¡Descarga Tema4 y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
TEMA IV
EQUACIONS DIFERENCIALS LINEALS
1. E
Anem a estudiar en primer lloc l’EDO lineal vectorial de primer ordre homogènia
(1) x′^ = A(t)x
on A : J → Mm és una funció contínua (sent J un interval real no buit i Mm l’espai vectorial de les matrius quadrades m × m amb coeficients reals). Vam demostrar al tema 3 que el problema de Cauchy x′^ = A(t)x x(t 0 ) = x 0 ,
té una única solució no prolongable ∀(t 0 , x 0 ) ∈ J × Rm, i el seu domini és tot J. Vegem ara com són les solucions de (1).
Theorem 1.1. Les solucions no prolongables de (1) formen un espai vectorial real de dimensió m respecte de la suma de funcions i el producte per un escalar. A més a més, un conjunt de solucions
ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , ..., ϕp
és linealment independent si i sols si existeix un t 0 ∈ J tal que el conjunt de vectors
ϕ 1 (t 0 ), ϕ 2 (t 0 ), ϕ 3 (t 0 ), ..., ϕp(t 0 )
és linealment independent en Rm.
Proof. Siga
F = {ϕ : J → Rm/ ϕ és solució no prolongable de (1)}
aleshores és immediat que F ⊆ C(J, Rm), vegem que F és un subespai vectorial de C(J, Rm). Siguen ϕ 1 , ϕ 2 ∈ F i α 1 , α 2 ∈ R, llavors ∀t ∈ J existeix (α 1 ϕ 1 + α 2 ϕ 2 )′(t) = α 1 ϕ′ 1 (t) + α 2 ϕ′ 2 (t) = α 1 A(t)ϕ 1 (t) + α 2 A(t)ϕ 2 (t) = = A(t)(α 1 ϕ 1 (t) + α 2 ϕ 2 (t)) = A(t)(α 1 ϕ 1 + α 2 ϕ 2 )(t)
i per tant α 1 ϕ 1 + α 2 ϕ 2 ∈ F. Fixem t 0 ∈ J i definim ara l’aplicació
(2) T : F → Rm
tal que si ϕ ∈ F aleshores T ϕ = ϕ(t 0 ). Vegem que és un isomorfisme i per tan obtindrem que dim(F) = dim(Rm) = m.
- T és lineal: Siguen ϕ 1 , ϕ 2 ∈ F i α 1 , α 2 ∈ R, llavors T (α 1 ϕ 1 + α 2 ϕ 2 ) = (α 1 ϕ 1 + α 2 ϕ 2 )(t 0 ) = = α 1 ϕ 1 (t 0 ) + α 2 ϕ 2 (t 0 ) = α 1 T ϕ 1 + α 2 T ϕ 2 1
- T és injectiva: Siga ϕ ∈ F tal que T ϕ = 0, aleshores ϕ(t 0 ) = 0 i per tant, com el problema
x′^ = A(t)x x(t 0 ) = 0, té com a única solució no prolongable la funció nul·la, llavors ϕ = 0 (funció identicamnt nul·la),
- T és sobrejectiva: Siga x 0 ∈ Rm, considerem el problema
x′^ = A(t)x x(t 0 ) = x 0 , i ϕ : J → Rm l’única solució no prolongable d’aquest problema. Aleshores T ϕ = ϕ(t 0 ) = x 0 i ϕ ∈ F. Per tant T és un isomorfisme i llavors: ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , ..., ϕp
⊆ F és linealment independent si i sols si existeix un t 0 ∈ J tal que el conjunt de vectors T ϕ 1 , T ϕ 2 , T ϕ 3 , ..., T ϕp
ϕ 1 (t 0 ), ϕ 2 (t 0 ), ϕ 3 (t 0 ), ..., ϕp(t 0 )
és linealment independent en Rm.
Remark 1.1. En realitat es demostra que si agafem un t 0 ∈ J qualsevol, el conjunt de solucions
ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , ..., ϕp
és linealment independent si i sols si el conjunt de
vectors
ϕ 1 (t 0 ), ϕ 2 (t 0 ), ϕ 3 (t 0 ), ..., ϕp(t 0 )
és linealment independent. Per tant els vectors anteriors són linealment independents ∀t 0 ∈ J, però és suficient demostrar que ho són només en un punt i ho seran a la resta de punts. Aquesta propietat no és certa en general per a funcions contínues, per exemple les funcions
f(x) = (x, x) i g(x) = (x, 2)
són linealment independents i en x = 2 són linealment dependents.
Definition 1.1. Anomenarem sistema fonamental de solucions de l’EDO (1) a qualsevol base de l’espai vectorial F de les solucions no prolongables de l’equació (1). És a dir qualsevol conjunt de m funcions de F linealment independents. Si {ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , ..., ϕm} és un sistema fonamental, anomenem matriu fona- mental associada a la funció matricial Φ : J → Mm tal que Φ(:, j) = ϕj , ∀j = 1, 2 , ...., m, és a dir ∀t ∈ J,
Φ(t) =
(ϕ 1 (t)) 1 (ϕ 2 (t)) 1 ... (ϕm(t)) 1 (ϕ 1 (t)) 2 (ϕ 2 (t)) 2 ... (ϕm(t)) 2 ... ... ... ... (ϕ 1 (t))m (ϕ 2 (t))m ... (ϕm(t))m
Remark 1.2. (1) Pel teorema anterior tenim que si Φ : J → Mm és una matriu fonamental, aleshores det(Φ(t)) = 0, ∀t ∈ J. A més a més si Φ : J → Mm és una funció matricial tal que les seues columnes són solucions de l’EDO (1) en J, aleshores és suficient que ∃t 0 ∈ J tal que det(Φ(t 0 )) = 0 per a que açò passe a la resta de punts, és a dir per a que siga matriu fonamental. (2) Si Φ : J → Mm és una matriu fonamental, aleshores és una funció derivable i verifica ∀t ∈ J, Φ′(t) = (ϕ′ 1 (t), ϕ′ 2 (t), ϕ′ 3 (t), ..., ϕ′ m(t)) = = (A(t)ϕ 1 (t), A(t)ϕ 2 (t), A(t)ϕ 3 (t), ..., A(t)ϕm(t)) = A(t)Φ(t)
És a dir, existeix una matriu constant regular B tal que
Φ(t) = Ψ(t)B, ∀t ∈ J.
- E Anem a estudiar en aquesta part l’EDO lineal vectorial de primer ordre completa
(4) x′^ = A(t)x + b(t)
on A : J → Mm i b : J → Rm^ són funcions contínues (sent J un interval real no buit i Mm l’espai vectorial de les matrius quadrades m × m amb coeficients reals). Vam demostrar al tema 3 que el problema de Cauchy x′^ = A(t)x + b(t) x(t 0 ) = x 0
té una única solució no prolongable ∀(t 0 , x 0 ) ∈ J × Rm, i que el seu domini és tot J. Vegem ara com són les solucions de (4).
Theorem 2.1. Siga ψ una solució no prolongable de l’EDO no homogènia (4) i {ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , ..., ϕm} un sistema fonamental de l’EDO homogènia corresponent (1), aleshores qualsevol solució no prolongable de l’EDO (4) és del tipus
ψ + α 2 ϕ 2 + α 3 ϕ 3 + ... + αmϕm
amb α 1 , α 2 , α 3 , ..., αm ∈ R arbitraris. I al contrari, qualsevol funció d’aquesta forma és solució de (4).
Proof. Siguen α 1 , α 2 , α 3 , ..., αm ∈ R i siga la funció ϕ = α 2 ϕ 2 + α 3 ϕ 3 + ... + αmϕm, aleshores és immediat que ψ + ϕ serà derivable i que ∀t ∈ J
(ψ + ϕ)′(t) = ψ′(t) + ϕ′(t) = A(t)ψ(t) + b(t) + A(t)ϕ(t) = = A(t)(ψ(t) + ϕ(t)) + b(t) = A(t)(ψ + ϕ)(t) + b(t) per tant ψ + ϕ és solució no prolongable de (4). Siga ara ω una solució no prolongable qualsevol de (4), aleshores si considerem ϕ = ω − ψ, és immediat que és derivable i que ∀t ∈ J
ϕ′(t) = ω′(t) − ψ′(t) = A(t)ω(t) + b(t) − A(t)ψ(t) − b(t) = = A(t)(ω(t) − ψ(t)) = A(t)(ω − ψ)(t). Per tant ϕ és solució no prolongable de (1) i existeixen uns α 1 , α 2 , α 3 , ..., αm ∈ R tals que ϕ = α 2 ϕ 2 + α 3 ϕ 3 + ... + αmϕm,
aleshores efectivament ω = ψ + α 2 ϕ 2 + α 3 ϕ 3 + ... + αmϕm.
Remark 2.1. El resultat anterior demostra que el conjunt de solucions de (4) té estructura d’espai afí de dimensió m. Vegem en el següent resultat com obtenir la solució particular de (4) que necessitem per obtenir la solució general de (4).
Theorem 2.2. (Fòrmula de Lagrange) Si Φ és una matriu fonamental de (1) i fixem t 0 ∈ J, aleshores la funció ψ : J → Rm^ definida de la forma
ψ(t) = Φ(t)
t
t 0
(Φ(s))−^1 b(s) ds, per a t ∈ J
és la solució del problema de Cauchy
(5)
x′^ = A(t)x + b(t) x(t 0 ) = 0
Proof. La funció ψ del enunciat està ben definida ja que Φ(t) és invertible en qual- sevol punt de J, i (Φ(t))−^1 b(t) és contínua ja que les funcions b(t), Φ(t) i det(Φ(t)) són contínues i det(Φ(t)) = 0, ∀t ∈ J. A més a més ψ és derivable en J i per a tot t ∈ J
ψ′(t) = Φ′(t)
t
t 0
(Φ(s))−^1 b(s) ds + Φ(t)(Φ(t))−^1 b(t) =
= A(t)Φ(t)
t
t 0
(Φ(s))−^1 b(s) ds + b(t) = A(t)ψ(t) + b(t),
i ψ(t 0 ) = 0, per tant efectivament ψ és solució del problema de Cauchy (5).
Remark 2.2. (1) La fòrmula de Lagrange es pot expressar en funció de la matriu resolvent de la següent manera
ψ(t) =
t
t 0
M (t, s)b(s) ds, per a t ∈ J
(2) Segons els resultats que hem vist amb anterioritat, és immediat demostrar que la solució del problema de Cauchy x′^ = A(t)x + b(t) x(t 0 ) = x 0 serà la funció
ψ(t) = M(t, t 0 )x 0 +
t
t 0
M (t, s)b(s) ds, per a t ∈ J.
3. E
Anem a estudiar com obtenir una matriu fonamental quan en (1) la funció ma- tricial A : J → Mm és constant, és a dir quan tenim una EDO lineal vectorial de primer ordre homogènia amb coeficients constants
(6) x′^ = Ax
En el cas escalar m = 1 i A = (a), sabem que la solució general és
ω(t) = ceta^ = c
∞
k=
tk k!
ak, ∀t ∈ R
sent c ∈ R arbitrari, i per tant una matriu fonamental en aquest cas és Φ(t) = eta. Vegem que açò es pot generalitzar al cas matricial i que si m > 1 , aleshores podrem definir la funció matricial etA^ i la solució general de (6) serà ω(t) = etAv, sent v ∈ Rm^ arbitrari.
Theorem 3.1. Si A ∈ Mm, la sèrie
∞ k=
tk k! A
k (^) és convergent ∀t ∈ R, i su suma etA
és derivable en R i verifica
d(etA) dt
= AetA, ∀t ∈ R.
Si ara anomenem Φ(t) = etA, ∀t ∈ R, aleshores Φ(0) = Im i com ∀t ∈ R, Φ′(t) = AΦ(t), llavors Φ(t) = etA^ és una matriu fonamental de (6).
Remark 3.1. (1) El resultat anterior és també cert si la matriu A és complexa. (2) Notem que si en etA^ donem el valor t = 1, aleshores tenim definida la matriu eA^ per a qualsevol matriu A ∈ Mm (real o complexa).
Proposition 3.2. Siguen U, V ∈ Mm (reals o complexes) tals que UV = V U. Aleshores eU^ eV^ = eU+V
En particular eU^ és regular i (eU^ )−^1 = e−U^.
Proof. Siga x 0 ∈ Rm^ (o Cm), sabem pel teorema anterior que la funció
ϕ(t) = et(U^ +V^ )x 0 , ∀t ∈ R
és l’única solució no prolongable del problema
(7)
x′^ = (U + V )x x(0) = x 0
Vegem que la funció ψ(t) = etU^ etV^ x 0 , ∀t ∈ R és també solució del mateix problema i llavors tindrem que ϕ = ψ.
Donat p ∈ N anomenem Sp =
p
k=
tk k! U^
k, aleshores per la continuitat del producte
de matrius i per la conmutativitat de V i Sp, s’obté que
etU^ V = ( lim p→∞ Sp)V = lim p→∞ (SpV ) = lim p→∞ (V Sp) = V ( lim p→∞ Sp) = V etU^.
Per tant
d(etU^ etV^ ) dt
= UetU^ etV^ + etU^ V etV^ = (U + V )etU^ etV^ , ∀t ∈ R
i com e^0 U^ e^0 V^ = Im, aleshores etU^ etV^ és una matriu fonamental de x′^ = (U + V )x i per tant ψ(t) és efecticament solució del problema (7). Llavors hem demostrat que per a qualsevol x 0 ∈ Rm^ (o Cm) i ∀t ∈ R es verifica que et(U^ +V^ )x 0 = etU^ etV^ x 0
i per tant et(U^ +V^ )^ = etU^ etV^ i en particular eU+V^ = eU^ eV^.
Com a conseqüència d’açò i del fet de que U conmuta amb −U per a tota matriu U ∈ Mm, aleshores Im = eU^ −U^ = eU^ e−U
i per tant eU^ és regular i (eU^ )−^1 = e−U^.
Remark 3.2. (1) D’ara en abans suposarem que A ∈ Mm és real. (2) Pels resultats anteriors s’obté que efectivament la solució general de l’EDO (6) és ω(t) = etAv, sent v ∈ Rm^ arbitrari i que la matriu resolvent és M (t, ξ) = e(t−ξ)A
per tant la solució del problema de Cauchy x′^ = Ax x(t 0 ) = x 0
és ψ(t) = e(t−t^0 )Ax 0 , per a tot t ∈ R. (3) De la mateixa manera es demostra fàcilment que la solució general de l’EDO lineal vectorial de primer ordre completa amb coeficients constants
(8) x′^ = Ax + b(t)
on A ∈ Mm i b : J → Rm^ és una funció contínua, és
ψ(t) = etAv +
t
t 0
e(t−s)Ab(s) ds,
per a tot t ∈ J, sent v ∈ Rm^ i t 0 ∈ J arbitraris. I la del problema de Cauchy x′^ = Ax + b(t) x(t 0 ) = x 0
la funció ψ(t) = e(t−t^0 )Ax 0 +
(^) t t 0 e
(t−s)Ab(s) ds, per a tot t ∈ J. (4) L’obtenció de les solucions anteriors necessita del càlcul de la matriu expo- nencial actuant en vectors de Rm^ i açò no és factible en general fer-ho de manera directa. El que farem és estudiar una tècnica que utilitza resultats d’àlgebra, per a reduir aquest càlcul a un nombre finit d’operacions.
Theorem 3.3. Siga A ∈ Mm i siguen λ 1 , λ 2 ,... , λp els diferents valors propis de A amb multiplicitats respectives k 1 , k 2 ,... , kp. Aleshores s’obté la descomposició espectral de Cm^ següent:
Cm^ =
^ p
i=
ker(A − λi)ki^.
Remark 3.3. (1) Anomenarem
σ(A) = {valors propis de A}
aleshores al resultat anterior es verifica que
σ(A) = {λ 1 , λ 2 ,... , λp} i k 1 + k 2 +... + kp = m.
(2) A més a més, es verifiquen les següents afirmacions:
- dim(ker(A − λi)ki^ ) = ki, ∀i = 1, 2 , .., p
- ker(A−λi)^1 ⊆ .... ⊆ ker(A−λi)ki^ = ker(A−λi)ki+1^ = ..., ∀i = 1, 2 , .., p Al menor natural νi (1 ≤ νi ≤ ki) que verifique que
ker(A − λi)νi^ = ker(A − λi)ki
l’anomenarem índex de λi. Aleshores es verifica
- ker(A − λi)^1 ker(A − λi)^2 .... ker(A − λi)νi−^1 ker(A − λi)νi^ = = ker(A − λi)νi+1^ = .... = ker(A − λi)ki^ = ker(A − λi)ki^ +1^ = ..., ∀i = 1, 2 , .., p
Remark 3.5. Anem a buscar una base de Rm^ que aplicant els resultat anterior ens proporcione un sistema fonamental de (6) fàcil de calcular.
Proposition 3.6. Siga A ∈ Mm (real) i λ ∈ σ(A) amb multiplicitat k (i per tant λ¯ ∈ σ(A) amb la mateixa multiplicitat), aleshores els subespais ker(A − λ)k verifiquen les següents propietats:
(1) Si v ∈ ker(A−λ)k, aleshores ¯v ∈ ker(A−λ¯)k. Llavors si {v 1 ,v 2 ,..., vk} és una base de ker(A− λ)k, el conjunt {v 1 , v 2 , ..., vk} serà una base de ker(A− ¯λ)k. (2) Si λ ∈ σ(A) ∩ R i v ∈ ker(A − λ)k, aleshores Re(v) ∈ ker(A − λ)k^ i Im(v) ∈ ker(A − λ)k. I per tant sempre és possible trobar una base de l’espai complex ker(A − λ)k^ amb elements de Rm^ a la que anomenarem Bλ. (3) Si λ ∈ σ(A) ∩ (C \ R) i v ∈ ker(A − λ)k^ i v = 0, aleshores Re(v) = 0 i Im(v) = 0. I a més a més {Re(v), Im(v)} ⊂ ker(A − λ)k^
ker(A − λ¯)k. I per tant sempre és possible trobar una base de l’espai complex ker(A − λ)k^
ker(A − ¯λ)k amb elements de Rm^ a la que anomenarem Dλλ¯.
Proof. Sabem que si λ aleshores λ¯ és també valor propi i té la mateixa multiplicitat k. Suposem ara que v ∈ ker(A − λ)k, llavors (A − λ)kv = 0 i
(A − λ)kv = (A − ¯λ)k^ ¯v = 0
i per tant v¯ ∈ ker(A − ¯λ)k. És a dir es verifica (1). Vegem (2). Si λ ∈ σ(A) ∩ R i v ∈ ker(A − λ)k, aleshores per (1) v ¯ ∈ ker(A − λ¯)k^ = ker(A − λ)k i per tant:
Re(v) =
v + ¯v 2
∈ ker(A − λ)k^ i Im(v) =
v − v¯ 2 i
∈ ker(A − λ)k.
Aleshores si {v 1 ,v 2 ,..., vk} és una base de ker(A − λ)k, el conjunt
{Re(v 1 ), Re(v 2 ), ..., Re(vk), Im(v 1 ), Im(v 2 )..., Im(vk)} serà un sistema generador de ker(A − λ)k^ amb vectors de Rm, i per tant existiran k vectors linealment independents d’aquest sistema que formaran una base de ker(A− λ)k^ amb vectors de Rm, a la que anomenarem Bλ. I per últim, si λ ∈ σ(A)∩(C \ R) i v ∈ ker(A−λ)k^ i v = 0, aleshores si Re(v) = 0 llavors v = iw tal que w = 0 i per tant ¯v = −iw = −v ∈ ker(A − λ¯)k. I açò és un absurde ja que si v ∈ ker(A − λ)k^ ∩ ker(A − λ¯)k^ per la suma directa s’obté que v = 0. I de la mateixa manera si Im(v) = 0 llavors ¯v = v ∈ ker(A − λ¯)k. I açò és un absurde ja que si v ∈ ker(A − λ)k^ ∩ ker(A − λ¯)k^ per la suma directa s’obté que v = 0. Per altra banda, com Re(v) = v+¯ 2 vi Im(v) = v− 2 iv¯ , aleshores és immediat que {Re(v), Im(v)} ⊂ ker(A − λ)k^
ker(A − λ¯)k. Per altra banda si {v 1 ,v 2 ,..., vk} és una base de ker(A − λ)k, sabem per (1) que el conjunt {v 1 , v 2 , ..., vk} serà una base de ker(A − ¯λ)k^ i per tant
{v 1 ,v 2 ,..., vk, v 1 , v 2 , ..., vk}
serà una base de ker(A − λ)k^
ker(A − ¯λ)k^ formada amb vectors de Cm^ a la que anomenarem Eλλ¯. I el conjunt
{Re(v 1 ), Re(v 2 ), ..., Re(vk), Im(v 1 ), Im(v 2 )..., Im(vk)} serà un sistema generador de ker(A − λ)k^
ker(A − ¯λ)k^ formada per 2 k vectors i per tant serà una base de ker(A − λ)k^
ker(A − λ¯)k^ formada amb vectors de Rm a la que anomenarem Dλλ¯. Aleshores es verifica (3).
Corollary 3.7. Siga A ∈ Mm (real), aleshores per cada λ ∈ σ(A) ∩ R amb multi- plicitat k, considerem la base real Bλ de ker(A − λ)k^ que hem obtés en la proposició anterior. I per cada parella
λ, ¯λ
⊂ σ(A) ∩ (C \ R) amb multiplicitat respectiva k, considerem les bases Eλ¯λ i Dλλ¯ de ker(A − λ)k^
ker(A − ¯λ)k^ que hem obtés també en la proposició anterior. Aleshores si
K =
λ∈σ(A)∩R
Bλ = {v 1 ,v 2 ,..., vr}
H =
{λ,λ¯}⊂σ(A)∩(C\R)
Eλ¯λ = {w 1 ,w 2 ,..., ws, w¯ 1 , w¯ 2 ,..., w¯s} i
N =
{λ,¯λ}⊂σ(A)∩(C\R)
Dλ¯λ = {Re(w 1 ), Re(w 2 ), ..., Re(ws), Im(w 1 ), Im(w 2 ), ..., Im(ws)}
(amb r + 2s = m), es verifica que:
K ∪ H = {v 1 ,v 2 ,..., vr, w 1 ,w 2 ,..., ws, w¯ 1 , w¯ 2 ,..., w¯s}
és una base de Cm. I
K ∪ N = {v 1 ,v 2 ,..., vr, Re(w 1 ), Re(w 2 ), ..., Re(ws), Im(w 1 ), Im(w 2 ), ..., Im(ws)}
és una base de Rm(i de Cm).
Proof. És immediat, per la proposició anterior i per la descomposició espectral de Cm, que els vectors de K ∪ H formen una base de Cm. I de la mateixa manera els vectors de K ∪ N també formen una base de Cm^ formada en aquest cas per vectors de Rm. I per altra banda, com els vectors de K ∪ N són també linealment independents en Rm, aleshores també formen una base de Rm.
Corollary 3.8. Si considerem les diferents bases Bλ, Dλλ¯ i Eλ¯λ, obtingudes en la proposició anterior aleshores les funcions
(10)
etAv 1 , ..., etAvr, Re(etAw 1 ), ..., Re(etAws), Im(etAw 1 ), ..., Im(etAws)
formen un sistema fonamental de (6).
Proof. Sabem pel corolari anterior que
H = {v 1 ,v 2 ,..., vr, Re(w 1 ), Re(w 2 ), ..., Re(ws), Im(w 1 ), Im(w 2 ), ..., Im(ws)} és una base de Rm^ i per tant per la proposició 3.5 obtenim que etAv 1 , ..., etAvr, etA^ Re(w 1 ), ..., etA^ Re(ws), etA^ Im(w 1 ), ..., etA^ Im(ws)
és un sistema fonamental de (6). Aleshores com ∀j ∈ { 0 , 1 , 2 , ..., s} , etAwi = etA(Re(wi) + i Im(wi)) = etA^ Re(wi) + ietA^ Im(wi)
llavors ∀j ∈ { 0 , 1 , 2 , ..., s} ,
etA^ Re(wi) = Re(etAwi) etA^ Im(wi) = Im(etAwi)
4. E ’
En aquesta secció anem a estudiar l’EDO lineal escalar d’ordre n
(14) x(n)^ + a 1 (t)x(n−1)^ + ... + an− 1 (t)x′^ + an(t)x = g(t)
on les funcions aj (j = 1, ..., n ) i g són funcions contínues definides en un interval no buit J de R. Si g ≡ 0 es diu que (14) és homogènia. Vam veure als seminaris que l’EDO (14) és equivalent a una EDO de primer ordre vectorial de dimensió n del tipus:
(15) y′^ = A(t)y + b(t)
on A : J ⊂ R → Mm i b : J ⊂ R → Rn^ són les funcions contínues
A =
−an(t) −an− 1 (t) −an− 2 (t) ... −a 1 (t)
i b(t) =
g(t)
Per tant sabem que si φ : I ⊂ R → R és solució de (14), aleshores
ψ = (φ, φ′, .., φ(n−1)) : I ⊂ R → Rn és solució de (15). I al contrari, que si ψ = ( ψ 1 , ψ 2 , .., ψn) : I ⊂ R → Rn
és solució de (15), aleshores ψ 1 : I ⊂ R → R és solució de (14). I també és conegut que les solucions no prolongables de (15) estan defenides en J, amb la qual cosa també les solucions no prolongables de (14) estan definides en J, i s’obté fàcilment el següent resultat.
Proposition 4.1. Donats els números reals (t 0 , x 0 , x^10 , ..., xn 0 −^2 , xn 0 − 1 ) ∈ J × Rn, el problema de Cauchy
x(n)^ + a 1 (t)x(n−1)^ + ... + an− 1 (t)x′^ + an(t)x = g(t) x(t 0 ) = x 0 x′(t 0 ) = x^10 .... x(n−1)(t 0 ) = xn 0 −^1
té una única solució no prolongable definida en J que és la primera component de l’única solució no prolongable del problema de Cauchy
(17)
y′^ = A(t)y + b(t) y(t 0 ) = (x 0 , x^10 , ..., , xn 0 −^2 , xn 0 −^1 ).
A més a més, el conjunt de solucions no prolongables de l’EDO lineal escalar d’ordre n homogènia
(18) x(n)^ + a 1 (t)x(n−1)^ + ... + an− 1 (t)x′^ + an(t)x = 0
formen un espai vectorial de dimensió n respecte de la suma de funcions i el producte per un escalar.
Proof. Sabem que el problema de Cauchy (17) té una única solució no prolongable definida en J ja que les funcions A(t) i b(t) són contínues. Per tant, pels resultats vists en el Tema 1 relatius a la reducció a la forma canònica d’una EDO, el problema (16) també té una única solució no prolongable que serà la primera component de la solució de (17). Siga ara el conjunt E = {ϕ : J → R/ ϕ és solució no prolongable de (18)}
aleshores és immediat que E ⊆ C(J, R), vegem que E és un subespai vectorial de C(J, R). Siguen ϕ 1 , ϕ 2 ∈ E i α 1 , α 2 ∈ R, llavors ∀k = 1, ..., n i ∀t ∈ J existeix
(α 1 ϕ 1 + α 2 ϕ 2 )(k)(t) = α 1 ϕ (k) 1 (t) +^ α^2 ϕ
(k) 2 (t)
aleshores
(α 1 ϕ 1 + α 2 ϕ 2 )(n)(t) + a 1 (t)(α 1 ϕ 1 + α 2 ϕ 2 )(n−1)(t) + ... + an(t)(α 1 ϕ 1 + α 2 ϕ 2 )(t) =
= α 1 (ϕ( 1 n )(t) + a 1 (t)ϕ( 1 n −1)(t) + ... + an(t)ϕ 1 (t))+
+α 2 (ϕ( 2 n )(t) + a 1 (t)ϕ( 2 n −1)(t) + ... + an(t)ϕ 2 (t)) = 0 i per tant α 1 ϕ 1 + α 2 ϕ 2 ∈ E. És a dir E és un subespai vectorial de C(J, R). Considerem ara l’espai vectorial de dimensió n
F = {ψ : J → Rm/ ψ és solució no prolongable de y′^ = A(t)y} i definim l’aplicació τ : E → F
tal que si ϕ ∈ E aleshores τ ϕ = (ϕ, ϕ′, ..., ϕ(n−1)). Vegem que és un isomorfisme i per tan obtindrem que dim(E) = dim(F) = n.
- τ és lineal: Siguen ϕ 1 , ϕ 2 ∈ E i α 1 , α 2 ∈ R, llavors
τ(α 1 ϕ 1 + α 2 ϕ 2 ) = (α 1 ϕ 1 + α 2 ϕ 2 , α 1 ϕ′ 1 + α 2 ϕ′ 2 , ..., α 1 ϕ( 1 n −1)+ α 2 ϕ( 2 n −1)) =
= α 1 (ϕ 1 , ϕ′ 1 , ..., ϕ( 1 n −1)) + α 2 (ϕ 2 , ϕ′ 2 , ..., ϕ( 2 n −1)) = α 1 τ ϕ 1 + α 2 τϕ 2
- τ és injectiva: Siguen ϕ 1 , ϕ 2 ∈ E tal que τ ϕ 1 = τ ϕ 2 , aleshores (ϕ 1 , ϕ′ 1 , ..., ϕ( 1 n −1)) = (ϕ 2 , ϕ′ 2 , ..., ϕ( 2 n −1)) i per tant ϕ 1 = ϕ 2.
- τ és sobrejectiva: Siga ψ ∈ F, aleshores sabem que si ψ = (ψ 1 , ψ 2 , ..., ψn) llavors ψ 1 és solució de (18) i ψk 1 (t) = ψk+1(t) , ∀k = 1, ..., n − 1. Per tant ψ 1 ∈ E i
τ ψ 1 = (ψ 1 , ψ′ 1 , ..., ψn 1 −^1 ) = (ψ 1 , ψ 2 , ..., ψn) = ψ. Aleshores τ és un isomorfisme i per tant dim(E) = dim(F) = n.
Definition 4.1. Anomenarem sistema fonamental de solucions de l’EDO (18) a qualsevol base de l’espai vectorial de les solucions no prolongables de l’equació (18). És a dir qualsevol conjunt de n funcions de E linealment independents.
Considerem {ϕi}ni=1 un sistema fonamental de solucions de l’EDO ho- mogènia associada (18), llavors si anomenem Φ a la funció matricial
Φ(t) =
ϕ 1 (t)... ϕn(t) .. .
ϕ( 1 n −1)(t)... ϕ( nn −1)(t)
Fixat t 0 ∈ J, la funció ψ : J → R determinada por ser la primera compo- nent de la funció vectorial que ens dona la fòrmula de Lagrange
t ∈ J → Φ(t)
t
t 0
(Φ(s))−^1 b(s) ds ∈ Rn
és una solució particular de l’EDO completa (14). (3) Si n = 2, la solució particular obtinguda a partir de la fòrmula de Lagrange és de la forma:
ψ(t) = ϕ 2 (t)
t
t 0
ϕ 1 (s)g(s) W (ϕ 1 , ϕ 2 )(s)
ds − ϕ 1 (t)
t
t 0
ϕ 2 (s)g(s) W (ϕ 1 , ϕ 2 )(s)
ds,
Sent {ϕ 1 , ϕ 2 } un sistema fonamental de l’equació homogènia associada.
Proposition 4.4. (Mètode de variació de constants) Si {ϕi}ni=1 és un sistema fonamental de solucions de l’EDO homogènia (18), i les funcions
c 1 , c 2 , ..., cn : J → R de classe C^1 verifiquen les equacions
n
j=
c′ j (t)ϕ( jm )(t) =
0 , si m = 0, 1 , .., n − 2 g(t), si m = n − 1 , ∀t ∈ J
aleshores la funció
ω(t) = c 1 (t)ϕ 1 (t) + c 2 (t)ϕ 2 (t) + ... + cn(t)ϕn(t) verifica l’EDO completa (14) en J.
Proof. Sabem que si
Φ(t) =
ϕ 1 (t)... ϕn(t) .. .
ϕ( 1 n −1)(t)... ϕ( nn −1)(t)
i
c 1 (t) .. . cn(t)
t
t 0
(Φ(s))−^1 b(s) ds, ∀t ∈ J,
aleshores, per la fòrmula de Lagrange, la primera component de Φ(t)
c 1 (t) .. . cn(t)
serà solució de (14) en J. I com la primera component aquesta és la funció ω(t) = c 1 (t)ϕ 1 (t) + c 2 (t)ϕ 2 (t) + ... + cn(t)ϕn(t),
aleshores serà suficient demostrar que les funcions c 1 , c 2 , ..., cn verifiquen les equa- cions (19).
Ara bé, com
c 1 (t) .. . cn(t)
=^
(^) t t 0 (Φ(s))
− (^1) b(s) ds, ∀t ∈ J i (Φ(s))− (^1) b(s) és una funció
contínua en J, llavors les funcions c 1 , c 2 , ..., cn són derivables en J i
c′ 1 (t) .. . c′ n(t)
= (Φ(t))−^1 b(t), ∀t ∈ J,
i per tant
Φ(t)
c′ 1 (t) .. . c′ n(t)
=^ b(t) =
g(t)
,^ ∀t^ ∈^ J,
aleshores, igualant component a component en aquesta equació vectorial, obtenim les equacions (19).
- E ’ Anem a estudiar ara l’EDO lineal escalar d’ordre n amb coeficients con- stants
(20) x(n)^ + a 1 x(n−1)^ + ... + an− 1 x′^ + anx = g(t)
on les constants aj ∈ R (j = 1, ..., n ) i g és una funció contínua definida en un interval no buit J de R. Si g ≡ 0 es diu que (20) és homogènia. Sabem per la secció anterior que per a resoldre l’EDO (20) necessitem trobar un sistema fonamental de l’equació homogènia corresponent
(21) x(n)^ + a 1 x(n−1)^ + ... + an− 1 x′^ + anx = 0
vegem como trobar-ho. Sabem que (21) és equivalent a
(22) y′^ = Ay
on
A =
−an −an− 1 −an− 2 ... −a 1
que les solucions de (22) depenen dels valors propis de A, i que les solucions de (21) són les primeres components de solucions de (22).
Definition 5.1. Anomenem polinomi característic de (21), o de (20) al poli- nomi Q(r) = rn^ + a 1 rn−^1 + ... + an− 1 r + an
Lemma 5.1. Es verifica que
det(A − r) = (−1)nQ(r).
Per tant els valors propis de A són les arrels del polinomi característic Q(r), amb la mateixa multiplicitat.
i per cada parella d’arrels complexes conjugades α ± βi de Q(r), amb β ∈ R no nul i multiplicitat p, considerem les (2p) funcions
(24) eαt^ cos(βt), t cos(βt)eαt,... , tp−^1 cos(βt)eαt,
eαt^ sin(βt), t sin(βt)eαt,... , tp−^1 sin(βt)eαt.
Aleshores el conjunt format per les n funcions així obtingudes formen un sistema fonamental de solucions de (21).
Proof. Sabem que qualsevol solució de (21) és la primera component d’una solució de (22). I sabem que qualsevol solució de (22) és una combinació lineal del sistema fonamental obtingut en el Corolari 3.8, és a dir de
(25)
etAv 1 , ..., etAvr, Re(etAw 1 ), ..., Re(etAws), Im(etAw 1 ), ..., Im(etAws)
sent {v 1 ,v 2 ,..., vr, w 1 ,w 2 ,..., ws, w¯ 1 , w¯ 2 ,..., w¯s} la base K de Cm^ obtinguda en el Corolari 3.7 de manera que ∀i ∈ { 1 , 2 , ..., r} vi ∈ ker(A − λ)k^ ∩ Rm^ per a un λ ∈ σ(A) ∩ R amb multiplicitat k
i ∀i ∈ { 1 , 2 , ..., s}
wi ∈ ker(A−λ)p∩(Cm^ ∼ Rm) per a un λ = α+iβ ∈ σ(A)∩(C ∼ R) amb multiplicitat p.
Per tant
etAvi = eλt
k− 1
j=
tj j!
(A − λ)j^ vi = eλt
k− 1
j=
tj^ yij
amb yij ∈ Rm, ∀i ∈ { 1 , 2 , ..., r} i ∀j ∈ { 0 , 2 , ..., k − 1 }. I
etAwi = eλt
p− 1
j=
tj j! (A − λ)j^ wi = eαt(cos(βt) + i sin(βt))
p− 1
j=
tj^ zij
amb zij ∈ Cm, ∀i ∈ { 1 , 2 , ..., s} i ∀j ∈ { 0 , 2 , ..., p − 1 }. Per tant
Re(etAwi) = eαt^ cos(βt)
p− 1
j=
tj^ Re(zij ) − eαt^ sin(βt))
p− 1
j=
tj^ Im(zij ) i
Im(etAwi) = eαt^ cos(βt)
p− 1
j=
tj^ Im(zij ) + eαt^ sin(βt))
p− 1
j=
tj^ Re(zij ).
Aleshores, com pel Lema 5.1 sabem que els valors propis de A són els arrels del polinomi característic Q(r) i amb la mateixa multiplicitat, obtenim que les primeres components de les funcions del sistema fonamental (25) són combinacions lineals reals de les funcions (23) i (24) de l’enunciat. Per tant qualsevol solució de (22) és també una combinació lineal d’aquestes funcions. És a dir, si anomenem B al espai vectorial real generat per aquestes funcions (23) i (24) de l’enunciat, aleshores:
E = {ϕ : R → R/ ϕ és solució no prolongable de (21)} ⊂ B
I com B té dimensió menor o igual que n ja que està generat per n funcions, i E té dimensió n, aleshores E = B
i per tant el sistema generador de B és una base de B i també de E. És a dir efectivament les funcions (23) i (24) formen un sistema fonamental de solucions de (21).
Remark 5.1. (1) Per obtenir la solució particular ψ de (20) que necessitem per a resoldre l’EDO (20), ja sabem que podem utilitzar, com passa en el cas general de coeficients variables, la fòrmula de Lagrange, o el mètode de variació de constants. (2) De vegades, al igual que passa al cas vectorial, si g(t) té una forma concreta és millor utilitzar el mètode dels coeficients indeterminats que ens dona el següent resultat.
Proposition 5.3. (Mètode dels coeficients indeterminats) Siga l’EDO
(26) x(n)^ + a 1 x(n−1)^ + ... + an− 1 x′^ + anx = p(t)ert
on aj ∈ R (j = 1, ..., n ), r ∈ C i p(t) és un polinomi de grau p amb coeficients en C, aleshores (26) té una solució del tipus
(27) ψ(t) = tks(t)ert
sent s(t) un polinomi vectorial de grau p i
(1) k = 0, si r no és arrel del polinomi característic Q(r). (2) k =multiplicitat de r, si r és arrel del polinomi característic Q(r).
Remark 5.2. (1) Si r ∈ R i p(t) és un polinomi amb coeficients en R, aleshores la solució (27) ix real. (2) Com a corolari (Seminaris) d’aquesta proposició s’obté que si tenim l’EDO
(28) x(n)^ + a 1 x(n−1)^ + ... + an− 1 x′^ + anx = eαt(p 1 (t) cos(βt) + p 2 (t) sin(βt))
on aj ∈ R (j = 1, ..., n ), α, β ∈ R i p 1 (t) i p 2 (t) són uns polinomis de grau menor o igual que p amb coeficients en R, aleshores (28) té alguna solució del tipus ψ(t) = tkeαt(s 1 (t) cos(βt) + s 2 (t) sin(βt)) sent s 1 (t) i s 2 (t) uns polinomis reals de grau ≤ p , i (a) k = 0, si α + iβ no és arrel del polinomi característic Q(r). (b) k =multiplicitat de (α + iβ), si (α + iβ) és arrel del polinomi carac- terístic Q(r).
