¡Descarga Tema 3 y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
TEMA III
PROLONGABILITAT. UNICITAT
- Prolongabilitat
DeÖnition 1.1. Siguen D R Rm, f : D! Rm^ i ' : I! Rm^ una soluciÛ de líEDO
(1) x^0 = f (t; x)
en D. Direm que ' Ès una soluciÛ prolongable si existeix un interval J % I i existeix una soluciÛ en D de (1) : J! Rm^ tal que
(t) = '(t); 8 t 2 I :
Es diu que Ès prolongable per la dreta (o per líesquerra) si hi ha excÈs de J respecte de I, per aquest costat.
Remark 1.1. Díara en abans suposarem que r i s sÛn els extrems de líinterval I i que r < s. I el que anem a fer en primer lloc Ès estudiar diferents criteris de prolongaciÛ de la soluciÛ '; segons els casos en els que es troben els extrems anteriors r i s.
Lemma 1.1. Si s = 2 I i Ès Önit (o r = 2 I i Ès Önit), i g : I! R Ès una funciÛ deriv- able tal que existeixen i sÛn Önits els lÌmits lim t!s (o r+)
g(t) = c i lim t!s (o r+)
g^0 (t) = d,
aleshores la funciÛ (extensiÛ) ~g : I [ fsg! R (o g~ : I [ frg! R) deÖnida de la forma
g ~(t) =
g(t); si t 2 I c; si t = s (o t = r) Ès derivable en s (o en r) i ~g^0 (s) = d (o ~g^0 (r) = d).
Proof. Suposem que s = 2 I, i que g : I! R Ès una funciÛ derivable tal que existeixen i sÛn Önits els lÌmits lim t!s g(t) = c i lim t!s g^0 (t) = d, aleshores considerem la funciÛ
extensiÛ g~ : I [ fsg! R deÖnida de la forma
~g(t) =
g(t); si t 2 I c; si t = s
Vegem que Ès derivable en s i que ~g^0 (s) = d, o el que Ès equivalent que si h > 0
existeix el lim h! 0
~g(s h) ~g(s) h =^ d^. Donat un > 0 , com lim t!s g^0 (t) = d, llavors existeix un = () > 0 tal que
[s ; s[ I i si t 2 [s ; s[ es veriÖca
(2) jg^0 (t) dj < 1
Siga 0 < h < , aleshores pel teorema del valor mitj‡, sabem que existeix un th 2 ]s h; s[ tal que:
~g(s h) g~(s) h
d =
g(s h) c h
(3) d =
g^0 (th)( h) h
d = jg^0 (th) dj
i com ]s h; s[ [s ; s[, per (2) i per(3) síobtÈ ~g(s h) g~(s) h d = jg^0 (th) dj <
I per tant g~ Ès derivable en s i g~^0 (s) = d Per al cas en que r = 2 I es raona de manera an‡lega.
Proposition 1.2. (Criteri de prolongabilitat quan s = 2 I, o r = 2 I) Siguen
f : D R Rm^! Rm
contÌnua i ' : I! Rm^ soluciÛ de x^0 = f (t; x) tal que s = 2 I i Ès Önit (o r = 2 I i Ès Önit), aleshores ' Ès prolongable per la dreta (o per líesquerra) si, i sols si, existeix
lim t!s (o r+)
'(t) = w i (s; w) 2 D (o (r; w) 2 D)
Proof. Suposem que s = 2 I i Ès Önit. Suposem primer que ' : I! Rm^ Ès una soluciÛ proplongable per la dreta de x^0 = f (t; x) en D, aleshores 9 s s i : I [ [s; s]! Rm^ tal que Ès tambÈ soluciÛ de líedo en D i (t) = '(t); 8 t 2 I. Llavors si anomenem w := (s), per la continuitat de síobtÈ que 9 lim t!s ^
'(t) = lim t!s ^
(t) = w
i (s; w) = (s; (s)) 2 D. I suposem ara que 9 lim t!s ^
'(t) = w i que (s; w) 2 D, aleshores deÖnim la funciÛ : I [ [s]! Rm^ tal que
(t) =
'(t); si t 2 I w; si t = s
Per tant ser‡ suÖcient demostrar que Ès soluciÛ de x^0 = f (t; x) en D per a veure que ' Ès proplongable per la dreta. …s immediat que si t 2 I, aleshores 9 0 (t) = '^0 (t) = f (t; '(t)) = f (t; (t)). I si t = s, com (s; w) 2 D i f Ès contÌnua en D, aleshores 9 lim t!s ^
'^0 (t) = lim t!s ^
f (t; '(t)) = f (s; w)
i per tant pel lema anterior síobtÈ que 9 0 (s) = f (s; w) = f (s; (s)). Per al cas en que r = 2 I i Ès Önit, es raona de manera an‡lega.
Proposition 1.3. (Criteri de prolongabilitat quan s 2 I, o r 2 I) Siguen
f : D R Rm^! Rm
contÌnua i ' : I! Rm^ soluciÛ de x^0 = f (t; x) tal que s 2 I (o r 2 I) i (s; '(s)) 2 D (o (r; '(r)) 2 D), aleshores ' Ès prolongable per la dreta (o per líesquerra).
DeÖnition 1.2. Siga un conjunt , anomenarem relaciÛ díordre R en , a un subconjunt del producte cartesi‡ amb les propietats:
(1) ( ; ) 2 R; 8 2 (reáexiva) (2) Si ( ; ) 2 R i ( ; ) 2 R, aleshores = (antisimËtrica) (3) Si ( ; ) 2 R i ( ; ) 2 R, aleshores ( ; ) 2 R (transitiva) Si ( ; ) 2 R es diu que Ès anterior a , o que Ès posterior a , i el denotarem tambÈ de la forma .
DeÖnition 1.3. (1) Direm que R Ès una relaciÛ díordre total si es veriÖca que 8 ; 2 , ( ; ) 2 R , o ( ; ) 2 R. (2) Anomenarem cadena a tot subconjunt 0 de tal que R restringida a 0 , Ès a dir el conjunt R 0 = R \ ( 0 0 ), Ès una relaciÛ díordre total en 0. (3) Es diu que 2 Ès un element maximal si no existeix cap element de , llevat del propi , posterior a ell. (4) Es diu que un subconjunt F admet un element majorant (o Öta superior) si existeix un! 2 posterior a tots els elements de F.
Lemma 1.5. (de Zorn) Siga un conjunt no buit amb una relaciÛ díordre R; si es veriÖca que tota cadena de tÈ una Öta superior, aleshores admet almenys un element maximal.
Theorem 1.6. (DíexistËncia de soluciÛ no prolongable) Siguen D RRm, f : D! Rm^ i ' : I! Rm^ una soluciÛ en D de líEDO
(4) x^0 = f (t; x)
Aleshores si ' Ès prolongable, existeix una prolongaciÛ de ' no prolongable en D:
Proof. Siga el conjunt
= f : I! Rm^ tal que Ès soluciÛ de (4) en D veriÖcant I I i (t) = '(t); 8 t 2 Ig
DeÖnim en la seg¸ent relaciÛ díordre: Donades 1 ; 2 2 direm que 1 2 , si I 1 I 2 i 1 (t) = 2 (t); 8 t 2 I 1. Evidentment Ès una relaciÛ díordre ja que es veriÖquen les propietats: i) (reáexiva) …s immediat que 8 2 , . ii) (antisimËtrica) Si 1 2 , aleshores I 1 I 2 i 8 t 2 I 1 ; 1 (t) = 2 (t): I si 2 1 , llavors I 2 I 1 i 8 t 2 I 2 ; 2 (t) = 1 (t): Per tant I 1 = I 2 i 1 = 2. iii) (transitiva) Si 1 2 , aleshores I 1 I 2 i 8 t 2 I 1 ; 1 (t) = 2 (t): I si 2 3 , llavors I 2 I 3 i 8 t 2 I 2 ; 2 (t) = 3 (t): Per tant I 1 I 3 i 8 t 2 I 1 ; 1 (t) = 2 (t) = 3 (t). …s a dir 1 3. Considerem ara una cadena quealsevol 0 de i anem a obtindre una Öta supe- rior díaquesta cadena. DeÖnim H = [ fI = 2 0 g, aleshores I H i per tant H Ès tambÈ un interval. I deÖnim ara la funciÛ : H! Rm^ tal que (t) = (t) si t 2 I i 2 0. Aquesta funciÛ est· ben deÖnida ja que si t 2 I 1 \ I 2 i 1 ; 2 2 0 , aleshores 1 2 o 2 1 per ser 0 una cadena i per tant 1 (t) = 2 (t). A mÈs a mÈs si t 2 I, com I I per a tot 2 0 , llavors (t) = (t) = '(t). Vegem ara que Ès soluciÛ de (4) en D. Siga t 0 2 H, poden passar els casos seg¸ents:
a) Si t 0 Ès líextrem de la dreta de H tambÈ ser‡ líextrem per la dreta de I per a un 2 0 i per tant si considerem h < 0 =t 0 + h 2 I , es veriÖca que:
(^9 0) (t 0 ) = lim h!
(t 0 +h) (t 0 ) h =^ hlim!
(t 0 +h) (t 0 ) h =^
0 (t^0 ) =^ f^ (t^0 ; (t^0 )) = f (t 0 ; (t 0 )) b) Si t 0 Ès líextrem de líesquerra de H es raona de manera simËtrica. c) Si t 0 2 H aleshores exiteixen t 1 ; t 2 2 H tals que t 1 < t 0 < t 2 i t 1 2 I 1 i t 2 2 I 2 per a certes 1 ; 2 2 0. Ara bÈ com 0 Ès una cadena, llavors 1 2 o 2 1. Suposem que 1 2 , aleshores I 1 I 2 i per tant t 0 2 ]t 1 ; t 2 [ I 2 i es veriÖca que si considerem h=t 0 + h 2 ]t 1 ; t 2 [:
9 0 (t 0 ) = lim h!
(t 0 +h) (t 0 ) h =^ hlim!
2 (t 0 +h) 2 (t 0 ) h =^
0 2 (t^0 ) =^ f^ (t^0 ; ^2 (t^0 )) =
f (t 0 ; (t 0 )) Llavors Ès soluciÛ de (4) en D i per tant 2 i Ès una una Öta superior de 0 ja que: 8 2 0 , I H i 8 t 2 I es veriÖca que (t) = (t) i per tant . Aleshores com no Ès buit i tota cadena seua tÈ Öta superior, podem aplicar el Lema de Zorn i síobtÈ que tÈ un element maximal: 2 : I evidentment Ès soluciÛ de (4) en D i ser‡ no prolongable en D ja que si existeix una prolongaciÛ díaquesta, aleshores 2 i i com un element maximal de líunica possibilitat Ès que = .
Corollary 1.7. Si D RRm, f : D! Rm^ Ès una funciÛ contÌnua i (t 0 ; x 0 ) 2
D, aleshores el problema de Cauchy
(5)
x^0 = f (t; x); x(t 0 ) = x 0 :
tÈ soluciÛ no prolongable en D.
Proof. Sabem pel Teorema de Peano que el problema (5) tÈ una soluciÛ
' : I! Rm
aleshores o aquesta Ès no prolongable, o pel teorema anterior existir‡ una prolon- gaciÛ díaquesta no prolongable.
- Unicitat Díara en abans suposarem que D R Rm^ i f : D! Rm.
DeÖnition 2.1. (Unicitat global) Direm que líEDO
(6) x^0 = f (t; x)
tÈ unicitat en D; si per a tota parella de solucions en D de (6) 1 : I 1! Rm^ i 2 : I 2! Rm^ tals que 9 t 0 2 I 1 \ I 2 = 1 (t 0 ) = 2 (t 0 ), aleshores es veriÖca que
1 (t) = 2 (t); 8 t 2 I 1 \ I 2
DeÖnition 2.2. (Unicitat díun problema de Cauchy) Donat (t 0 ; x 0 ) 2 D, direm que el problema de Cauchy x^0 = f (t; x); x(t 0 ) = x 0 :
(1) La funciÛ (t) = k 1 (t) 2 (t)k Ès derivable als punts t 0 2 J tals que (t 0 ) = 0; i a mÈs a mÈs ^0 (t 0 ) = 0: (2) La funciÛ e(t) = k 1 (t) 2 (t)ke deÖnida en J, Ès derivable i veriÖca
(8) j^0 e(t)j kf (t; 1 (t)) f (t; 2 (t))ke ; 8 t 2 J:
Proof. Siguen t 0 2 J i h tal que t 0 + h 2 J, aleshores
0
(t 0 + h) (t 0 ) h
k 1 (t 0 + h) 2 (t 0 + h) ( 1 (t 0 ) 2 (t 0 ))k jhj
1 (t 0 + h) 1 (t 0 ) h
2 (t 0 + h) 2 (t 0 ) h I per altra banda com 1 i 2 sÛn solucions de x^0 = f (t; x) i t 0 2 J, aleshores existeix el
lim h! 0
1 (t 0 + h) 1 (t 0 ) h
2 (t 0 + h) 2 (t 0 ) h
= ^01 (t 0 ) ^02 (t 0 ) = kf (t 0 ; 1 (t 0 )) f (t 0 ; 2 (t 0 ))k
Per tant per (9), (10) i pel criteri de líemparedat, síobtÈ que si t 0 2 J Ès tal que (t 0 ) = 0, llavors
9 ^0 (t 0 ) = lim h! 0
(t 0 + h) (t 0 ) h
…s a dir es veriÖca la propietat 1. Vegem ara 2. Per aÁÚ considerem la norma euclÌdea i la corresponent funciÛ
e(t) = k 1 (t) 2 (t)ke deÖnida en J. Com e(t) =
s Pm j=
( 1 ;j (t) 2 ;;j (t))^2 ,
aleshores Ès derivable als punts t 0 2 J tal que e(t 0 ) 6 = 0, i als punts t 0 2 J tal que e(t 0 ) = 0 tambÈ ho Ès per líapartat anterior. Per tant e(t) Ès derivable en tot J, Ès a dir 8 t 2 J, 9 ^0 e(t). Aleshores, prenent lÌmits quan h! 0 en (9) i considerant líigualtat (10), síobtÈ que:
j^0 e(t)j kf (t; 1 (t)) f (t; 2 (t))ke ; 8 t 2 I:
Theorem 2.3. (Criteri de Lipschitz) Si f : D R Rm^! Rm^ veriÖca la condiciÛ de Lipschitz respecte de les x en D (f Ès lipschitziana respecte de les x), Ès a dir existeix una constant k > 0 tal que
kf (t; x 1 ) f (t; x 2 )k k kx 1 x 2 k ; 8 (t; x 1 ); (t; x 2 ) 2 D
aleshores líequaciÛ diferencial x^0 = f (t; x) tÈ unicitat en D.
Proof. Considerem la norma euclÌdea, aleshores per líequivalËncia de normes en Rm es demostra f‡cilment que existeix una constant k 0 > 0 tal que
kf (t; x 1 ) f (t; x 2 )ke k 0 kx 1 x 2 ke ; 8 (t; x 1 ); (t; x 2 ) 2 D
…s a dir tambÈ es veriÖca la condiciÛ de Lipschitz per a la norma euclÌdea.
Siguen 1 : I 1! Rm^ i 2 : I 2! Rm^ dues soluciÛns en D díaquesta EDO veriÖcant que 9 t 0 2 I 1 \ I 2 = 1 (t 0 ) = 2 (t 0 ), vegem que 1 (t) = 2 (t); 8 t 2 I 1 \ I 2 i ja estar‡ demostrat el que voliem. Raonarem per R.A.A., Ès a dir suposem que 9 t 1 2 I 1 \I 2 tal que 1 (t 1 ) 6 = 2 (t 1 ) i que t 1 > t 0 (si es veriÖca t 1 < t 0 es raona de manera simËtrica) Anomenem J al interval no buit J = I 1 \ I 2 que contÈ a [t 0 ; t 1 ] i deÖnim el conjunt
A = ft 2 [t 0 ; t 1 ]= 1 (t) = 2 (t)g = ft 2 [t 0 ; t 1 ]=e(t) = 0g
Evidentment t 0 2 A i per tant A Ès no buit. Siga t 2 = sup A, aleshores com t 2 2 A \ [t 0 ; t 1 ] J per la continuitat de e(t) en [t 0 ; t 1 ] síobtÈ que e(t 2 ) = 0 i per tant t 0 t 2 < t 1 ja que e(t 1 ) > 0. Siga ara t 3 2 ]t 2 ; t 1 ] tal que t 3 t 2 < (^) k^10 , aleshores per deÖniciÛ de suprem es veriÖca que e(t 3 ) > 0. I per altra banda com e(t) Ès contÌnua i [t 2 ; t 3 ] Ès un compacte, existeix el max fe(t)=t 2 [t 2 ; t 3 ]g = t 4 i veriÖcar‡ per tant que e(t 4 ) e(t 3 ) > 0. Si apliquem ara el teorema del valor mitj‡ a e(t) en [t 2 ; t 4 ], que es pot pel Lema anterior, i la desigualtat (8) obtenim que 9 t 5 2 ]t 2 ; t 4 [ tal que
e(t 4 ) e(t 2 ) = ^0 e(t 5 )(t 4 t 2 ) kf (t 5 ; 1 (t 5 )) f (t 5 ; 2 (t 5 ))ke (t 4 t 2 ) k 0 k 1 (t 5 ) 2 (t 5 )ke (t 4 t 2 ) k 0 e(t 5 )(t 3 t 2 ) < e(t 5 )
la qual cosa Ès un absurde per la deÖniciÛ de m‡xim ja que e(t 2 ) = 0 i t 4 Ès el m‡xim de e en [t 2 ; t 3 ] i t 5 2 ]t 2 ; t 4 [ [t 2 ; t 3 ]. Aleshores efectivament es veriÖca que 1 (t) = 2 (t); 8 t 2 J.
Corollary 2.4. (Teorema de Picard) Siguen (t 0 ; x 0 ) 2 R Rm; a; b > 0 ; el conjunt E = [t 0 a; t 0 + a] B(t 0 ; b) i f : E! Rm^ contÌnua i lipschitziana respecte de les x en E, aleshores existeix una ˙nica soluciÛ del problema de Cauchy (o de valors inicials) (5) deÖnida en I = [t 0 ; t 0 + ] on = minfa; b=M g sent M > 0 tal que
kf (t; x)k M; 8 (t; x) 2 E:
Proof. La demostraciÛ Ès immediata ja que pel Teorema de Peano local sabem que existeix una soluciÛ del problema de Cauchy (5) deÖnida en I = [t 0 ; t 0 + ] i aquesta soluciÛ Ès ˙nica pel teorema anterior.
Lemma 2.5. Siga D R Rm^ obert i f : D! Rm^ tal que existeixen i sÛn contÌnues en D les parcials (^) @x@fij (t; x); 8 i; j = 1; 2 ; :::; m. Aleshores si D Ès convex
respecte de les "x" (Ès a dir 8 s 2 [0; 1], s(t; u) + (1 s)(t; v) = (t; su + (1 s)v) 2 D si (t; u); (t; v) 2 D), es veriÖca que 8 i = 1; 2 ; :::; m i 8 (t; u); (t; v) 2 D
fi(t; u) fi(t; v) =
X^ m
j=
(uj vj )
Z^1
0
@fi @xj (t; su + (1 s)v)ds
Proof. Siga i 2 f 1 ; 2 ; :::; mg i siguen (t; u); (t; v) 2 D, aleshores deÖnim la funiciÛ g : [0; 1]! R de la forma g(s) = fi(t; su + (1 s)v). Aquesta funciÛ Ès composiciÛ de les seg¸ents funcions: a) : [0; 1]! Rm^ que Ès derivable i amb derivada contÌnua: ^0 j (s) = uj vj , 8 j = 1; 2 ; :::; m i
Remark 2.1. La hipÚtesi del corolari anterior de que @f @xij existisca i siga contÌnua,
Ès suÖcient perÚ no necess‡ria. …s suÖcient considerar líEDO
x^0 = jxj
Evidentment la funciÛ f (t; x) = jxj Ès lipschitziana en R^2 perÚ als punts (t; 0) no existeix la parcial @f@x.
Corollary 2.7. Amb les hipÚtesis del teorema anterior líEDO (6) tÈ unicitat en D.
Proof. Evidentment pel resultat anterior hi ha unicitat local en D i per tant hi ha unicitat (global) en D.
Corollary 2.8. Siga D R Rm^ obert i f : D! Rm^ tal que Ès contÌnua i existeixen i sÛn contÌnues les parcials (^) @x@fij (t; x); 8 i; j = 1; 2 ; :::; m. Aleshores
8 (t 0 ; x 0 ) 2 D, el problema de Cauchy
(11)
x^0 = f (t; x); x(t 0 ) = x 0 :
tÈ una ˙nica soluciÛ no prolongable en D i el seu interval de deÖniciÛ Ès un obert.
Proof. Per ser D obert i f contÌnua sabem que 8 (t 0 ; x 0 ) 2 D, el problema de Cauchy (11) tÈ soluciÛ no prolongable en D i que per a qualsevol soluciÛ no prolongable del problema el seu interval de deÖniciÛ Ès un obert. Per altra banda pel corolari anterior tenim que hi ha unicitat en D i per tant aquesta soluciÛ Ès ˙nica.
- Criteris de ComparaciÛ. Aplicacions
Lemma 3.1. (Criteri de Cauchy) Si ' : I! Rm^ Ès una funciÛ veriÖcant per a tots t; t^0 2 I:
(12) k'(t) '(t^0 )k k jt t^0 j :
aleshores existeixen els lÌmits
lim t!s ^
'(t) = w 2 Rm^ i lim t!r+^
'(t) = v 2 Rm
Proof. Demostrarem líexistËncia del lÌmit
lim t!s ^
'(t) = w 2 Rm
líaltra existËncia es demostra de manera an‡lega. Siga una successiÛ ftngn 1 I tal que lim n!+ 1 tn = s, aleshores ser‡ de Cauchy
per ser convergent i per tant per (12) la successiÛ f'(tn)gn 1 tambÈ ser‡ de Cauchy en Rm^ que Ès complet, per tant:
9 lim n!+ 1 '(tn) = w 2 Rm
Vegem que si fsngn 1 I Ès altra successiÛ tal que lim n!+ 1 sn = s, aleshores si lim n!+ 1 '(sn) = u 2 Rm; es veriÖca que u = w. Ara bÈ si apliquem altra vegada (12), obtenim que: k'(tn) '(sn)k k jtn snj ; 8 n = 1; 2 ; ::::
Aleshores prenent lÌmits quan n! + 1 , síobtÈ que lim n!+ 1 '(tn) = lim n!+ 1 '(sn) i
per tant efectivament: 9 lim t!s '(t) = w 2 Rm
Proposition 3.2. (Criteri lateral de comparaciÛ) Siga D RRm^ un conjunt obert i f : D! Rm^ una funciÛ contÌnua. I siga ' : I! Rm^ una soluciÛ no prolongable per la dreta (o per líesquerra) de x^0 = f (t; x) amb t 0 = inf I 2 I (o t 0 = sup I 2 I). Siga J un interval no trivial amb t 0 = inf J 2 J (o t 0 = sup J 2 J). Suposem que existeixen dues funcions contÌnues, g : J! Rm^ i : J! [0; + 1 [, veriÖcant:
(1) A = f(t; x) 2 R Rm^ : t 2 J, kx g(t)k (t)g D; (2) k'(t) g(t)k (t); 8 t 2 I \ J: Aleshores J I. Si D = J 0 Rm, on J 0 Ès un interval no trivial, el resultat tambÈ Ès cert i (1) Ès equivalent a demanar que J J 0.
Proof. Suposem que D Ès un conjunt obert i que ' : I! Rm^ Ès una soluciÛ no prolongable per la dreta de x^0 = f (t; x) amb t 0 = min I 2 I. Siga J un interval no trivial amb min J = t 0 2 J, i siguen dues funcions contÌnues, g : J! Rm^ i : J! [0; + 1 [ veriÖcant les propietats 1 i 2. Vegem que J I. Siga doncs 2 J ft 0 g, vegem que 2 I per R.A.A. …s a dir suposem que = 2 I, aleshores si s Ès líextrem de la dreta de I es veriÖca que I = [t 0 ; s[ [t 0 ; ] J. Considerem ara el conjunt H = f(t; x) 2 R Rm^ = t 2 [t 0 ; ] i kx g(t)k (t)g Aleshores 8 t 2 I; (t; '(t)) 2 H A D:
Vegem ara que H Ès compacte. Siga la funciÛ contÌnua G : [t 0 ; ] Rm^! R deÖnida de la forma G(t; x) = (t) kx g(t)k
aleshores H = G ^1 ([0; + 1 [ i per tant Ès tancat en [t 0 ; ] Rm^ i tambÈ en R Rm. Siga ara (t; x) 2 H, aleshores t 2 [t 0 ; ] que Ès Ötat, i per ser g i contÌnues en el compacte [t 0 ; ] existeix una constant M > 0 tal que
kxk kx g(t)k + kg(t)k (t) + kg(t)k M:
Per tant H Ès Ötat en RRm^ i com tambÈ Ès tancat llavors Ès compacte en RRm, i com f Ès contÌnua estar‡ Ötada en H, Ès a dir existeix una constant k > 0 tal que
kf (t; x)k k; 8 (t; x) 2 H Aleshores si t; t^0 2 I = [t 0 ; s[, com f Ès contÌnua i ' Ès soluciÛ de (6) en D, síobtÈ
k'(t) '(t^0 )k =
Z^ t
t^0
f (r; '(r))dr k jt t^0 j :
I per tant pel Criteri de Cauchy tenim que existeix el lim t!s ^
'(t) = w i (s; w) = lim t!s
(t; '(t)) 2 H = H D
Llavors com f Ès tambÈ contÌnua en E, pel Teorema de Cauchy-Peano local, síobtÈ que existeix soluciÛ de líedo x^0 = f (t; x) en E i per tant en J Rm,
' : [t 0 ; t 0 + ]! Rm
per a un cert > 0. I evidentment existir‡ una prolongaciÛ no prolongable díaquesta soluciÛ en J Rm. I per ˙ltim si t 0 = sup J 2 J, aleshores 9 a > 0 i 9 b > 0 tals que E = [t 0 a; t 0 ] B(x 0 ; b) J Rm:
Llavors com f Ès tambÈ contÌnua en E, pel Teorema de Cauchy-Peano local, síobtÈ que existeix soluciÛ de líedo x^0 = f (t; x) en E i per tant en J Rm,
' : [t 0 ; t 0 ]! Rm
per a un cert > 0. I evidentment existir‡ una prolongaciÛ no prolongable díaquesta soluciÛ en J Rm. Siga ' : I! Rm^ una soluciÛ no prolongable qualsevol del problema de Cauchy donat, vegem que I = J. Sabem que 8 t 2 I; (t; '(t)) 2 J Rm, aleshores t 2 J i per tant I J. Vegem líaltra inclusiÛ. Sabem que f Ès Ötada, aleshores existeix una M > 0 tal que
kf (t; x)k M; 8 (t; x) 2 J Rm Aleshores si t 2 I = I \ J, com f Ès contÌnua i ' Ès soluciÛ del problema de Cauchy, síobtÈ
(13) k'(t) x 0 k =
Z^ t
t 0
f (r; '(r))dr M jt t 0 j :
Considerem ara les funcions contÌnues g : J! Rm^ i : J! [0; + 1 [ deÖnides 8 t 2 J de la forma:
g(t) = x 0 i (t) = M jt t 0 j : Aleshores per (13) es comprova que veriÖquen les propietats 1 i 2 de la proposiciÛ anterior i per tant: a) Si t 0 = inf J 2 J, aleshores I Ès tambÈ tancat a líesquerra en t 0 i ' Ès no prolongable a la dreta, per tant J I. b) Si t 0 = sup J 2 J, aleshores I Ès tambÈ tancat a la dreta en t 0 i ' Ès no prolongable a líesquerra, per tant J I. c) I si t 0 2 I \ J, aleshores I \ [t 0 ; + 1 [ Ès tancat a líesquerra en t 0 i 'jI[t 0 ;+ 1 [ Ès no prolongable a la dreta, per tant J \ [t 0 ; + 1 [ I \ [t 0 ; + 1 [. I I] 1; t 0 ] Ès tancat a la dreta en t 0 i 'jI] 1;t 0 ] Ès no prolongable a líesquerra, per tant J] 1; t 0 ] I] 1; t 0 ] i llavors J I.
Lemma 3.5. (de Gronwall) Siguen f; g; h : I! R contÌnues, amb h(t) 0 ; 8 t 2 I. Aleshores es veriÖquen les seg¸ents aÖrmacions:
(1) Si I Ès tancat per líesquerra amb extrem t 0 i es veriÖca que
(14) g(t) f (t) +
Z (^) t
t 0
g(s) h(s) ds; 8 t 2 I:
Aleshores
g(t) f (t) +
Z (^) t
t 0
f (s) h(s) exp(
Z (^) t
s
h(r) dr) ds; 8 t 2 I:
Si f (t) = c ; 8 t 2 I, aleshores
g(t) c exp(
Z (^) t
t 0
h(s) ds); 8 t 2 I:
(2) Si I Ès tancat per la dreta amb extrem t 0 i es veriÖca que
g(t) f (t) +
Z (^) t 0
t
g(s) h(s) ds; 8 t 2 I:
Aleshores
g(t) f (t) +
Z (^) t 0
t
f (s) h(s) exp(
Z (^) s
t
h(r) dr) ds; 8 t 2 I:
Si f (t) = c ; 8 t 2 I, aleshores
g(t) c exp(
Z (^) t 0
t
h(s) ds); 8 t 2 I:
Proof. Demostrarem líapartat 1, líaltre es demostra de manera simËtrica. Anomenem (t) =
R (^) t t 0 g(s)^ h(s)^ ds;^8 t^2 I, aleshores ser‡ suÖcient demostrar que
(t)
Z (^) t
t 0
f (s) h(s) exp(
Z (^) t
s
h(r) dr) ds; 8 t 2 I;
o el que Ès equivalent que
(15) w(t) = (t) exp(
Z (^) t
t 0
h(r) dr)
Z (^) t
t 0
f (s) h(s) exp(
Z (^) s
t 0
h(r) dr) ds; 8 t 2 I:
Evidentment Ès derivable amb derivada contÌnua per ser g i h funcions contÌnues en I; i per (14), síobtÈ que:
(16) 0 (t) = g(t) h(t) f (t) h(t) + (t) h(t); 8 t 2 I:
Aleshores w(t) Ès tambÈ derivable amb derivada contÌnua i per (16), síobtÈ:
w^0 (t) = 0 (t) exp(
Z (^) t
t 0
h(r) dr) (t) h(t) exp(
Z (^) t
t 0
(17) h(r) dr)
f (t) h(t) exp(
Z (^) t
t 0
h(r) dr); 8 t 2 I:
Aleshores per la regla de Barrow, com w(t 0 ) = 0, per (17) obtenim que:
w(t) = w(t) w(t 0 ) =
Z (^) t
t 0
w^0 (s)ds
Z (^) t
t 0
f (s) h(s) exp(
Z (^) s
t 0
h(r) dr) ds; 8 t 2 I:
Per tant hem arrivat a (15) que Ès el que voliem.
Aleshores per líapartat 1 del Lema de Gronwall síobtÈ que:
k'(t) x 0 k C exp(
Z (^) t
t 0
k 0 ds) = C exp(k 0 (t t 0 )); 8 t 2 I \ [t 0 ; b]:
I si ara apliquem el criteri de comparaciÛ de dominis a les funcions contÌnues ~g : [t 0 ; b]! Rm^ i : [t 0 ; b]! [0; + 1 [ deÖnides de la forma:
g ~(t) = x 0 i (t) = C exp(k 0 (t t 0 )): com I \ [t 0 ; + 1 [ Ès tancat a líesquerra en t 0 i 'jI[t 0 ;+ 1 [ Ès no prolongable a la dreta, síobtÈ que [t 0 ; b] I \ [t 0 ; + 1 [. I per tant b 2 I i llavors J I.
Remark 3.1. Per Mm entendrem líespai vectorial de les matrius quadrades reals m m:
Corollary 3.7. Siga J un interval no trivial i siguen b : J! Rm^ i A : J! Mm funcions contÌnues, aleshores 8 (t 0 ; x 0 ) 2 J Rm, el problema de Cauchy x^0 = A(t)x + b(t); x(t 0 ) = x 0 ;
tÈ una ˙nica soluciÛ no prolongable i el seu domini Ès tot J:
Proof. La demostraciÛ Ès immediata a partir del teorema anterior aplicat a líedo lineal x^0 = A(t)x + b(t);
ja que f (t; x) = A(t)x + b(t) Ès contÌnua per ser-ho fi(t; x) =
Pm j=
aij (t)xj + bi(t)
per a tot i = 1; 2 ; ::; m: I en cada banda compacta K Rm^ (on K J compacte) es veriÖca la condiciÛ de Lipschitz ja que:
kA(t)xkmax = max i=1; 2 ;::;m
X^ m
j=
aij (t)xj
kxkmax
@ (^) max i=1; 2 ;::;m
Xm
j=
jaij (t)j
A (^) ; 8 (t; x) 2 K Rm
I com les funcions aij (t) sÛn contÌnues al compacte K, aleshores est·n Ötades i per tant existeix una k 0 > 0 tal que:
kA(t)xkmax k 0 kxkmax ; 8 (t; x) 2 K Rm Llavors 8 (t; x 1 ); (t; x 2 ) 2 K Rm; kf (t; x 1 ) f (t; x 2 )kmax = kA(t)(x 1 x 2 )kmax k 0 kx 1 x 2 kmax
