la localització del terme dintre del període
Si s'assumeix que cada terme està associat a un període, segons la localització del terme dintre del període, la renda pot ser:
b.1.Vençuda o postpagable si el terme es fa efectiu al final de cada període.
b.2. Anticipada o prepagable si el terme es fa efectiu a l'inici de cada període.
c. Segons l'origen de la renda pel que fa a l'origen de l'operació
L'origen de la renda pot coincidir o no amb l'origen de l'operació, de manera que la renda pot ser:
c.1. Immediata si l'origen de la renda i el de l'operació coincideixen.
- L'esquema temporal d'una renda immediata i vençuda , tenint en compte que,
en aquest cas , és:
- Si la renda és immediata i anticipada es compleix que i l'esquema temporal és:
c.2. Diferida si l'origen de la renda és posterior al de l'operació. La diferència entre els dos orígens es denomina diferiment i se simbolitza per d. El diferiment s'expressarà en períodes de la renda.
- Si la renda és diferida i vençuda es compleix que i l'esquema temporal és:
- Si la renda és diferida i anticipada es compleix que i l'esquema temporal és:
Valoració d’una renda: valor actual i valor final
Valorar una renda en el diferiment T consisteix a trobar la suma del valor financer, en aquest diferiment, de cadascun dels capitals que componen la renda. Si es valora la renda en l'origen del'operació, aquest valor rep el nom de valor actual i se
simbolitza per ; mentre que, si la valoració es realitza al final de l'operació,
aleshores es denomina valor final i se simbolitza per.
Tenint en compte que hi ha diversos tipus de rendes que sorgeixen de la combinació dels diferents criteris de classificació detallats en l'apartat anterior, per sistematitzar la valoració de les rendes es prendrà com a referència una renda vençuda, immediata i temporal, i se n'obtindrà el valor actual i final. Els resultats obtinguts s'aplicaran en la valoració de qualsevol altre tipus de renda, i s'hi aplicaran les correccions corresponents.
En principi es considera que la renda presa com a model té periodicitat P, és a dir,
amb freqüència , i que els seus termes poden ser constants o variables. En posteriors apartats s'obtindran expressions particulars per als casos que els termes siguin constants, de variació lineal o de variació geomètrica.
La valoració es farà en règim financer d'interès compost a tant constant, i té com a expressió característica:
utilitzant un tipus d'interès , amb una freqüència igual que la de la renda, és a
dir,.
Valor actual
Trobar el valor actual consisteix a sumar en l'origen de l'operació, T=0, el valor financer de tots els capitals que constitueixen la renda.
El valor actual de la renda és la quantia del capital financer situat en l'origen de l'operació, T = 0, que és equivalent al conjunt de capitals financers que constitueixen la renda. Simbòlicament aquesta equivalència s'expressa com:
Renda vençuda, immediata i temporal
Gràficament el valor actual d'una renda vençuda, immediata i temporal es correspon amb l'esquema temporal següent:
Per trobar el valor actual, s'ha de tenir en compte que l'actualització, en règim financer d'interès compost, de cadascun dels capitals que constitueix la renda resulta de:
on és el valor financer en 0 de la quantia.
Per tant, el valor actual de la renda, , s'obté de:
S'ha de destacar que en fer el sumatori s'obté el valor de la renda un període abans d'on està situada la primera de les quanties, i que en el cas que la renda sigui vençuda i immediata aquest període coincideix amb l'origen de l'operació.
Renda anticipada, immediata i temporal
Per trobar el valor en l'origen de l'operació d'una renda anticipada, immediata i temporal s'ha de tenir en compte l'esquema següent:
Si s'aplica el sumatori en la valoració d'aquesta renda el valor s'obté un període abans d'on és la primera quantia de la renda, és a dir, a dP. Per obtenir el valor en l'origen de l'operació, V 0 , s'ha d'actualitzar el valor a dP, V (^) d (quantia d'un capital situat a dP) fins a T=0, la qual cosa implica actualitzar aquesta quantia d períodes de la renda.
Renda anticipada, diferida i temporal
En aquest cas, l'esquema de l'operació és:
Si s'aplica el sumatori en la valoració d'aquesta renda, el valor s'obté un període abans d'on es troba la primera quantia de la renda, és a dir, a
. Per obtenir el valor en l'origen de l'operació, V 0 , s'ha d'actualitzar el
valor a , V (^) d-1 (quantia d'un capital situat a ) fins a T=0. És a dir, s'ha d'actualitzar aquesta quantia d–1 períodes de la renda:
Renda vençuda, immediata i perpètua
Si la renda és perpètua, vençuda i temporal, el seu valor actual, , s'obté
calculant el límit quan del valor actual de la renda vençuda, immediata i temporal:
En el cas que la renda perpètua tingui unes altres característiques s'aplicaran les mateixes correccions que per a les rendes temporals.
Valor final d'una renda vençuda, immediata i temporal
El valor final d'una renda vençuda, immediata i temporal és la suma del valor
financer de tots els capitals de la renda en.
El valor final, , és la quantia del capital financer situat en , equivalent al conjunt de capitals financers que constitueix la renda:
Gràficament el valor final d'aquesta renda es correspon amb l'esquema següent:
Aplicant un règim financer d'interès compost, el valor final de la renda, V (^) f es determina de la manera següent:
El sumatori
és la suma dels n termes d'una progressió geomètrica de raó i s'obté de la manera següent:
on:
- és el primer terme de la progressió geomètrica
- és l'últim terme de la progressió
- és la raó de la progressió
de manera que
Tenint en compte l'última expressió, el valor actual d'una renda constant, vençuda, immediata i temporal és:
sent el valor actual d'una renda unitària (C=1 u. m.),
vençuda, immediata i temporal, valorada al tant.
Si la renda és constant, vençuda, immediata i perpètua , el valor actual de la renda és:
sent el valor actual d'una renda unitària, vençuda, immediata i
perpètua, valorada al tant.
El valor final de la renda constant, vençuda, immediata i temporal s'obté a
partir de substituint per l'expressió particular de la renda constant:
sent el valor final d'una renda unitària, vençuda,
immediata i temporal, valorada al tant.
Exemple:
Sigui una renda de 60 termes mensuals de 600 € cadascun. Si el règim financer aplicat és el d'interès compost i el tipus d'interès un 5,7% anual capitalitzable mensualment, trobeu el valor actual de la renda si aquesta és:
a. Vençuda i immediata
L'esquema associat a aquesta renda és:
En aquest cas, el resultat d'aplicar la fórmula de la renda constant, proporciona la quantia d'un capital situat un període abans d'on es troba localitzat
el primer terme de la renda, és a dir, en :
Per tant, per obtenir el valor en s’ha de capitalitzar el resultat anterior un període de la renda, un mes:
Renda de variació geomètrica
Aquesta renda es caracteritza perquè el quocient entre dos termes consecutius és sempre el mateix:
En ser un quocient de quanties i aquestes ser sempre estrictament positives, q ha
de ser sempre un nombre real positiu, :
- Si els termes de la renda són creixents, aleshores i en
aquest cas.
- Si els termes de la renda són decreixents, aleshores i en
aquest cas.
Els termes d'una renda de variació geomètrica s'ajusten a la variació següent:
Per obtenir el valor actual d'una renda de variació geomètrica que a més és vençuda, immediata i temporal n'hi ha prou de substituir
en l'expressió general del valor actual de la renda model:
Per deduir l'expressió que permet obtenir directament el valor actual de la renda de variació geomètrica, vençuda, immediata i temporal, és necessari distingir dos casos:
a.
és la suma de n termes d'una progressió geomètrica de raó
, això és,
d'on
Per trobar el valor d'aquesta renda en s'aplica la fórmula del valor actual de la renda model de variació geomètrica afegint la correcció necessària per tenir en compte l'existència del diferiment. Les dades de la renda són les següents:
Quan s’aplica la fórmula s'obté el valor de la renda un trimestre abans del moment que es localitza el primer terme, és a dir, s'obté en
. Per tant, s’ha d’actualitzar el resultat obtingut, , 3 trimestres per poder obtenir el valor en l'origen de l'operació:
b. Anticipada i diferida 3 trimestres
L'esquema temporal d'aquesta renda és:
En aquest cas, quan s’aplica la fórmula del valor actual de la renda model de variació geomètrica s'obté el valor de la renda un trimestre abansdel moment que
es localitza el primer terme de la renda, es a dir, en. Per tant, per
trobar el valor en l'origen de l'operació, , s’ha d’actualitzar el resultat obtingut,
, 2 trimestres:
Renda de variació lineal
Aquesta renda es caracteritza perquè la diferència entre dos termes consecutius és sempre la mateixa:
- Si els termes de la renda són creixents, llavors i en aquest
cas.
- Si els termes de la renda són decreixents, llavors i en
aquest cas.
Els termes d'una renda de variació lineal s'ajusten a la llei:
Per obtenir el valor actual d'una renda de variació lineal vençuda, immediata i temporal es pren com a punt de partida la definició general del valor actual per a la renda model:
D'aquesta última expressió s'obté:
En el cas que la renda lineal sigui vençuda, immediata i perpètua , el valor actual és:
Si se substitueix per l'expressió assenyalada amb (*) en la demostració anterior, s'obté:
ja que es compleix que
En definitiva, s'obté que
Per obtenir el valor final de la renda lineal, vençuda, immediata i temporal s'aplica l'expressió general deduïda en l'apartat Valoració d'una renda: valor actual i valor final.
Exemple:
Sigui una renda de 72 termes mensuals i creixents en 20 € cada mes. Si el primer terme és de 150 € i la valoració s'efectua en règim financer d'interès compost a un tipus d'interès del 0,4% mensual, trobeu el valor final de la renda si es considera vençuda i immediata.
L'esquema associat a aquesta renda és:
Per trobar el valor final d'aquesta renda s’han de tenir en compte les dades següents:
De l'aplicació immediata de la fórmula del valor actual de la renda lineal, vençuda, immediata i temporal
s'obté el valor de la renda en l'origen de l'operació, és a dir, en T=0. Per tant, per obtenir el valor al final de l'operació n’hi ha prou de capitalitzar el resultat obtingut 72 mesos:
