¡Descarga Análisis de datos bidimensionales: Tablas, distribuciones y correlación. y más Apuntes en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity!
19/11/2009 TC I - Benito Vinuesa 1
6.1 Representaciones numéricas en dos columnas y en tablas de contingencia
6.2 Distribuciones marginales y condicionadas
6.3 Coeficiente de correlación lineal
6.4 Nube de puntos. Recta de regresión: Mínimos cuadrados
6. Variables estadísticas bidimensionales
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6.1 Representaciones numéricas en dos columnas y
en tablas de contingencia
Distribuciones bidimensionales: dos caracteres por individuo.
- Se notan las variables X e Y.
- Se pueden estudiar separadamente.
- El estudio conjunto permite conocer relación entre ellas. Representación en dos columnas: los pares de valores de cada individuo se colocan juntos y con el mismo subíndice.
- El último subíndice es el número total de datos. Tabla de contingencia: tabla de doble entrada.
- Primera columna X.
- Primera fila Y.
- Dentro de la tabla frecuencias de cada par.
- Última fila sumas → distribución marginal de Y.
- Última columna sumas → distribución marginal de X.
- Esquina inferior derecha número total de datos.
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6.1 Representaciones numéricas en dos columnas y
en tablas de contingencia
X Y
x 1 y 1
x 2 y 2
xi yi
xn yn
y 1 ... yj ... yp ni*
x 1 n 11 ... n 1j ... n 1p n1*
xi ni1 ... n ij ... n ip ni*
xk nk1 ... n kj ... n kp nk*
nj n1 ... n *j ... n *p n
Y X
1
n * n i fijo
p
j
i ∑ ij
=
1
n * n j fijo
k i
j ∑ ij
=
= = = =
= = =
p j
j
k i
i
k i
p j
N nij n n 1
1
1 1
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6.1 Representaciones numéricas en dos columnas y
en tablas de contingencia
Ejemplo 17: Represente en dos columnas y en tabla de contingencia la superficie en hectáreas (X), y la producción en toneladas (Y), de cinco fincas: (10; 100), (5; 75), (10; 50), (15;75) y (5;75).
Finca X Y
50 75 100 ni*
n*j 1 3 1 5
Y X
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6.2 Distribuciones marginales y condicionadas
Ejemplo 18: Comprobar que hay independencia estadística sobre los datos de la siguiente tabla, donde X es el salario/hora en € e Y representa el sexo del trabajador.
Hombre Mujer
Y X Hombre Mujer ni*
n *j 35 N=
Y X
i j N
n n n (^) ij = i *^ * j ∀, 49
: 10 2 * *^11435
21
x N
ejemplo n = = n n =
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6.3 Coeficiente de correlación lineal
Covarianza: es una medida de la variabilidad conjunta o relación entre dos variables X e Y.
- Si es positiva las dos varian en general en el mismo sentido.
- Si es negativa, ambas varían en general en sentido opuesto.
- Si hay independencia estadística, S (^) XY = 0 (no reciproca).
Coeficiente de correlación lineal: es una medida objetiva de la variabilidad conjunta de dos variables X e Y.
- Está acotado; (-1 ≤ r ≤ 1).
k i
p j i i ij
k i ij
p XY (^) j i j
xyn xy
N
x x y y n
N
m S
(^111 11 )
X Y
XY
S S
S
m m
m
r = =
20 02
11
m (^) 11 = a 11 − a 10 a 01
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6.3 Coeficiente de correlación lineal
Ejemplo 19: Calcular el coeficiente de correlación lineal en la siguiente distribución bidimensional. Xi Yi 2 2 3 4 4 3
X^2 Y^2 XY
(^10 )
=
n i
a x N xi 5 2 ,^4
(^01 )
=
n i
a y N xi
1
2 20 =^ ∑= = =
n i
a (^) N xi 5 6 ,^8
1
2 02 =^ ∑= = =
n i
a N yi
S (^) XY = m 11 = a 11 − a 10 a 01 =− 0 , 8
= = −^0 ,^8 =−
X Y
XY S S
S
r
(^11 )
=
n i
a N xi yi
S^2 X^ = m 20 = a 20 − a^210 = 2
S^2 Y^ = m 02 = a 02 − a^201 = 1 , 04
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6.4 Nube de puntos. Recta de regresión: Mínimos cuadrados Nube de puntos: o diagrama de dispersión es la representación gráfica más usada para distribuciones bidimensionales.
- En eje de abscisas valores de la variable X o intervalos de clase.
- En eje de ordenadas valores de la variable Y.
- Un punto por cada observación.
- Junto al punto el valor de la frecuencia o círculo proporcional.
Ejemplo 20: Represente gráficamente la siguiente distribución bidimensional. X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Y 4 3 5 4 6 5 7 6 8 4 X 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Y 9 7 8 12 10 8 14 13 15 16
Nube de puntos
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 5 10 15 20
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6.4 Nube de puntos. Recta de regresión: Mínimos cuadrados Recta de Regresión Y/X
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 5 10 15 20 25
Recta de regresión X/Y
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 5 10 15 20 25 y ˆ (^) i = a + bx i x ˆ (^) i = a ˆ+ b ˆ yi
ˆ ( ) 2 ( x x )
S
S
x x
S
S
y y r
X X
− = Y^ − = XY^ − ˆ ( ) ( )
S^2 y y
S
y y
S
x x rS
Y Y
− = X^ − = XY^ −
S^2 X
S
b = XY ˆ 2
S Y
S
a = y − bx b = XY a ˆ = x − b ˆ y
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6.4 Nube de puntos. Recta de regresión: Mínimos cuadrados Posición relativa de las rectas de regresión: ambas rectas se cortan en el c.d.g. de la distribución. El punto
- Ambas pendientes tienen el mismo signo que la covarianza.
- Si r 2 = 1 ambas rectas coinciden.
- Si r 2 = 0 las rectas son paralelas a los ejes coincidiendo con las medias aritméticas respectivas.
bb ˆ^ = r^2
( x , y )
X/Y
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 5 10 15 20 25 30
Y/X
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6.4 Nube de puntos. Recta de regresión: Mínimos cuadrados Ejemplo 21: Calcular y representar las dos rectas de regresión para la distribución del ejemplo 20. ¿Cuál es el valor esperado de Y para x = 25? ¿Cuál es el valor esperado de X para y = 18? X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 9 7 8 12 10
16 17 8 14
18 19 20 Y 4 3 5 4 6 5 7 6 8 13 15 16
10 , 5 20
1 210 = (^) ∑= 1 = =
n x (^) Ni xi 8 , 2 20
1 164 = (^) ∑= 1 = =
n y Ni yi
S X = 5 , 766281 SY =^3 ,^841875
=^2120 − =
SXY
( 10 , 5 ) 5 , 7663
Y / X : y ˆ− 8 , 2 = 0 , 89833 ,^8419 x −
Y / X : y ˆ= 1 , 915789 + 0 , 598496 x
X Y
XY
S S
S
r
( 8 , 2 ) 3 , 8419
X / Y : x ˆ− 10 , 5 = 0 , 89835 ,^7663 y −
X / Y : x ˆ= − 0 , 5 + 1 , 348238 y
y ˆ^ ( 25 )= 16 , 878195 x ˆ ( 18 )= 23 , 712728
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6.4 Nube de puntos. Recta de regresión: Mínimos cuadrados Ejemplo 22: Calcular las rectas de regresión para la siguiente distribución bidimensional: 5 10 5 15
Y (^) X n (^) i* n (^) i* x (^) i n (^) i* x (^) i 2 3 75 4 60 900 15(35+110)= 7 975
n (^) ij x (^) i yj 15 5(15+210)=
n (^) *j 4 3 75 500 n (^) *j yj 30 n (^) *j y (^) i^2300
100 400 7 10 ,^7143
x =^75 =^7 ,^1428 7
y =^50 =
S^2 = 975 − x^2 = X (^) 7 6 ,^122 S^2 = 400 − y^2 = Y 7 5 ,^10 S = 500 − xy =− XY
( 10 , 714 ) 24 , 49 Y / X : y ˆ− 7 , 1428 =−^5 ,^10 x −
Y / X : y ˆ= 9 , 3788 − 0 , 2082 x
( 7 , 1428 ) 6 , 122 X / Y : x ˆ− 10 , 7143 =−^5 ,^10 y −
X / Y : x ˆ 16 , 6 0 , 83 y
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6.4 Nube de puntos. Recta de regresión: Mínimos cuadrados Solución ejemplo 24: 49 , 8 ; 10
1 498 1
= (^) ∑ = =
n i i
x N
x
137 , 8 10
1 1378 = (^) ∑= 1 = = n y Ni yi
S^2 X^ = 10 , 95262 = 119 , 96 SY^2 = 14 , 28152 = 203 , 96 SXY =^7000610 − 49 , 8 * 137 , 8 = 138 , 16
0 , 8834 10 , 95 * 14 , 28 = =^138 ,^16 = X Y
XY S S r S
( 49 , 8 ) 297505 , 5984
Y / X : y ˆ− 137 , 8 =^138 ,^16 x −
Y / X : y ˆ= 80 , 4445 + 1 , 15172 x
(^100) 2030
4050
6070
8090
100110
120130
140150
160170
0 10 20 30 40 50 60 70 80
y ˆ(^51 )= 80 , 4445 + 1 , 15172 * 51 = 139 , 2
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6.4 Nube de puntos. Recta de regresión: Mínimos cuadrados Ejemplo 25: Dos variables tienen las siguientes rectas de regresión: 8 X + 2 Y = 1; 16 X + 9 Y = 1. a) Obtener las rectas de regresión de Y/X y de X/Y. b) Obtener el coeficiente de correlación lineal. c) Obtener las medias marginales. Solución:
X Y
Y X
Y X
X Y
1 , 5 1 Imposible 16
9
2
ˆ 8 r = bb = = > ⇒
0 , 6 correcto 8
2
9
ˆ 16 = = =− ⇒
) r b b
solución sistema : x = 0 , 175 ; y =− 0 , 2
