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TEMA 3
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
BIDIMENSIONAL
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PROGRAMA DE LA ASIGNATURA
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Tema 1: Análisis estadístico aplicado a la Economía Tema 2: Análisis estadístico unidimensional Tema 3: Análisis estadístico bidimensional Tema 4: Números índices
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Tema 5: Teoría de la probabilidad. Aspectos generales Tema 6: Variables aleatorias unidimensionales Tema 7: Características de las distribuciones de probabilidad Tema 8: Distribuciones de probabilidad discretas y continuas Tema 9: Convergencia
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OTROS EJEMPLOS
- Estudio de dos características de un mismo elemento de la población.
- Tabulación de variables estadísticas bidimensionales.
- Cálculo de medidas que sintetizan esta información.
PRINCIPALES OBJETIVOS DEL TEMA
OTROS EJEMPLOS
- Tabla de correlación.
- Frecuencias: conjunta, marginales y condicionadas.
- Principales medidas de posición, dispersión y forma.
- Independencia estadística y funcional.
- Covarianza.
- Correlación.
- Regresión.
PRINCIPALES CONCEPTOS DEL TEMA
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OTROS EJEMPLOS
- Introducción.
- Tipos de frecuencias.
- Medidas de posición y dispersión.
- Momentos bidimensionales.
- Independencia.
- Correlación.
- Rregresión.
ESTRUCTURA DEL TEMA
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El estudio de una variable bidimensional es útil para:
- Conocer el comportamiento de cada componente, ignorando el resto de variables, es decir, conocer lo que se denomina distribuciones marginales.
- Conocer la distribución de una variable cuando el resto toma unos valores dados, se originan así las distribuciones condicionadas.
- Conocer la posible interrelación entre los valores de la variables, lo cual nos lleva al tema de correlación (intensidad de la relación) y regresión (estructura).
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Tabla de correlación o tabla de doble entrada
xn nn1 nn2 ..... nnm
...... .. .. ...... .....
x 2 n 21 n 22 ..... n2m
x 1 n 11 n 12 ..... n1m
X \ Y y 1 y 2 ..... ym
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FRECUENCIAS
Marginales
Absolutas (ni) (nj) Relativas (fi ) (fj)
Conjuntas
Absolutas (nij) Relativas (fij)
Marginales Acumuladas
Absolutas (Ni) (Nj) Relativas (Fi ) (Fj)
Condicionadas
2. TIPOS DE FRECUENCIAS
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Frecuencia absoluta conjunta del par (xi , yj) es el número de veces que conjuntamente se presentan dichos valores
nij
Frecuencia relativa conjunta del par (xi , yj) viene dada por el cociente entre la correspondiente frecuencia conjunta absoluta y el nº total de observaciones.
fij = nij / N
∑∑ = =
=
k
i
h
j
nij N 1 1
∑∑ = =
=
k
i
h
j
fij 1 1
1
1) FRECUENCIAS CONJUNTAS
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3) FRECUENCIAS MARGINALES ACUMULADAS
Frecuencia absoluta marginal acumulada de xi es:
N n i k
r i
i. =^ ∑ r ∀ =^1 ,...,
≤
Análogamente, la frecuencia absoluta marginal acumulada de yj :
N n j h
r j
. j =^ ∑ r ∀ =^1 ,...,
≤
Frecuencia relativa marginal acumulada de xi es:
i k
N
N
F i. = i • ∀ = 1 ,...,
Frecuencia relativa marginal acumulada de yj es:
j h
N
N
F . j = • j ∀ = 1 ,...,
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Tabla de correlación
xn nn1 nn2 ..... nnm
...... .. .. ...... .....
x 2 n 21 n 22 ..... n2m
x 1 n 11 n 12 ..... n1m
X \ Y y 1 y 2 ..... ym
nn.
..
n2.
n1.
ni.
n.j n.1 n.2 ..... n.m N
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Ejemplo: Dada la siguiente distribución bidimensional sobre los ingresos mensuales de 100 familias (X en unidades monetarias) y el número de miembros integrantes de cada familia (Y), complete la tabla de correlación con las frecuencias marginales absolutas, relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas.
F.j 0,36 0,76 1
N.j 36 76 100
f.j 0,36 0,4 0,24 1
n.j 36 40 24 100 1
300 10 5 19 34 0,34 100 1
200 5 15 5 25 0,25 66 0,
100 21 20 0 41 0,41 41 0,
X\Y 2 3 4 ni. fi. Ni. Fi.
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xn nnj
n.j
..
n2j
n1j
nij
......
x 2
x 1
X/yj
ym nim ni.
..
y 2
y 1
Y/xi
..
ni
ni
nij
Distribuciones Condicionadas:
4) FRECUENCIAS CONDICIONADAS
Distribución de X condicionada por yj
Observaciones:
Frecuencia absoluta de xi condicionada a yj (^) ni/j
Frecuencia relativa de xi condicionada a yj fi/j = ni/j / n.j
1
∑ /^ =
n
i
fi j
X/ yj
n nj N
n
i
∑ i^ j = ≠
. 1
/
19
2
2 2
y
S
CV
S
y
N
yn
S
N
yn
y
y y
y
j j y
j j
2
2 2
∑
∑
x
S
V
S
x
N
x n
S
N
xn
x
x x
x
i i x
i i
100 19300 24 447 ·10^4
300 34 10200 9·10^4 306 ·10^4
200 25 5000 4·10^4 100 ·10^4
100 41 4100 104 41·10^4
x ni. xi ni. xi^2 ni xi^2
y n.j yi n.j yj^2 nj yj^2
Y es más homogénea
Ejemplo: Con los datos del ejercicio anterior estudie cuál de las dos distribuciones es más homogénea.
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2. DISTRIBUCIONES CONDICONADAS:
=
=
∑
∑
i
h
j
j ij
i
j
k
i
i ij j
n
yn
y x
n
xn
X y
1
1
2 /
1
2
1
2
2
2 / 1
2 1
2 2 /
i
j j
x i
h
j
j ij
i
h
j
j ij
y
y j
k
i
i ij
j
k
i
i ij xy
y
n
y n
n
y y n
S
X
n
x n
n
x X n
S
=
=
=
=
∑ ∑
∑ ∑
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∑
N
yjn j
y x
Y/x<250 n1j +n2j xi ni
∑
∑
ni
xini
x y
X/y=4 ni4 xi ni
Ejemplo: Con los datos del ejercicio anterior obtenga:
a) El ingreso mensual medio de las familias integradas por cuatro miembros.
b) El número medio de miembros correspondiente a las familias con ingresos mensuales inferiores a 250 u.m.
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Momento de órdenes (r,s) respecto a un origen O:
ij
k
i
h
j
s j
r r s xi O y O n N
M (^) ∑∑ = =
= − − 1 1
, ( ) ( )
1
*momentos respecto al origen: (^) ij
k
i
h
j
s j
r r s xi y n N
a (^) ∑ ∑ = =
= 1 1
1
4. MOMENTOS BIDIMENSIONALES
y n y
N
y n
N
a
x n x
N
x n
N
a
x y n
N
a
h
j
i j
k
i
h
j
i ij
k
i
i i
k
i
h
j
i ij
i j ij
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑
=
= =
=
= =
1 1 1
1 0 , 1
1 1 1
1 1 , 0
0 0 0 , 0
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COVARIANZA
- Es una medida de variabilidad conjunta entre dos variables, que recoge la variación de ambas variables respecto a sus medias respectivas.
- Es la media aritmética del producto de las variaciones respecto a la media. Interpretación de la Covarianza: Sxy >0 La asociación entre X e Y es directamente proporcional, es decir que cuando X aumenta Y también aumenta; y viceversa. Sxy <0 La asociación entre X e Y es inversamente proporcional, es decir que cuando X aumenta Y disminuye; y viceversa. Sxy =0 No existe asociación lineal entre X e Y, están incorreladas linealmente.
11 10 01 1 1
1 1
1 , 1
x y n xy a a a
N
x x y y n
N
S m
ij
k
i
h
j
i j
ij
k
i
h
j
xy i j
∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
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Ejemplo: En una empresa la retribución semanal (X, en euros) de
cada obrero y la antigüedad (Y, en años) en la empresa, son los
siguientes:
130 130 780 1950 910
110 220 990 2200 3850
90 90 540 450 630
70 210 420 0 0
PRODUCTOS 1 3 5 7
1 1
= =
x y n x y
N
S ij
n
i
m
j
xy i j
y
x
130 1 2 3 1 7 n.j 7 9 8 6
13
5
5
ni.
110 2 3 4 4
90 1 2 1 1
70 3 2 0 0
X\ Y 1 3 5 7
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PROPIEDADES:
- Cambio de escala y origen. No le afectan los cambios de origen pero sí de escala del siguiente modo:
- Inconveniente: no da, a priori, una medida de la importancia relativa de la correlación (depende de la escala utilizada).
- Desigualdad de Cauchy-Schwarz vinculada a la covarianza se traduciría:
S ' (^) xy = a 1 a 2 S xy
x y xy x y
xy x y
N
i
i
N
i
i
N
i
i i
SS S S S
S S S
x x y y x x y y
∑ −^ − ∑ ∑ = = = 2 2 2
1 1
2
1
Dividiendo entre N:
Campo de variación:
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Si hay algún tipo de relación entre las variables se dice que son dependientes y en caso contrario se habla de independencia. La dependencia o independencia puede ser estadística o funcional.
5. INDEPENDENCIA
si no existe relación entre las variables
independientes funcionalmente dependientes
estadísticamente dependientes
si existe una función que relacione las dos variables
término medio
sueldos por categorías: mecánicos=x, vendedores=1’3x, y directivos=2x
salario y sexo
altura-peso edad altura ...
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Propiedades de la Independencia Estadística:
- X es independiente de Y si y solo si las distribuciones relativas de X|y = yj coinciden con la distribución relativa de X.
- X es independiente de Y si y solo si las columnas de la tabla de frecuencias absolutas conjunta son proporcionales entre si, incluida la columna de la marginal de X.
- X es independiente de Y si y solo si Y es independiente de X. La Independencia es recíproca.
- Si X e Y son estadísticamente independientes, su covarianza es nula.
- Si Sxy ≠ 0 entonces X e Y NO son independientes
- Si Sxy = 0 no implica que las variables sean independientes, sólo podemos decir que no hay relación lineal (pero puede haberla de otro tipo).
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X \ Y 2 3 4 SUMA
193 · 2 , 88 24 , 16 100
58500
1 1
1 − = − = = =
= (^) ∑∑ nij xy
n
i
m
j
Sxy N xiyj
Ni independientes ni incorreladas
Ejemplo: Con los datos del primer ejercicio estudie la independencia funcional y estadística, así como la relación lineal existente entre las variables.
i j
N
n n
n
i j
ij ; ,
..
14 , 76 Nosonindependie ntes
11 =^21 ≠^1..^1 = = ⇒
N
n n
n
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Análisis de la relación o dependencia estadística entre variables
Intensidad
Estructura o forma
Teoría de la Correlación
Teoría de la Regresión
6. CORRELACIÓN
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Estudio de la existencia o no de relación entre una variable y la otra:
REGRESIÓN CORRELACIÓN
estructura intensidad
recta parábola hipérbole logarítmica exponencial...
fuerte débil
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Coeficiente de correlación lineal simple de Pearson: cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones típicas de las dos variables.
= ; − 1 ≤ rxy ≤ 1
SxSy
Sxy
rxy
Interpretación del coeficiente de correlación lineal: rxy =1: Relación lineal perfecta y directa entre X e Y rxy =-1: Relación lineal perfecta e indirecta entre X e Y rxy =0 ; Incorrelación lineal entre X e Y rxy →1 ; Fuerte relación lineal directa entre X e Y rxy → -1 ; Fuerte relación lineal indirecta entre X e Y rxy → 0 ; Poca relación lineal entre X e Y
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Propiedades del coeficiente de correlación lineal:
- Su campo de variación es el intervalo [-1, 1].
- Mantiene el signo de la covarianza.
- Si no hay relación lineal la covarianza es nula y el coeficiente de correlación lineal es, por tanto, igual a 0.
Independencia Estadística Cov=0^ Incorrelación lineal
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- No se ve afectado por cambios de origen en las variables.
- No se ve afectado, en magnitud, por cambios de escala, aunque sí puede cambiar de signo.
− rxy
si c y d tienen el mismo signo.
si c y d tienen signos opuestos.
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x y
xy xy
SS
S
r
Relación directa de intensidad media
Ejemplo: Con los datos del primer ejercicio estudie la intensidad de la relación lineal existente entre las variables.
